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소집단 활동에서 나타나는 초등학생의 수학적 추론 분석

Title
소집단 활동에서 나타나는 초등학생의 수학적 추론 분석
Authors
이상해
Issue Date
2004
Department/Major
대학원 수학교육학과
Publisher
이화여자대학교 대학원
Degree
Master
Abstract
본 연구는 학생들의 추론 과정을 분석함으로써, 수학적 추론의 절차, 추론과정에서의 오류 유형과 오류의 극복방법, 추론을 이끄는 동기를 알아보고자 하였다. 이를 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 소그룹 문제 해결 활동에서 나타나는 추론 과정의 패턴은 무엇인가? 또한 추론과정에서 나타나는 학년간의 차는 무엇인가? 2 학생들의 추론의 과정에서 나타나는 오류는 무엇인가? 그리고 학생들이 오류를 극복하는 방법은 무엇인가? 3. 학생들이 추론을 하게 되는 동기는 무엇인가? 이러한 연구문제를 해결하기 위하여 지능지수(K-Wisc-3)가 130이고, 문제해결력 검사(기관 자체 개발한 검사지)에서 상위수준으로 판명된 아동들을 대상으로 교육을 실시하는 C영재학술원을 선정하여 이 기관의 3~7명으로 이루어진 2학년 4개 반 21명, 4학년 2개 반 12명, 6학년 2개 반 9명 학생들을 대상으로 소그룹 문제 해결 수업을 실시하였다. 제시된 문제들은 학생들이 추론을 하기에 적합한 환경을 만들어줄 것이라 기대되는 다양한 영역의 문제들로 구성되었다. 학생들의 소그룹 활동 중의 모든 의사소통 과정이 녹취되어 본 연구의 기초적인 분석 자료가 되었다. 각 반의 학생들의 의사소통을 통해 알 수 있는 학생들의 추론의 과정을 분석하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다. 첫째, 학생들은 문제 상황에서 일정한 패턴의 추론의 과정을 거친다는 것을 확인할 수 있었다. 이를 도식화하면 다음과 같다. ◁그림 삽입▷ 학생들의 추론은 이러한 일정한 패턴을 나타내면서, 동시에 일정한 패턴 이면에 눈에 띄는 학년차를 나타냈다. 크게 5가지 영역에서 이러한 차이를 확인할 수 있었다. 그 첫 번째는 경험에 의한 지식의 양의 차이이고, 두 번째는 정보의 수용 및 활용 능력의 차이이고, 세 번째는 정보에 대한 심리적인 태도에서 차이가 나타났다. 그리고 네 번째는 사용하는 용어나 문장의 특징의 차이가 나타났고, 마지막으로 추론의 전개 양상에 있어서의 차이가 나타났다. 둘째, 학생들은 추론의 과정을 거치면서 다양한 오류를 경험하게 되는 것으로 분석되었다. 본 연구에서는 추론과정에서 나타나는 오류를 크게 다섯 가지로 분류해 보았다. 첫 번째는 수학적 용어와 기호의 정의를 모르거나 사용 방법을 알지 못하여 발생하는 오류이고, 두 번째는 문제에서 요구하는 핵심을 파악하지 못하여 발생하는 오류이고, 세 번째는 각각의 개별적인 사실들을 수렴적으로 통합하지 못하여 발생하는 오류이다. 그리고 네 번째는 개별적인 사실들과 문제에서 요구하는 의미와 관련시켜 생각하는 연관적 사고를 하지 못하여 발생하는 오류이고, 다섯 번째는 단순한 계산착오나 잘못된 공식 혹은 일반화의 사용으로 인하여 발생하는 오류이다. 셋째, 학생들이 오류를 어떻게 극복하는지를 분석해 본 결과, 각 과정에서의 오류를 극복하는 방법은 네 가지로 분류해 볼 수 있었다. 첫 번째는 학생 스스로 자기반성을 통해 오류를 발견하고 극복하는 경우이고, 두 번째는 오류를 만난 학생이 추론을 재시도해 봄으로써 새로운 추론을 하게 됨으로 오류를 극복하는 경우이다. 그리고 세 번째는 다른 사람으로부터 오류에 대한 직접적인 지적을 받아 오류를 발견하고 극복하는 경우이고, 네 번째는 다른 사람과의 의사소통을 통해 자신의 오류에 대한 힌트를 얻고 이를 극복하는 경우이다. 즉, 학생들은 자신의 혹은 다른 친구나 교사와의 의사소통 과정을 통해 추론 과정에서의 오류를 발견하고 수정하여 다음 단계로의 이행에 있어서 가로막혔던 벽을 돌파한다고 정리해볼 수 있다. 넷째, 학생들의 추론과정에서의 의사소통을 통해 추론을 하게 되는 동기를 분석하였다. 연구 결과 추론의 동기를 크게 세 가지로 분류해 볼 수 있었다. 첫 번째는 개인적인 이해를 위한 것이고, 두 번째는 타인에게 설명하기 위한 것이고, 세 번째는 타인을 설득하기 위한 것이다. 다시 말해서 학생들은 문제를 해결해 가는 과정에서 가장 근본적으로는 개인적인 탐구와 이해를 통해 문제의 결론을 이끌어내기 위한 추론을 시작하지만 소그룹 환경에서 다른 학생들과 적극적인 상호작용을 하는 과정에서 학생들은 다른 사람을 이해시키고자 설명을 하고, 설득을 하기 위한 추론을 하게 된다는 것이다. 이러한 다양한 추론의 동기들은 단순히 추론의 절차를 복잡하게 하는 것에 그치지 않고, 보다 논리적이고 정교한 추론의 결과물을 이끌어 내도록 돕는 역할을 하는 것을 확인할 수 있다. ;The purpose of this study was to investigate the process of mathematical reasoning the focus being; The obstacles and motivations associated with the mathematical reasoning, during the process of problem solving in small group activity. For this purpose, following four research questions were; 1. When students participate in problem solving in small group, what process of mathematical reasoning do they utilize? And what is meaningful distinctions between the grades during the process of mathematical reasoning? 2. What obstacles do students face during the process of mathematical reasoning? And how do students overcome these obstacles? 3. What motivations lead the students in the process of reasoning? To solve these issues, three target groups were selected from a C academy of gifted education. The target groups were from the second, fourth, and sixth grade elementary level. Each group had a variation of three to seven students participants, 2^nd grade=4×small groups ; 21 students 4^th grade=2×small groups ; 12 students 6^th grade=3×small groups ; 9 students. As students participated in the group activities, primary data was collected and recorded. This primary data provided the foundation of this study. The following results were drawn from the target group analysis. Firstly, the students utilize a regular pattern of the process of reasoning to find solutions to the problem presented. The students observe the problems accurately when they begin the process of mathematical reasoning. At this initial step the students evaluate how to apply previously gained knowledge to the problem. If this tool is adequate to solve the problem, students solve the problem using the knowledge as the basis for simple deductions. However should this tool prove inadequate, the students must begin step 2; return to the presented problem to rework the problem solving. Throughout the reworking, the students observe a pattern in their problem, conjecturing that the pattern applies generally, and test that the conjecture is correct or incorrect. If correct, the generalization activates step 3. Here they apply the generalization and find a correct solution to the presented problem. If incorrect, the students must return to the presented problem and begin again, this is step 4. Students utilize these steps until they find the correct solution to the presented problem. Thstudents process a regular pattern of reasoning, but also, there is a meaningful distinction between the grades. Five such distinctions were identified; 1. A difference in the volume of knowledge learned by experience. 2. A difference in capability of obtaining and utilizing informations about a problem. 3. A difference in psychological attitude of informations obtained. 4. A difference in the characteristic of repeatedly used vocabularies and sentences. 5. A difference of aspect in the development of the reasoning. Secondly, I found students faced various obstacles throughout the process of mathematical reasoning to solve the problem. The first obstacle came from being unfamiliar with the definition of mathematical terms and mathematical symbols or how to use it. The second obstacle was the capability to grasp the kernel of the problem. The third, the capability to unify particular facts convergently. The fourth obstacle, they couldn't associate with the kernel of the problem and particular facts. The final obstacle were the errors generated from simple miscalculations or wrong applications of formulas and general knowledge. Thirdly, I analysed what methods the students utilized to overcome these obstacles. The students used four methods. Firstly, they reflected on their reasoning process. Secondly, they attempt the process of reasoning again individually. Thirdly, they found errors with being pointed out errors from friends or teachers, and fourthly, they got hints about his own faults and overcome errors through the communication with another people. The students found and modified errors and overcome obstacles through communication with inter-person and intra-person. Lastly, an analysis of the students motives in the small group environment was conducted. Three motives were identified; 1. Individual understanding; Students initially work individually 2. Group understanding; Students present their solutions to the group to promote understanding 3. Group persuasion; Students provide further reasoning for the group understanding and participants brainstorm their solutions. I found these motives did not make the process complicated but rather, more logical and precise.
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