수학적 모델링 과제에서 나타난 초등학생 소집단의 모델링 수행 특징과 비례추론 전략 양상 사례연구

Abstract

본 연구의 목적은 수학적 모델링 과제에서 나타난 초등학생 소집단의 모델링 수행 특징과 비례추론 전략 양상을 분석하는 데 있다. 이를 위해 소집단의 수행 경로와 모델링 단계별 문제 해결 과정이 어떻게 전개되는지 살펴보고, 그 과정에서 비례추론 전략이 어떠한 유형으로 나타나며 어떻게 유지·수정·전환되는지를 분석하였다. 본 연구는 수학적 모델링을 최종 결과물을 산출하는 절차로만 보지 않고, 학생들이 현실 맥락의 조건을 해석하고 수학적 관계를 조직하며 자신의 해결 과정을 검토하고 정당화하는 수행 과정으로 보았다. 또한 비례추론 전략은 학생이 문제 상황에서 어떤 양을 기준으로 삼고 양들 사이의 관계를 어떻게 해석하는지, 그리고 이를 발화, 활동지 기록, 칠판 기록 속에서 어떻게 외현화하는지를 중심으로 분석하였다. 본 연구는 질적 사례연구로 설계되었다. 연구참여자는 초등학교 3학년 학생 1명, 5학년 학생 3명, 6학년 학생 2명, 총 6명으로 구성되었으며, 연구 참여 전 비, 비율, 비례식 등 과제 수행에 필요한 비례 관련 내용을 학습한 경험이 있는 학생들이었다. 연구 수업은 두 차례 실시되었으며, 학생들은 두 모둠으로 나뉘어 놀이공원 코스 구성 과제와 레모네이드 가게 준비 과제를 수행하였다. 두 과제는 학생들이 실제적 맥락 속에서 조건을 해석하고 기준을 설정하며 비례 관계를 수학적으로 조직하도록 구성하였다. 자료는 발화, 활동지 기록, 칠판 기록, 연구자 관찰 메모를 통해 수집하였으며, 수집된 자료는 에피소드 단위로 구분한 뒤 수학적 모델링 수행 과정 분석틀과 비례추론 전략 유형 및 전환 분석틀에 따라 질적으로 분석하였다. 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 소집단의 수행 경로는 기준 설정의 출발점, 수학화 방식, 계획 조정 방식의 세 측면에서 모둠별로 다르게 나타났다. 모둠1은 선호와 경험에서 출발하여 기준을 점진적으로 구체화하는 탐색적 방식으로 수행하였고, 모둠2는 과제 조건의 의미와 현실 상황을 먼저 구조화한 뒤 수행을 전개하는 방식을 보였다. 둘째, 모델링 단계별 문제 해결 과정은 조건 파악과 기준 설정, 수학화와 계산 수행, 해석 및 검증, 수정 및 조정, 발표 및 정당화의 다섯 측면에서 나타났으나, 고정된 순서로 진행되지 않았다. 학생들은 과제 조건을 확인하다가 계산으로 이동하거나, 계산 결과를 검토하면서 다시 조건을 해석하고 기준을 수정하였다. 이는 수학적 모델링 수행 과정이 단계별 절차의 순차적 실행이 아니라, 조건 해석, 수학화, 검토, 수정, 정당화가 서로 중첩되고 되돌아가는 비선형적, 순환적 과정임을 보여준다. 셋째, 비례추론 전략은 덧셈 전략, 질적 비교 전략, 단위화 전략, 단위비율 전략, 인수 전략, 동치분수 전략으로 나타났다. 이러한 전략은 최종 답이나 계산식만으로 드러나는 것이 아니라, 발화, 활동지 기록, 칠판 기록, 설명과 정당화 과정 속에서 외현화되었다. 넷째, 비례추론 전략 전환은 한 전략에서 다른 전략으로 즉각적이고 완성된 형태로 이동하는 방식만으로 설명되지 않았다. 전략 전환은 질적 판단이 수량 조건과 연결되며 구체화되는 방식, 덧셈적 비교에서 곱셈적 관계 해석으로 이동하는 방식, 반복 곱셈 상황에서 기준값을 재구성하는 방식, 계산 결과를 현실 조건에 비추어 재해석하고 조정하는 방식, 표상과 설명을 통해 관계 해석이 외현화되고 정교화되는 방식으로 나타났다. 본 연구는 초등학생의 비례추론 전략을 정형화된 비례식 풀이 상황이 아니라 수학적 모델링 과제 수행 과정 속에서 분석했다는 점에서 의의가 있다. 이를 통해 수학적 모델링 과제가 학생들이 비례 관계를 실제 맥락 속에서 해석하고 다양한 전략을 형성하고, 조정하는 과정을 드러내는 유의미한 수행 맥락이 될 수 있음을 확인하였다. 또한 비례추론 지도에서 학생의 계산 결과뿐 아니라 조건 해석, 기준 설정, 표상 활용과 설명 과정을 함께 살펴보는 것이 중요함을 시사한다.;The purpose of this study is to analyze the modeling performance characteristics and proportional reasoning strategy patterns of elementary school small groups in mathematical modeling tasks. This study adopted a qualitative case study design. Six elementary school students — one third-grader, three fifth-graders, and two sixth-graders — participated, all with prior learning experience with ratios, rates, and proportions. Two research lessons were conducted in which students worked in two groups on two tasks: an amusement park route-planning task and a lemonade shop preparation task. Data were collected through utterances, worksheet records, board records, and researcher observation notes, and were analyzed qualitatively by episode units using frameworks for modeling performance, strategy types, and strategy transitions. The findings were as follows. First, the two groups' pathways differed in three aspects: criteria formation, mathematization approach, and plan adjustment. Group 1 took an exploratory approach beginning from personal preferences, while Group 2 first structured task conditions before calculating. Second, the problem-solving process unfolded across five modeling stages — identifying conditions and setting criteria, mathematizing, interpreting and verifying, revising and adjusting, and presenting and justifying — but not in a fixed order, with nonlinear characteristics observed in both groups. Third, six strategy types were identified: additive, qualitative comparison, unitizing, unit-rate, factor, and equivalent-fraction strategies, externalized through utterances, worksheet records, and board records. Fourth, strategy transitions took five forms: qualitative judgments connected to quantitative conditions; additive approach shifted to multiplicative interpretation; reference values were reconstructed in repeated multiplication; calculation results were reinterpreted against real-world conditions; and relational interpretations were externalized through representations and explanations. Transitions were facilitated by peer interaction, teacher questioning, computational conflict, and representation-making. These findings suggest that modeling tasks serve as meaningful contexts for students to interpret, form, adjust, and externalize proportional reasoning strategies. Teachers should attend not only to final answers but to how students interpret conditions, establish criteria, use representations, and explain their reasoning.