수학적 모델링 과정에서 나타나는 초등학교 6학년 학생들의 생산적 어려움（Productive Struggle）에 대한 연구

Abstract

수학적 모델링은 비구조화된 실생활 문제를 단순화하고 수학적으로 구조화하여 해결한 뒤, 그 결과를 실세계 맥락에 적용하고 검토하는 순환적 문제 해결 과정이다. 모델링 문제는 개방성과 복잡성으로 인해 높은 인지적 사고를 요구하며, 학생들은 그 과정에서 다양한 어려움（struggle）을 경험한다. 본 연구에서는 어려움을 Difficulty가 아닌 Struggle로 보았으며, 학생들이 문제를 해결하지 못하는 부정적인 결과를 낳을 때에만 어려움을 겪는다고 판단하지 않았다. 학생들이 문제를 해결하기 위해 ‘씨름’하고 ‘애쓰는 과정’을 본 연구에서는 어려움（struggle）으로 보았다. 이때 어려움이 비생산적으로 고착되지 않고 생산적 어려움（productive struggle）으로 전개되도록 하기 위해서는, 교사가 학생의 유의미한 행동과 사고를 포착하고 그 의미를 해석하여 적절한 반응을 결정하는 노티싱（noticing）이 중요하다. 그러나 초등학생을 대상으로 수학적 모델링 과정에서의 어려움이 생산적 어려움으로 전개되도록 하는 데 교사의 노티싱이 어떻게 작용하는지를 통합적으로 살펴본 연구는 부족하다. 이에 본 연구는 수학적 모델링 과정에서 학생들이 경험하는 어려움의 양상을 분석하고 이러한 학생들의 어려움이 생산적 어려움으로 전개되도록 하는 데 교사의 노티싱과 반응이 어떻게 작용하는지를 살펴보는 데 목적이 있다. 연구문제를 수행하기 위해 두 차례의 수학적 모델링 수업（1차 ‘세계 여러 나라 축제 계획 세우기’, 2차 ‘생일파티 계획 세우기’）을 설계하여 초등학교 6학년 학생 21명에게 적용하였다. 수업은 김민경 외（2009）의 수학적 모델링 4단계（실생활 문제, 모델, 수학적 결론, 모델 적용）에 따라 구성하였다. 자료로는 수업 중 관찰기록지, 교사와 학생 간, 학생과 학생 간 담화가 담긴 녹화자료, 활동지와 결과물을 수집하였다. 이때, 연구자는 동시 녹음의 제약으로 수집된 자료의 분석 기준을 일관되게 유지하기 위해 교사가 인지한 어려움만으로 분석 대상을 제한하여 학생들이 어려움을 보일 때 교사는 어떤 점에 주목하고 해석하는지를 살펴보고자 하였다. 또한, 실제 수업 상황에서 학생들의 어려움은 질문이나 망설임, 행동 멈춤과 같은 교사에게 인지될 수 있는 외현화된 언어적, 비언어적 행동에 의해 인지될 수 있으므로 교사가 주목한 어려움에 한정하여 수학적 모델링 과정에서 나타난 어려움의 양상을 분석하고자 하였다. 연구문제 1에서는 모델링 단계와 단계별 특성을 고려하여 연구자가 재구성한 분석틀에 기초해 학생들의 어려움을 유형화하였다. Taguette를 활용한 개방 코딩, 축 코딩, 선택 코딩으로 어려움의 유형을 유목화하였다. 연구문제 2에서는 교사가 어떤 점에 근거하여 학생들의 어려움에 주목하고, 그 원인을 해석하고 반응을 결정하는지를 분석틀에 근거해 교사의 노티싱 전 과정을 분석하였다. 또한 이러한 노티싱이 교사의 반응으로 어떻게 이어지고, 이는 학생의 어려움이 생산적 어려움으로 전개되는 데 어떻게 작용하는지 그 과정을 분석하였다. 이때 전사 자료와 영상, 교사의 관찰 기록지, 학생의 활동지를 활용한 삼각검증으로 해석의 타당성을 확보하였으며, 생산적 어려움의 전개를 ‘비생산적 어려움’, ‘낮은 수준의 생산적 어려움’, ‘생산적 어려움’의 세 층위로 시각화하여 살펴보았다. 연구 결과는 다음과 같다. 먼저, 연구문제 1과 관련하여 학생들이 수학적 모델링 과정에서 겪는 어려움은 ①문제 맥락과 조건 이해의 어려움, ②기준 수립의 어려움, ③조건을 고려한 모델 수립의 어려움, ④변수 파악 및 식 수립의 어려움, ⑤문제 해결 접근 방법의 경직성, ⑥ 열린 조건에서의 정당화 및 대안 비교의 어려움, ⑦결과나 풀이에 대한 자기 점검 부족, ⑧ 수학적 개념의 이해 및 해석의 어려움의 여덟 가지로 유목화되었다. 이와 별개로 특정 모델링 단계에 귀속되지 않는 모둠원 간 의사소통의 어려움도 관찰되었다. 이러한 어려움은 특정 단계 안에서뿐만 아니라 단계 간 전환기에서도 두드러졌으며, 여러 단계에 걸쳐 나타나기도 하였다. 특히 학생들은 열린 조건을 자신의 현실 경험에만 근거하여 정당화하거나 익숙한 문제 해결 방식에 고착되는 양상을 반복적으로 보였는데, 이는 수학적 모델링 문제의 현실성과 개방성이 정형화된 문제에서는 잘 드러나지 않던 어려움을 유발하였음을 보여준다. 다음으로, 연구문제 2와 관련하여 교사의 노티싱을 통한 반응은 학생의 어려움을 생산적 어려움으로 전개되도록 하는 데 일률적으로 작용하지 않았으며, 다음 다섯 가지 방식으로 그 양상이 구분되었다. 첫째, 학생의 어려움에 대한 교사의 주목이 ‘어려움’이라는 해석으로 이어지지 않았을 때 적절한 반응으로 도달하지 못하고 이러한 학생의 어려움은 누적되었다. 둘째, 교사의 반응은 학생의 인지적 준비도에 따라 조정되었다. 셋째, 교사 주도의 반응은 학생 주도의 반응과 달리 학생의 어려움을 즉각적인 변화나 깨달음으로 이끌어냈지만, 그것이 지속되도록 하는 데에는 한계가 있었다. 그런데 교사의 적절한 노티싱을 통해 학생들이 생산적 어려움을 경험하였을 때에는 학생의 어려움에 대한 교사의 노티싱과 반응이 추가적으로 이루어지지 않아도 그 양상이 유지되었다. 넷째, 학생의 특성에 따라 또래 상호작용만으로는 어려움이 해소되는 데 한계가 있었으며, 학생의 개별적인 특성을 고려하여 반응을 보일 필요가 있었다. 다섯째, 학생의 정의적 요인 또한 생산적 어려움의 전개 과정에 작용하였다. 본 연구는 다음과 같은 시사점을 가진다. 첫째, 학생의 어려움에 대한 교사의 노티싱이 적절하게 이루어졌을 때 교사의 반응으로 이어질 수 있고, 학생의 생산적 어려움으로의 전개를 이끌 수 있다. 따라서 학생의 어려움에 대해서도 교사가 표면적으로 드러나는 학생들의 행동이나 발화에만 국한되지 않고 그 이면의 의미를 해석하기 위해 학생들과 적극적으로 상호작용할 필요가 있다. 둘째, 참여가 겉으로 드러나지 않는 학생에게는 어려움에 반응하기에 앞서 참여를 이끌어내는 단계가 선행되어야 한다. 셋째, 교사는 학생의 인지적 준비도를 바탕으로 어려움을 생산적인 방향으로 전개되도록 노티싱을 수행해야 한다. 따라서 교사는 학생이 자신의 학습을 생산적으로 만들어 갈 수 있도록 인지적 기반이 우선적으로 마련되어 있는지를 파악하고, 학생의 준비도에 맞춰 반응의 강도를 조절할 필요가 있다. 넷째, 교사 주도의 반응을 통한 학생의 깨달음이나 변화는 짧게 유지되었지만 또래 간 상호작용과 같이 학생 주도의 반응은 학생이 생산적 어려움으로 나아가도록 작용하였고, 그 변화도 상대적으로 오래 유지되었다. 따라서 교사는 단기적으로 학생의 어려움을 넘어서게 하는 교사 주도의 반응을 활용하더라도, 궁극적으로는 또래 상호작용과 같은 학생 주도의 반응이 지속되도록 촉진하고 학생의 참여를 이끌어 낼 필요가 있음을 시사한다. 다섯째, 생산적 어려움과 정의적 측면은 서로 영향을 주고받는 관계임을 확인할 수 있다. 여섯째, 본 연구는 수학적 모델링 과정에서 나타나는 어려움을 유형화하였고, 학생의 독립성을 보장하는 교사의 최소한의 반응이 모델링의 실생활 문제 단계와 모델 단계에서 특히 요구됨을 드러냈다. 본 연구의 한계는 다음과 같다. 첫째, 본 연구에서는 수학적 모델링 과정에서 나타난 어려움의 양상을 교사가 주목한 어려움에 국한하여 분석하였다는 점에서 수학적 모델링 과정에서 나타나는 모든 어려움을 대표하는 데에는 한계가 있다. 둘째, 본 연구는 단일 교사의 두 차례 수업과 소수의 사례 학생을 중심으로 이루어진 질적 사례 연구라는 점에서 결과를 일반화하는 데 한계가 있다. 셋째, 장기적인 종단 연구를 통해 생산적 어려움의 전이와 내재화가 어떻게 지속되는지를 추적할 필요가 있다. 넷째, 수학적 모델링 과정에서 나타나는 생산적 어려움과 비생산적 어려움의 특성을 파악하기 위한 분석틀에 대한 후속 연구가 필요하다. 다섯째, 본 연구는 연구자가 곧 수업을 진행한 교사였다는 점에서 학생의 어려움에 대한 노티싱 판단과 분석 과정에 연구자의 주관이 반영될 수 있다는 한계가 있다. 이러한 한계를 보완하기 위한 후속 연구를 제언하였다.;Mathematical modeling is a cyclical problem-solving process in which an ill-structured real-world problem is simplified and mathematically structured to be solved, after which the result is applied to and examined within the real-world context. Because modeling problems are open-ended and complex, they demand high levels of cognitive thinking, and students experience various forms of struggle throughout the process. This study conceptualized these challenges as struggle rather than difficulty; that is, it did not regard students as experiencing struggle only when their efforts lead to the negative outcome of failing to solve a problem. Rather, this study viewed students' process of ‘struggling’ to solve a problem as struggle. For such struggle to develop into productive struggle rather than becoming unproductively fixed, teacher noticing—whereby the teacher attends to students' meaningful actions and thinking, interprets their meaning, and decides on an appropriate response—is crucial. However, few studies have comprehensively examined how teacher noticing acts on the development of students' struggles into productive struggle during mathematical modeling with elementary students. Accordingly, this study aims to analyze the types of struggles that students experience during mathematical modeling and to examine how teacher noticing and responses act on the development of these struggles into productive struggle. To address the research questions, two mathematical modeling lessons （Lesson 1: ‘Planning festivals of various countries around the world’; Lesson 2: ‘Planning a birthday party’） were designed and implemented with 21 sixth-grade elementary school students. The lessons were structured according to the four stages of mathematical modeling proposed by Kim et al. （2009） : the real-world problem, the model, the mathematical conclusion, and the application of the model. The data collected included in-class observation records; video recordings of teacher–student and student–student discourse; worksheets; and student products. Given the constraints of simultaneous recording, the researcher limited the analysis to struggles that the teacher recognized in order to maintain consistent analytic criteria, examining what the teacher attended to and how the teacher interpreted students' struggles as they arose. Moreover, because students' struggles in actual classroom situations are recognized through externalized verbal and nonverbal behaviors perceptible to the teacher—such as questions, hesitation, or pauses in action—the analysis of the types of struggles arising during mathematical modeling was confined to the struggles the teacher attended to. For Research Question 1, students' struggles were classified on the basis of an analytic framework that the researcher adapted in consideration of the modeling stages and their characteristics. Using Taguette, open coding, axial coding, and selective coding were conducted to categorize the types of struggle. For Research Question 2, the entire process of the teacher's noticing—what the teacher attended to in students' struggles, how the teacher interpreted their causes, and how the teacher decided on responses—was analyzed based on the analytic framework. In addition, the study analyzed how this noticing led to the teacher's responses and how these acted on the process by which students' struggles developed into productive struggle. The validity of the interpretations was secured through triangulation using transcripts, video recordings, the teacher's observation records, and students' worksheets, and the development of productive struggle was visualized across three levels: ‘unproductive struggle’, ‘low-level productive struggle’, and ‘productive struggle’. The findings are as follows. First, regarding Research Question 1, the struggles that students experienced during mathematical modeling were categorized into eight types: （1）struggle with understanding the problem context and conditions; （2）struggle with establishing criteria; （3）struggle with formulating a model that accounts for the conditions; （4）struggle with identifying variables and formulating equations; （5） rigidity in problem-solving approaches; （6）struggle with justifying and comparing alternatives under open-ended conditions; （7）insufficient self-monitoring of results or solutions; and （8）struggle with understanding and interpreting mathematical concepts. Separately, struggle with communication among group members, which did not belong to any specific modeling stage, was also observed. These struggles were prominent not only within particular stages but also during the transitions between stages, and some appeared across multiple stages. In particular, students repeatedly justified open-ended conditions solely on the basis of their own real-life experiences or became fixed on familiar problem-solving approaches, which shows that the authenticity and openness of mathematical modeling problems elicited struggles rarely revealed in routine, well-structured problems. Regarding Research Question 2, the teacher's responses through noticing did not act uniformly in enabling students' struggles to develop into productive struggle; rather, their patterns were distinguished in the following five ways. First, when the teacher's attention to a student's struggle did not lead to interpreting it as a ‘struggle’ the teacher failed to reach an appropriate response, and the student's struggle accumulated. Second, the teacher's responses were adjusted according to the student's cognitive readiness. Third, unlike student-led responses, teacher-directed responses brought about immediate change or realization in students' struggles but were limited in sustaining it. However, when students experienced productive struggle through appropriate teacher noticing, this state was maintained even without additional noticing or responses to the student's struggle. Fourth, depending on individual student characteristics, peer interaction alone was limited in resolving struggles, and responses needed to be tailored to each student's individual characteristics. Fifth, students' affective factors also acted on the process of developing into productive struggle. This study offers the following implications. First, when a teacher appropriately notices a student's struggle, it can lead to a teacher response and can guide the development of the student's productive struggle. Therefore, with respect to students' struggles as well, teachers need to interact actively with students in order to interpret the underlying meaning, rather than confining their attention to students' surface-level behaviors or utterances. Second, for students whose engagement is not outwardly visible, a step of eliciting their participation must precede responding to their struggles. Third, teachers should carry out noticing that enables struggles to develop in a productive direction on the basis of students' cognitive readiness; accordingly, teachers need to ascertain whether the cognitive foundation for students to make their learning productive is in place and to adjust the intensity of their responses to students' readiness. Fourth, although the realizations or changes brought about by teacher-directed responses were short-lived, student-led responses such as peer interaction acted to move students toward productive struggle, and the resulting changes were sustained relatively longer; therefore, even if teachers use teacher-directed responses to help students overcome their struggles in the short term, they ultimately need to foster the sustained use of student-led responses such as peer interaction and to elicit students' participation. Fifth, productive struggle and the affective dimension were found to be mutually influential. Sixth, this study classified the struggles arising during mathematical modeling and revealed that minimal teacher responses preserving student independence are particularly needed in the real-world problem and model stages of modeling. The limitations of this study are as follows. First, because the analysis was confined to the struggles the teacher attended to, the study is limited in representing all of the struggles that arise during mathematical modeling. Second, as a qualitative case study centered on two lessons by a single teacher and a small number of case students, the findings are limited in their generalizability. Third, longitudinal research is needed to trace how the transfer and internalization of productive struggle are sustained over time. Fourth, further research is needed on an analytic framework for identifying the characteristics of productive and unproductive struggle in mathematical modeling. Fifth, because the researcher was also the teacher who conducted the lessons, the researcher's subjectivity may have been reflected in the noticing judgments and in the analysis of students' struggles. Follow-up studies were proposed to address these limitations.