이차곡선에 대한 수학교사의 지식 및 테크놀로지 활용에 관한 이해와 인식 분석

Abstract

다양한 테크놀로지를 활용하는 비대면 온라인 학습의 확대로 교육시스템이 빠르게 변화하고 있다. 이러한 급격한 전환이 요구되는 시대를 맞아 수학교육에서도 교사의 테크놀로지에 대한 지식과 역량 신장을 위한 교수‧학습 방향이 다수의 연구에서 제안되고 있다. 2015 개정 수학과 교육과정 <기하>의 이차곡선 단원에서는 포물선, 타원, 쌍곡선을 학습요소로 하여 각각의 뜻과 방정식, 직선과의 위치 관계와 접선의 방정식을 학습한다. 이차곡선은 원뿔을 절단하여 얻을 수 있는 곡선이라는 기하학적 특성을 가지므로 다양한 작도 방법과 원뿔곡선의 의미를 학습함으로써 학생들은 대수적 개념과의 연결성을 경험할 수 있고, 수학적 사고력과 직관을 기를 수 있다. 그러나 학교 현장에서는 시간적 제약으로 대수적 정의와 공식 중심으로 수업이 이루어지고 있으며, 2015 개정 수학과 교육과정의 성취기준과 교수․학습 방법 및 유의 사항에 명시된 기하와 대수의 연결성을 경험하는 수업은 미흡한 편이다. 이차곡선 관련 선행 연구는 테크놀로지를 활용한 이차곡선 수업자료의 개발과 지도방법 제안 연구가 주로 이루어졌지만, 중등 수학교사 대상의 이차곡선에 대한 교사 지식과 테크놀로지 활용에 관한 이해와 인식 관련 연구는 거의 없는 편이다. 이에 따라 본 연구는 중등 수학교사의 이차곡선에 대한 이해와 인식을 분석하고 이차곡선의 교수 실제를 파악하여 이차곡선 수업 지도방안 및 교사교육의 개선 방향을 제안하고자 하는 목적을 두고 다음과 같이 연구문제를 설정하였다. 연구문제 1. 2015 개정 수학과 교육과정 <기하> 교과서에 나타난 이차곡선의 대수적 표현과 기하적 특성은 어떠한가? 연구문제 2. 이차곡선에 대한 중등 수학교사의 교수를 위한 수학적 지식은 어떠한가? 연구문제 3. 이차곡선에 대한 중등 수학교사의 테크놀로지 활용에 관한 이해와 인식은 어떠한가? 본 연구에서는 2015 개정 수학과 교육과정에 따른 <기하> 교과서 7종의 이차곡선 단원의 구성 및 체계와 내용 표현, 과제 유형을 분석하였다. 그리고 중등 수학교사 30명을 대상으로 온라인 검사를 실시하여 이차곡선에 대한 교수를 위한 수학적 지식과 테크놀로지 활용에 관한 이해와 인식을 분석하였다. 연구문제 1에 대한 분석 결과, 7종의 교과서에 대하여 이차곡선 단원의 배치와 구성은 유사하였는데, 1종의 교과서만 각 이차곡선을 중단원으로 배치하여 포물선, 타원, 쌍곡선을 중심으로 학습하도록 단원이 구성되어 있었다. 이차곡선 대단원의 구성 체제의 내용은 동일한 교육과정을 따르는 교과서이므로 유사하였고, 2015 개정 수학과 교육과정의 6가지 수학 교과 역량을 기를 수 있는 탐구 활동을 강조한 대단원 구성 체제 유형과 그렇지 않은 유형으로 분류할 수 있었다. 이차곡선 단원의 대수적 표현과 기하적 특성을 분석한 결과, 이차곡선의 정의 기술방식은 두 가지 유형으로 분류할 수 있었다. 정의에 ‘두 일차식의 곱으로 인수분해되지 않는’이라는 조건을 포함하거나, ‘특수한 경우를 제외하고’라는 일상적 용어를 이용하여 정의하여 차이가 있었다. 다음으로 이차곡선 작도 방법은 교과서마다 소개하는 유형과 개수가 달랐다. 주로 소단원 도입 활동이나 탐구 활동 형태로 제시되었고, 각 교과서는 포물선, 타원, 쌍곡선에 대하여 한 가지 이상의 작도 방법을 소개하고 있었다. 이차곡선의 기하적 특성에 해당하는 원뿔곡선에 대한 설명은 모든 교과서에서 한 가지 이상의 형태로 포함되어 있었으며, 주로 단원의 도입에서 글 또는 그림을 포함한 설명이나 읽기자료의 형태로 제시되고 있었다. 교과서에 원뿔곡선의 설명이 도입부에 간략하게 포함된 경우에는 2015 개정 수학과 교육과정의 교수․학습 유의 사항인 ‘이차곡선은 원뿔을 절단해서 얻을 수 있는 곡선임을 이해하고, 이를 통해 기하적 대상을 대수적으로 다룰 수 있음을 인식하게 한다.’에 따른 실천은 쉽지 않을 것으로 분석하였다. 이차곡선 단원의 과제 유형 분석 결과, 테크놀로지 활용 과제에서는 그래프를 통해 시각적으로 확인하기 위해 활용한 유형의 과제가 가장 많았다. 이차곡선의 기하적 특성을 확인할 수 있는 작도를 위해 활용하는 유형이나 기하학적 성질을 탐구하기 위해 활용하는 유형은 적은 편이었다. 실생활 활용 맥락 과제에서는 과학적 맥락의 과제가 가장 많았는데, 이는 이차곡선이 실제 활용되는 우주 과학, 기술 공학, 의학 분야 등의 현실적인 맥락이 반영된 것으로 분석하였다. 연구문제 2의 결과를 얻기 위하여 중등 수학교사 30명의 총 10개의 문항으로 이루어진 이차곡선에 대한 중등 수학교사의 교수를 위한 수학적 지식(MKT) 검사 응답을 분석하였다. 교과 내용 지식(SMK) 중 일반 내용 지식(CCK)의 분석 결과, 이차곡선의 정의는 무응답한 교사 1명을 제외하고 모두 정답을 적어 교사의 이해도가 높았으며, 이차곡선의 성질 문항은 포물선, 타원, 쌍곡선의 순서로 정답률이 낮아졌다. 이차곡선 판별 문항의 경우 정답률이 낮았는데, 주어진 방정식의 형태에서 변수에 따라 표현 가능한 이차곡선 중 일부만 응답한 교사들이 많았다. 익숙한 유형의 문항은 아닐 수 있었지만, 방정식의 형태를 관찰하여 이차곡선을 판별하는 문항이므로 난이도가 높지 않음에도 불구하고 정답을 제시한 교사가 상대적으로 적게 나타났다. 전문 내용 지식(SCK)의 분석 결과, 이차곡선의 기하적 특성인 원뿔곡선의 의미는 86.7%가 올바르게 응답하여 교사들의 이해도가 높은 편이었던 반면, 이차곡선 작도 방법을 올바르게 응답한 교사는 40%에 불과했다. 그리고 단델린 구를 이용한 원뿔곡선의 이해를 살펴본 결과 정답과 풀이과정을 모두 올바르게 제시한 교사는 43.3%였다. 결과를 종합해보면, 일반 내용 지식보다 전문 내용 지식에 대한 교사의 전반적인 이해도가 낮음을 알 수 있었다. 교수학적 내용 지식(PCK) 중 내용과 학생에 관한 지식(KCS)의 분석 결과, 학생이 가진 타원과 쌍곡선의 오개념은 거의 모든 교사가 올바르게 파악하였다. 극복을 위한 지도방법은 이차곡선의 정의나 대수식을 강조하는 대수적 지도와 그래프를 이용한 시각적 지도를 혼합하여 지도하는 방법을 제시한 교사가 가장 많았다. 이차곡선의 유용성과 가치 인식 문항은 실생활에 유용하다는 응답이 83.3%였고, 유용하지 않다고 응답한 16.7%는 실생활에 많이 활용되더라도 이를 인식하기 어렵고 학교 현장에서도 이를 강조하여 지도하는 것은 어렵다고 답하였다. 내용과 교수에 관한 지식(KCT) 의 요소인 이차곡선의 기하적 특성 지도방법 문항에서 구체적으로 지도방법을 제시한 경우는 56.7%에 해당했다. 이차곡선의 대수적 개념과 기하적 의미의 연결 지도방법 문항에서는 테크놀로지를 활용하면 학생들의 시각적 이해를 도울 수 있어 효과가 있을 것이라는 응답이 가장 많았다. 마지막으로 연구문제 3의 결과를 얻기 위하여 중등 수학교사의 수학 교수‧학습에서의 테크놀로지 활용에 관한 이해와 인식을 분석하였다. 선행 연구를 토대로 단답형, 서술형, 테크놀로지 내용교수지식(TPACK) 측정을 위한 척도형 문항으로 구성한 검사 도구와 분석틀을 제작하였다. 온라인 검사를 통해 수집된 중등 수학교사 30명의 응답 자료는 분석틀에 따른 중복코딩을 하였으며, SPSS 통계 프로그램을 이용하여 기술통계량 분석과 집단별 평균분석을 하였다. 분석 결과, 대부분의 교사들이 수학 교수․학습에서의 테크놀로지 활용에 긍정적인 인식을 갖고 있었다. 많은 교사들이 학생의 개념 이해에 도움이 되며 수학적 사고력이 신장될 수 있고, 수업 시간의 효율적 사용에 장점이 있다고 하였다. 반면, 테크놀로지 지식의 부족함과 수업 시간의 제약 및 물리적 환경의 부족으로 인해 실제 수학 수업에서의 활용에 대한 부정적인 인식을 가진 교사들도 있었다. 이러한 본 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫째, <기하> 교과서의 이차곡선 단원 분석 결과, 학생들이 이차곡선의 기하학적 성질을 경험할 수 있는 내용이 부족한 편이었다. 기하와 대수의 연결성을 경험할 수 있는 이차곡선 단원이므로, 학생들이 이차곡선이 원뿔의 절단을 통해 얻을 수 있는 곡선임을 이해하고 연결성을 경험할 수 있도록 지도할 필요가 있다. 교사의 이차곡선에 대한 전문 내용 지식과 내용과 교수에 관한 지식의 이해도가 낮은 편이었던 점은 <기하> 교과서에 기하적 특성 관련 설명이 부족했던 점과 관계가 있을 것으로 해석하였다. 둘째, 이차곡선의 기하적 특성에 대한 의미와 지도방법을 구체적으로 이해하고 있는 교사는 적은 편이었다. 교사가 익숙한 편인 이차곡선의 대수적 개념을 요소로 한 일반 내용 지식의 이해는 높았지만, 이차곡선의 기하적 특성과 관련된 교사의 전문 내용 지식과 내용과 교수에 관한 지식의 이해도가 낮은 편으로 나타났다. 셋째, 수학 교수․학습에서의 테크놀로지 활용에 대하여 대부분의 교사가 필요성과 유용성을 인식하고 있었으나, 실제 교실에서의 적용이 어려움을 밝혔다. TPACK 평균 점수 결과는 교직 경력보다 교사의 개인차가 두드러졌는데, 이는 교사 개인의 관심과 이해도가 더 많은 영향을 미침을 의미한다고 분석하였다. 그리고 비대면 온라인 수업이 확대된 상황임에도 테크놀로지 관련 연수 경험이 없는 교사가 50%에 가까웠던 것은 테크놀로지 활용 관련 교사교육의 필요성을 뒷받침하는 결과이다. 2015 개정 수학과 교육과정에서 공학적 도구의 활용을 강조하고 있는 만큼, 수학 교수‧학습과 테크놀로지의 통합된 활용을 위하여 물리적 환경의 개선과 다각적인 지원이 요구된다. 본 연구의 시사점으로, 2015 개정 수학과 교육과정이 시행된 이후 이차곡선에 대한 교과서 분석 및 수학교사 대상 연구가 거의 없어 본 연구의 <기하> 교과서와 이차곡선에 대한 중등 수학교사의 이해와 인식을 함께 분석하여 이차곡선의 교수‧학습의 실제를 파악한 것에 의의가 있다. 그리고 기존의 선행 연구는 역동적 기하 소프트웨어를 활용한 수업자료 개발과 지도방안 제시 연구 위주로 이루어져, 본 연구는 이차곡선에 대한 중등 수학교사의 이해와 인식을 교수를 위한 수학적 지식과 수학 교수․학습에서 테크놀로지 활용에 관한 인식을 함께 분석했다는 점에 시사점이 있다. 본 연구는 중등 수학교사 30명을 대상으로 질적 분석하여 연구결과의 일반화는 어려우며, 교사의 지식 분석을 위하여 이차곡선 지도 경험이 없는 교사도 연구대상에 포함하였다. 또한, 교과서와 지필 형태의 검사만을 이용하여 이차곡선 수업의 관찰 또는 교사가 지도한 학생 연구는 이루어지지 않아 제한점이 있다. 본 연구의 결론과 시사점 및 제한점을 토대로 후속 연구에 대한 제언을 하면 다음과 같다. 이차곡선 지도 경험이 있는 교사의 수를 늘려 연구대상으로 선정하고, 이차곡선 수업의 관찰과 면담을 통해 교사의 이해와 의도를 파악하여 실질적인 이차곡선 수업 연구 자료를 수집하여 분석하는 후속 연구를 제안한다. 이차곡선 수업에서의 교사와 학생의 담화를 분석함으로써 테크놀로지를 활용 방법과, 기하적 특성과 관련하여 이루어지는 지도방법, 또는 대수적 개념과 기하적 특성의 연결에 대하여 실제적인 교실 상황을 바탕으로 한 종합적인 분석이 가능할 것이다. 그리고 이차곡선 수업에서 기하적 특성을 대수적 개념과 함께 지도할 수 있도록 테크놀로지를 수업에 적용하여 교사와 학생의 반응을 분석하고, 이러한 수업을 통해 교사의 TPACK 점수의 변화를 측정하여 비교하는 후속 연구를 제안한다.;The education system is rapidly changing due to the expansion of non-face-to-face online learning that utilizes various technologies. In the era of this rapid transition, many studies have suggested teaching and learning directions for the development of teachers' knowledge and competence in mathematics education. In the quadratic curve unit of the 2015 revised mathematics curriculum <Geometry>, parabola, ellipse, and hyperbola are used as learning elements to learn their respective algebraic definitions, equations, location relationships with straight lines, and equations of a tangent line. Quadratic curves have the geometric property of curves obtained by the angle cutting a cone, so learning the meanings of various methods of composition and conic sections allows students to experience the connectivity with algebraic concepts, and develop mathematical thinking and intuition. However, due to time constraints, classes are centered on algebraic definitions and formulas, and there are insufficient classes to experience the connectivity between geometry and algebra specified in the 2015 revised mathematics curriculum achievement criteria, and teaching and learning methods notes. Prior research on quadratic curves has mainly suggested a teaching method by the technology especially dynamic geometry software, but few understanding and perception related studies on teacher knowledge and technology use of quadratic curves for secondary mathematics teachers. Accordingly, this study established the following research questions with the aim of analyzing mathematics teachers’ understanding and perception of quadratic curves and proposing guidelines for teaching quadratic curves and improvement of teacher education by identifying the teaching practice of quadratic curves. 1. What are the algebraic representations and geometric characteristics of quadratic curves in the 2015 revised mathematics curriculum <Geometry> textbook? 2. What is the mathematical knowledge for teaching(MKT) of secondary mathematics teachers on quadratic curves? 3. What is the understanding and perception of secondary mathematics teachers about the use of technology on quadratic curves? In this study, it’s analyzed by the unit composition and structure, content representation, and task type of quadratic curve units of the 7 <Geometry> textbooks according to the 2015 revised mathematics curriculum. In addition, 30 secondary mathematics teachers were inspected online to analyze their mathematical knowledge for teaching and the perception of the use of technology for teaching quadratic curves. As a result of the analysis of the research question 1, the layout and composition of the quadratic curve sections were similar for 7 textbooks, with only one type of textbook arranged as a discontinuation source to learn around parabola, ellipse, and hyperbola. The contents of the quadratic classification system were similar because it was a textbook that followed the same curriculum, and it could be classified into the section that emphasized exploration activities that could develop six mathematical competencies in 2015 revised mathematics curriculum. After analyzing the algebraic representation and geometric properties of the quadratic curve unit, the definition techniques of the quadratic curve could be classified into two types. There were differences in the definition by including the condition that it would not be factorized by the multiplication of the two primary equations, or by using the everyday term ‘except in special cases’. Next, the construction method of quadratic curves was different in each textbook. It was mainly presented in the form of small unit introduction activities or exploration activities, and each textbook introduced one or more methods of construction for parabola, ellipse, and hyperbola. A description of the conic sections corresponding to the geometric characteristics of the quadratic curve was included in more than one form in all textbooks, mainly in the introduction of the unit in the form of explanations or readings containing text or pictures. If a description of the conic sections is briefly included in the introduction, it is recognized that ‘The quadratic curve is a curve obtained by cutting a cone, which is a reminder of the 2015 revised mathematics curriculum, and that it can treat geometric objects algebraically.’ It is analyzed that it will not be easy to implement in accordance with. As a result of the analysis of task types in the quadratic curve section, the technology utilization task had the most types of tasks used to visually check through graphs. Few types were utilized to explore the geometric properties of the quadratic curve, or to explore the geometric properties. In the context task of real-life utilization, there were the most scientific context tasks, which reflected the realistic contexts of space science, technology engineering, and medical fields where the quadratic curve is actually used. To obtain the results of the research question 2, the mathematical knowledge for teaching(MKT) test responses for a total of 10 questions were analyzed from 30 secondary mathematics teachers. According to the analysis of common content knowledge(CCK) among the subject matter knowledge(SMK), the definition of the quadratic curve was high in understanding by writing the correct answer except for one unresponsive teacher, and the characteristics of the quadratic curve were reduced in order of parabola, ellipse, and hyperbola. In the case of quadratic curve construction questions, the answer rate was low, and many teachers responded to only some of the quadratic curves that could be expressed according to variables in the form of a given equation. Although it may not have been a familiar type of question, relatively few teachers gave the correct answer, despite the fact that the difficulty is not high, since it is a question that determines the quadratic curve by observing the form of the equation. As a result of the analysis of specialized content knowledge(SCK), 86.7% of the geometric characteristics of the quadratic curve were correct and teachers were well understood, while only 40% of the teachers correctly responded to the quadratic curve writing method. And looking at the understanding of the conic sections using the Dandelin’s sphere, 43.3% of the teachers correctly presented both the correct answer and the solving process. Considering the results, teachers have a lower overall understanding of specialized content knowledge than common content knowledge. As a result of the analysis of the knowledge of content and students(KCS) among the pedagogical content knowledge(PCK), almost all teachers correctly grasped the five concepts of ellipse and hyperbolic lines. The majority of teachers suggested a mixture of algebraic representations and visual representations using graphs that emphasize the definition of quadratic curves or algebraic equations. 83.3% of teachers said that the usefulness and value recognition question of quadratic curves are useful in real life, and 16.7% of the teachers said that it is difficult to recognize them even if they are used a lot in real life, and it is difficult to emphasize them at school. 56.7% specifically suggested a method of guidance in the question of how to map geometric characteristics of the quadratic curve, an element of knowledge of content and teaching(KCT). In the question of how to map the algebraic concept and geometric characteristics of quadratic curves, most of teachers responded that using technology will help students understand the visual representations. Finally, I analyzed the knowledge and the perception of mathematics teachers about teaching mathematics with integrating technology to obtain the results of research question 3. Based on prior research, I produced an inspection tool and analytical framework consisting of single-answer, descriptive, and scale questions for TPACK measurements. The responses of 30 mathematics teachers collected through online examinations were duplicated by the analytical framework, and technical statistics analysis and group-by-group average analysis were performed by using the SPSS statistical program. As a result of the analysis, most teachers had a positive perception of the use of technology in mathematics teaching and learning. Many teachers said it helps students understand concepts, can improve their mathematical thinking, and has the advantage of efficient use of class time. On the other hand, there were teachers who had a negative perception of their use in real mathematics classes due to the lack of knowledge of technology, the constraints of class time, and the lack of physical environment for using technology. From the results of this study, the following conclusions can be obtained: First, as a result of the analysis of the quadratic curve unit in the <Geometry> textbook, there was a lack of content for students to experience the geometric characteristics of quadratic curves. Since it is a quadratic curve unit that can experience connectivity between geometry and algebra, it is necessary to guide students to understand that quadratic curves can be obtained by the angle of cutting a cone and to experience the connectivity. It was interpreted that the result of the low teacher's understanding on quadratic curves were relative to the lack of explanations related to geometric characteristics in the <Geometry> textbook. Second, few teachers specifically understood the meaning of the geometric characteristics of the quadratic curve and the method of guidance. Although there was a high understanding of common content knowledge based on algebraic concepts of quadratic curves, which teachers are familiar with, the specialized content knowledge related to geometric characteristics of quadratic curves was found to be low. Third, most teachers were aware of the necessity and usefulness of technology in mathematics teaching and learning, but the application in the actual classroom was difficult. The TPACK average score results showed that teacher individual differences were more pronounced than teaching experience, meaning that teacher individual interests and understanding had more impact. And despite the expansion of non-face-to-face online classes, nearly 50 percent of teachers had no experience in technology-related training, which is a result of supporting the need for teacher education related to technology utilization. As the 2015 revised mathematics curriculum emphasizes the use of engineering tools, improvement of the physical environment and various support are required for the integrated use of mathematics teaching and learning and technology. As an implication of this study, there has been little textbook analysis and mathematics teacher study on quadratic curves since the 2015 revised mathematics curriculum was implemented, so it is meaningful to analyze the understanding and perception of secondary mathematics teachers in this study. In addition, the existing prior research focuses on the development of class materials using dynamic geometry software and the presentation of guidance, which suggests that the understanding and perception of secondary mathematics teachers on quadratic curves were analyzed together with mathematical knowledge for teachers and perception of technology utilization in mathematics teaching and learning. This study analyzed 30 secondary mathematics teachers in qualitative analysis, making it difficult to generalize the results of the study, and teachers who did not have experience in teaching quadratic curves were also included in the study for the purpose of analyzing teachers' knowledge. In addition, there is a limitation because the observation of quadratic curve classes or student studies guided by analyzing only textbooks and paper-type test responses of teachers. Based on the conclusions, implications and limitations of this study, suggestions for subsequent studies are as follows. I suggest a follow-up study that increases the number of teachers with teaching experience in quadratic curves to select them as subjects of study, and collects and analyzes substantial quadratic curve class research data by grasping teachers' understanding and intentions through observations and interviews in the quadratic curve class. Analyzing the discourse of teachers and students in quadratic curve classes will enable comprehensive analysis based on practical classroom situations on how to use technology, how to guide it in relation to geometric features, or the connection of algebraic concepts and geometric characteristics on quadratic curves. And to apply technology to the quadratic curve class to analyze teacher and student responses so that geometric properties can be guided with algebraic concepts in the quadratic curve class, and suggest a follow-up study to measure and compare changes in teachers' TPACK scores through these classes.