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수학적 귀납법에 대한 교과서 비교 및 학생과 교사의 이해와 인식 분석 연구

Title
수학적 귀납법에 대한 교과서 비교 및 학생과 교사의 이해와 인식 분석 연구
Other Titles
A study on the Comparative Analysis of Mathematics Textbooks and Analysis of Students’ and Teachers’ Understanding and Perception on Mathematical Induction
Authors
이소라
Issue Date
2020
Department/Major
대학원 수학교육학과
Publisher
이화여자대학교 대학원
Degree
Master
Advisors
노선숙
Abstract
수학적 귀납법이라는 용어는 드 모르간(A. De Morgan, 1806~1871)이 처음 사용했으며, 이 증명법은 페아노(G. Peano, 1858~1932)가 발표한 자연수의 공리에 의해 정당성이 인정되었다. 수학적 귀납법은 수학, 특히 정수론에서 중요한 증명 기술로, 자연수의 정렬성을 기초로 하여 자연수로 구성된 이론을 증명하는데 사용된다. 우리나라 수학과 교육과정에서는 수학적 귀납법을 대수 영역에서 다루고 있으며, 2015 개정 교육과정에서는 고등학교 때 학습하는 <수학Ⅰ> 교과의 ‘수열’ 단원에서 다루고 있다. 그러나 일반적으로 고등학생뿐만 아니라 대학생, 예비 수학 교사, 현직 수학 교사들도 수학적 귀납법을 이해하는데 어려움을 겪는다고 알려져 있다. 그 이유는 수학적 귀납법이 독특한 수학적 함축관계인 귀납 단계를 포함하고 있고, 증명해야 할 것을 가정하는 것처럼 보이는 귀납 가설을 도입하며, 명제에서 사용되는 ‘모든’, ‘어떤’과 같은 양화사와 변수가 미묘하게 사용되기 때문이다. 이에 학생들은 수학적 귀납법의 원리에 대한 이해 없이 형식적인 반복을 통해 문제 해결에만 능숙해지기도 하며, 교사는 수학적 귀납법의 등장 배경이나 원리를 수학적 사실로부터 유도하는 설명 없이 학생들에게 소개하기도 한다. 또한 교과서에서는 주로 수학적 귀납법과 관련하여 등식, 부등식, 가분성 문제를 다루는데 이마저도 이미 학생들에게 익숙한 식이어서 단순히 증명 기법을 익히게 하는 데에만 초점이 맞추어져 있기 때문에 학생들이 수학적 귀납법의 필요성을 의심하는 결과를 초래한다. 이러한 어려움 때문에 일부 학자들은 수학적 귀납법을 학교수학에서 제외하자고 주장하기도 한다. 그러나 수학적 귀납법은 수학에서 증명으로서의 중요성 외에도, 학생들의 증명 개념을 향상시키는 맥락을 제공할 수 있다. 한편, 2015 개정 수학과 교육과정에서는 문제 해결, 추론, 의사소통, 창의·융합, 정보처리, 태도 및 실천의 6가지 수학적 역량을 강조하고 있다. 이 중에서 추론은 수학적 사고의 근원이 된다. 수학적 귀납법은 자연수에 대한 추측을 기반으로 하고 논리적, 연역적인 과정을 거쳐서 증명하기 때문에 수학적 귀납법을 통한 귀납 추론 능력과 연역 추론 능력을 개발할 수 있다. 뿐만 아니라, 학생들의 수학적 사고 능력을 개발하는 데 수학 교육의 목적이 있고, 고등학교에서 수학적 귀납법이 도입되어야 한다는 일반적인 합의가 있음을 고려할 때, 고등학생들의 수학적 귀납법에 대한 이해를 돕고 이를 효과적으로 지도하기 위한 교육과정 및 교과서, 교수·학습 방법에 대한 연구가 필요하다. 이에 본 연구에서는 의도된 교육과정, 실현된 교육과정, 전개된 교육과정을 바탕으로 2015 개정 교육과정에서의 수학적 귀납법에 대한 교수와 학습의 실태를 분석하고자 한다. 이 결과를 통하여 학생들의 수학적 귀납법 이해 및 인식에 대한 교사의 이해를 돕고, 학생들의 수학적 귀납법으로 증명하는 능력을 향상시키기 위한 효과적인 교수·학습 방법을 찾는 데에 도움이 될 수 있는 의미 있는 정보를 제공하고자 한다. 이를 위해 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 연구문제 1. 2015 개정 교육과정에서의 수학적 귀납법에 대한 성취기준 및 교수·학습 방향이 교과서에서 어떻게 구현되었는가? 연구문제 2. 2015 개정 교육과정에서의 수학적 귀납법을 학습한 고등학생들의 수학적 귀납법에 대한 이해와 인식은 어떠한가? 연구문제 3. 2015 개정 교육과정에서의 수학적 귀납법에 대한 중등 수학교사의 교수를 위한 지식은 어떠한가? 첫 번째 연구문제에 대한 결과를 얻기 위해서 2015 개정 교육과정과 이를 반영한 2015 개정 <수학Ⅰ> 교과서 총 9종을 대상으로 수학적 귀납법 단원을 비교 분석하였다. 교과서의 수학적 귀납법 단원 분석을 위해 교과서의 단원 구성, 수학적 귀납법 내용 전개 방식, 교과서에 수록된 문제 구성을 기준으로 분석틀을 마련하였다. 이를 토대로 빈도 분석, 질적 분석하였다. 두 번째 연구문제에 대한 결과를 얻기 위해서 서울시에 위치한 고등학교 2학년 2개 학급의 학생 60명을 대상으로 지필 검사를 실시하였다. 검사 도구는 선행 연구를 토대로 수학적 귀납법에 대한 이해와 인식에 관한 세부 기준을 세우고 이를 조사할 수 있는 문항으로 구성하였다. 검사지는 총 6문항으로, 소문항을 포함하면 총 11개의 문항으로 이루어졌다. 학생들의 응답을 바탕으로 고등학교 2학년 학생들의 수학적 귀납법에 대한 이해와 인식에 대해 빈도 분석, 질적 분석하였다. 세 번째 연구문제에 대한 결과를 얻기 위해서 중등 수학교사 10명을 대상으로 지필 검사를 실시하였다. 검사 도구는 선행 연구를 바탕으로 중등 수학교사의 수학적 귀납법 교수를 위한 지식을 분석하기 위한 문항으로 구성하였다. 이를 위해 먼저 교수를 위한 수학적 지식을 분류한 뒤, 각 지식에서 수학적 귀납법의 교수를 위한 지식의 요소를 선정하였다. 그리고 이를 조사하기 위한 내용으로 문항을 구성하였다. 검사지는 총 12문항으로, 소문항을 포함하면 총 15개의 문항으로 이루어졌다. 교사들의 응답을 바탕으로 중등 수학교사의 수학적 귀납법을 지도할 때 필요한 수학적 지식에 대해 빈도 분석, 질적 분석하였다. 첫 번째 연구문제인 2015 개정 <수학Ⅰ>교과서에서 수학적 귀납법이 어떻게 다루어지고 있는지 분석한 결과는 다음과 같다. 우리나라의 경우, 국가 수준의 교육과정에 따라서 교과서를 제작하기 때문에 9종의 <수학Ⅰ> 교과서 단원 구성에 큰 차이를 보이지는 않았고, 수학적 귀납법 단원은 공통적으로 Ⅲ. 수열 단원의 중단원 혹은 소단원에 배치되어 있었다. 수학적 귀납법 단원의 체계도 약간의 용어의 차이는 있었지만 전체적으로 9종의 교과서가 ‘준비학습 → 소단원별 내용 → 확인학습 문제 → 모둠 활동 → 마무리 문제 → 수학 이용 분야 소개’의 체계를 따르고 있었다. 또한 공통적으로 2015 개정 수학과 교육과정에서 강조하는 6가지 역량의 함양을 위한 활동을 교과서에서 다루고 있었다. 수학적 귀납법의 비중을 비교해 보았을 때에는 약간의 차이는 있었지만 3~4장을 수학적 귀납법 단원에 할애하고 있었으며 이는 전체 교과서의 2~3%에 해당했다. 9종의 <수학Ⅰ> 교과서에서 수학적 귀납법 내용의 전개를 조사한 결과, 공통적으로 도미노 모델을 사용하여 수학적 귀납법의 원리를 설명하고 있었지만 도미노를 제시하는 방법은 교과서마다 차이가 있었다. 또한 ‘증명의 필요성’을 강조한 교과서도 있었으며 증명의 필요성에 대한 언급을 하지 않은 교과서도 있었다. 교과서에서 다루는 예제의 수는 한 교과서만을 제외하고는 모두 2개씩 있었다. 예제에 제시된 풀이 과정은 두 가지 유형으로 분류되었는데, 7종의 교과서에서는 수학적 귀납법의 귀납 단계를 보일 때 구성적 단계 상승 형태의 풀이를 제시하였다. 마지막으로 교과서의 문제는 응답 유형과 소재, 문제에 있는 함수의 성격에 따라 각각 분류할 수 있었는데, 각 분류에 따라 문제 수에 있어서 약간의 차이가 있었다. 두 번째 연구문제인 2015 개정 교육과정에서의 수학적 귀납법을 학습한 학생들의 이해와 인식을 분석한 결과는 다음과 같다. 먼저 수학적 귀납법에 대한 이해의 측면은 수학적 귀납법의 원리, 수학적 귀납법의 가정, 수학적 귀납법의 결론을 보증하기 위한 세 가지 조건, 수학적 귀납법으로 증명할 수 있는 상황 이해, 안내가 있는 경우와 그렇지 않은 경우의 증명 구성을 통해 분석하였다. 연구 결과, 학생들은 객관식 문항으로 구성되거나 증명의 형식이 제시된 경우에는 높은 정답률을 보였다. 그러나 선택의 이유를 묻는 문항에 대해서는 적절하게 설명한 비율이 현저히 낮게 나타났다. 이로 미루어 볼 때, 학생들은 수학적 귀납법을 증명 방법으로서 정확하게 이해하고 이를 활용하기 보다는 귀납 단계의 대수적 조작에만 집중하고 있다고 볼 수 있다. 수학적 귀납법에 대한 인식의 측면은 수학적 귀납법의 유용성과 수학적 귀납법을 활용한 증명 문제에서 자신의 성공 가능성 예측을 통해서 살펴보았다. 먼저 수학적 귀납법의 유용성에 대해서는 과반수의 학생들이 수학적 귀납법을 유용하지 않다고 생각했다. 또한 수학적 귀납법을 활용하여 증명하는 방법을 모르거나 자신의 답안에 확신이 없는 학생들이 과반수가 되어 학생들은 수학적 귀납법이 유용하지 않으며 수학적 귀납법으로 증명하는 것에 대하여 자신이 없는 것으로 나타났다. 세 번째 연구 문제인 2015 개정 교육과정에서의 수학적 귀납법에 대한 현직 중등 수학교사의 수학적 귀납법을 지도할 때 필요한 수학적 지식을 분석한 결과는 다음과 같다. 중등 수학교사들의 수학적 귀납법 교수를 위한 일반 내용 지식 중 수학적 귀납법의 원리나 초기 조건의 필요성, 귀납 단계의 일반화에 대한 이해는 충분하지만 함수의 성격을 파악하거나 수학적 귀납법의 유용성을 인식하는 측면에 있어서는 연구에 참여한 교사들 간에 이견을 보였다. 수학적 귀납법 교수를 위한 전문 내용 지식에 있어서는 학생의 질문에 대한 답을 하거나 오류를 발견하는데 있어서 어려움을 보이지 않았으며, 대다수의 교사가 귀납의 한계를 보여주는 예시를 제시함으로써 증명의 필요성을 강조한다고 답하였다. 수학적 귀납법 교수를 위한 내용 연계 지식과 관련해서는 수학적 귀납법이 다른 수학 영역과 관계되는 영역을 대부분 ‘수열’이라고 답했으며, 일부는 수학적 귀납법이 증명 방법이라는 것에 주목하여 ‘명제와 증명’또는 수학 전체와 관련된다고 답하였다. 수학적 귀납법 교수를 위한 학생에 대한 지식에서는 수학적 귀납법을 학습한 학생이 나타낼 수 있는 오개념을 수학적 귀납법을 구성하고 있는 세 가지 요소에서 찾았으며, 학생의 동기부여를 위한 예를 제시하는 교사가 거의 없었다. 수학적 귀납법 교수를 위한 모델의 활용에 있어서는 모든 교사가 공통적으로 도미노 모델을 설명했고 한 명의 교사만 하노이의 탑 모델도 추가적으로 설명했다. 이로 미루어 볼 때, 많은 교사들이 수학적 귀납법을 가르칠 때 도미노 모델을 활용하여 학생들의 흥미를 유발하지만 실제적인 추론 활동을 통한 수학적 귀납법의 필요성은 강조하고 있지 않은 것으로 나타났다. 마지막으로 수학적 귀납법 교수를 위한 지식은 수학적 귀납법의 학습목표, 교수 계열, 내용과 형식에 대해 알고 있는지를 통해 분석하였는데, 조사 결과 50%의 교사는 모른다고 답했으며 나머지 50%의 교사는 충분히 알고 있었다. 이상의 연구결과를 바탕으로 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다. 첫째, 2015 개정 <수학Ⅰ> 교과서 중 증명의 필요성이 언급되지 않은 교과서로 학습한 학생들은 수학적 귀납법의 필요성과 유용성을 인식하기 어렵다. 본 연구의 결과, 증명의 필요성을 언급하고 있지 않은 교과서로 학습한 학생들은 증명의 필요성에 대해 의구심을 갖고 있는 것으로 나타났다. 이로 미루어 볼 때 증명의 필요성이 언급된 교과서는 9종의 교과서 중 4종의 교과서뿐이었으므로 증명의 필요성이 언급되지 않은 교과서로 학습한 학생들은 수학적 귀납법의 필요성을 인식하지 못할 수 있다. 따라서 교과서 저자는 증명의 필요성에 대해 설명해야 하며 교사는 교과서에 증명의 필요성이 언급되어 있지 않더라도 다양한 활동을 통해 증명의 필요성을 학생들이 인식할 수 있게 설명해야 한다. 아울러 Harel(2002)에 의하면, 수학적 귀납법을 지도할 때 암시적인 재귀적 성격의 함수를 활용하여 학생 스스로 함수의 재귀적인 성질을 찾을 수 있게 하면 학생들이 수학적 귀납법의 필요성과 원리를 이해할 수 있다. 그러나 우리나라 교과서에서는 암시적인 재귀적 성격의 수열로 하노이 탑 문제를 다루고는 있었지만 과 의 관계식을 구하는 것만 물어보는 경우로 끝나버리는 경우가 있었다. 또한 교과서에서 다루는 문제의 유형이 등식, 부등식, 가분성의 세 유형으로 한정되어 있고 이 마저도 이미 증명한 경험이 있는 식이기 때문에 더욱 수학적 귀납법의 필요성을 인식하게 하는데 어려움이 있다. 그러나 교과서에서 복잡한 수열이나 함수를 다루고 있지 않는 이유는 2015 개정 수학과 교육과정의 수학적 귀납법 교수·학습 방법 및 유의 사항으로 “수학적 귀납법에 의한 증명은 원리를 이해할 수 있는 정도로 간단하게 다룬다.”라고 명시하고 있기 때문인 것으로 보인다. 둘째, 선행 연구의 결과에 따라 학생들은 수학적 귀납법을 어려워하고 수학적 귀납법에 대해 부정적으로 인식하고 있을 것으로 예상하였는데, 실제로 많은 학생들이 수학적 귀납법을 이해해서가 아니라 대수적인 조작으로서 활용하고 있었으며 수학적 귀납법의 유용성에 대해서 인식하고 있지 못한 것으로 나타났다. 이는 학생들이 수학적 귀납법의 필요성에 대해 인식하지 못하고 있으며, 이미 증명한 명제를 수학적 귀납법으로 다시 증명하는 이유에 대해 충분한 설명이 되지 않았기 때문인 것으로 보인다. 학생들이 수학적 귀납법의 필요성에 대해 인식하지 못한 이유로는 그들이 사용한 교과서에 수학적 귀납법의 필요성이 언급되지 않았거나, 수업을 통해 수학적 귀납법의 필요성에 대해 생각해 보는 활동을 하지 못했기 때문인 것으로 보인다. 또한 학생들이 수학적 귀납법의 방법적인 측면에만 집중해서 학습하기 때문에 그 원리와 방법 및 필요성에 대해 충분히 이해하지 못하고 있는 것으로 볼 수 있다. 따라서 교과서 저자는 학생들이 수학적 귀납법의 필요성을 인식할 수 있는 설명을 교과서에 해 주어야 하며, 교사는 학생들이 수학적 귀납법의 필요성과 유용성을 인식할 수 있는 활동을 제공해 주어야 한다. 이를 통해 학생들이 수학적 귀납법의 원리와 필요성을 이해한 후 방법적인 측면에 주목할 수 있게 해야 한다. 셋째, 선행 연구에서 수학교사들도 수학적 귀납법을 이해하는데 어려움을 보인다고 했지만 본 연구에 참여한 수학교사들은 수학적 귀납법을 이해하는데 큰 어려움을 보이지는 않은 것으로 나타났다. 또한 수학교사들 간의 수학적 귀납법 교수를 위한 지식에 차이가 있는 것으로 나타났다. 예를 들어, 실제적 추측 활동이나 귀납의 한계를 보여주는 예를 사용하는 교사가 있는가 하면 그렇지 않은 교사도 있었다. 또한 많은 교사들이 수학적 귀납법은 증명 방법이라는 측면에서 중요하지만, 학생들이 어려워하는 내용이라는 것에 주목하여 흥미를 유발하는 것에 많은 노력을 기울이고 있다는 것을 알 수 있었다. 이때 많은 교사들이 학생들에게 친숙한 도미노 모델을 사용하여 흥미를 유발하고 있었다. 이와 같은 소재를 활용하여 수학적 귀납법을 학생들에게 소개하는 것은 수학적 귀납법의 원리를 이해하는데 도움이 된다. 그러나 도미노 모델뿐만 아니라 암시적인 재귀적 성격의 하노이 탑 모델을 활용한다면 학생들이 수학적 귀납법의 필요성에 대해서도 인식할 수 있을 것이다. 따라서 학생들에게 수학적 귀납법의 원리와 그 증명방법을 설명하기 위해 도미노 모델만 활용할 것이 아니라 다양한 소재를 활용할 수 있어야 한다. 본 연구의 의의 및 시사점은 다음과 같다. 첫째, 본 연구에서는 2015 개정 교육과정에서의 수학적 귀납법 성취 기준 및 교수학습의 방향에 따라 수학적 귀납법의 내용을 교과서에서 어떻게 새롭고 특색 있게 다루고 구현함으로써 교과역량을 달성하고자 했는지 조사했다는 점에서 의의가 있다. 둘째, 본 연구에서는 교과서에서 수학적 귀납법 단원에만 초점을 맞추어 분석하기 위한 기준과 내용 요소를 선정하였다. 이는 교과서의 다른 특정 단원이나 내용 영역을 분석할 때 분석틀의 토대가 될 수 있다. 셋째, 본 연구에서는 의도된 교육과정, 실현된 교육과정, 전개된 교육과정의 측면에서 수학적 귀납법을 분석했다. 즉, 특정한 단원에 대해서 교과서, 학생, 교사라는 교육과정의 세 측면을 모두 조사하고 분석하는 시도를 했음에 그 의의가 있다. 본 연구는 다음과 같은 제한점을 갖는다. 첫째, 본 연구는 서울 소재 학교의 고등학교 2학년 60명을 대상으로 하였기 때문에 연구 결과를 일반화하기에 무리가 있을 수 있다. 둘째, 본 연구는 중등 수학교사 10명을 대상으로 하여 그 수가 적기 때문에 중등 수학교사의 수학적 귀납법 교수를 위한 지식에 대하여 본 연구 결과를 일반화하기에 무리가 있을 수 있다. 셋째, 교사들의 수학적 귀납법 수업을 실제로 참관하지 않고 몇 개의 문항으로 구성된 지필 검사만으로 교수를 위한 지식을 분석하였는데 이를 통해 교사의 수학적 귀납법 교수를 위한 지식을 분석하는 데에는 한계가 있을 수 있다. 본 연구의 결과를 토대로 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 학생의 특성을 다양하게 하고 검사 대상의 수를 크게 하여 연구를 진행한다면 학생의 특성에 따라 수학적 귀납법의 이해와 인식에 차이가 있는지, 학생의 수학적 귀납법의 이해와 인식에 영향을 미치는 요소는 무엇인지 분석할 수 있을 것으로 기대된다. 둘째, 중등 수학교사의 수를 크게 하여 연구를 진행한다면 교사의 특성에 따라 수학적 귀납법의 교수를 위한 지식에 유의미한 차이가 있는지 분석할 수 있을 것으로 기대된다. 셋째, 수학적 귀납법의 교수를 위한 지식을 분석하기 위해 지필 검사뿐만 아니라 실제 교사의 수학적 귀납법 단원의 교재 연구, 수업 설계, 수업 진행의 전반적인 과정을 관찰하고 면담한다면 교사의 수학적 귀납법 교수를 위한 지식을 보다 상세하게 분석할 수 있을 것으로 기대된다. 넷째, 국내의 교육과정과 외국의 교육과정에서 수학적 귀납법의 학습 목표, 내용 체계를 비교한 뒤 각 국의 교과서에서는 이를 어떻게 특색 있게 구현하고 있는지 분석한다면 수학적 귀납법의 효과적인 지도를 위한 다양한 방법에 대한 정보를 얻을 수 있을 것으로 기대된다. ;The term mathematical induction was first used by A. De Morgan(1806–1871), and this proof was justified by the axiom of natural numbers published by G. Peano(1858–1932). Mathematical induction is an important proof technique in mathematics, especially in number theory, and is used to prove the theory of natural numbers based on their ordering. The Korean mathematics curriculum deals with mathematical induction in the algebraic domain, and the 2015 revised curriculum is dealt with in the 'Sequence' section of the curriculum. However, it is generally known that not only high school students but also college students, pre-service math teachers, and in-service math teachers have difficulty understanding mathematical induction. The reason is that mathematical induction involves inductive steps that are unique mathematical implications, introduces an inductive hypothesis that appears to assume proof, and subtly quantifiers and variables such as 'all' and 'some' used in propositions. Because it is used. Therefore students may become proficient in solving problems through formal repetition without understanding mathematical induction principles, and the teacher may introduce students to the students without explaining the background or principle of mathematical induction from mathematical facts. The textbook also deals with equations, inequalities, and divisibility issues in relation to mathematical induction, which are already familiar to students and focus only on learning the proofing techniques. Because of this difficulty, some scholars have argued to exclude mathematical induction from school mathematics. However, in addition to its importance as proof in mathematics, mathematical induction can provide a context for improving students' proof of proof. Meanwhile, the 2015 revised Mathematics curriculum emphasizes six mathematical competencies: problem solving, reasoning, communication, creativity and convergence, information processing, attitudes and practice. Inference is the source of mathematical thinking. Mathematical induction is based on the conjecture of natural numbers and proves through logical and deductive processes, so it is possible to develop inductive reasoning and deductive reasoning through mathematical induction. In addition, given the purpose of mathematics education in developing students' mathematical thinking skills and the general consensus that mathematical induction should be introduced in high school, education to help high school students understand and effectively guide mathematical induction. Research is needed on courses, textbooks, and teaching and learning methods. Therefore this study aims to analyze the teaching and learning of mathematical induction in the 2015 revised curriculum based on the intended curriculum, realized curriculum, and developed curriculum. These results help teachers understand and understand students' mathematical induction and provide meaningful information that can help them find effective teaching and learning methods to improve their ability to prove mathematical induction. For this, the following research questions were set. 1. How are the achievement criteria and teaching-learning directions for mathematical induction in the 2015 revised curriculum implemented in the textbook? 2. What is the high school students' understanding and recognition of mathematical induction in the 2015 revised curriculum? 3. What is the knowledge for secondary mathematician teachers in mathematical induction in the 2015 revised curriculum? In order to obtain the results for the first research question, we compared and analyzed the mathematical induction method for nine kinds of 2015 revised Mathematics I textbooks. In order to analyze the mathematical induction unit of textbook, an analysis framework was prepared based on the composition of the textbook unit, the development of the mathematical induction method, and the composition of the problems in the textbook. Based on this, frequency analysis and qualitative analysis were performed. In order to get the result of the second research question, a paper-based test was conducted on 60 students in 2 class of 2nd grade in high school in Seoul. Based on previous studies, the test tool established detailed criteria for understanding and perceiving mathematical induction and consisted of questions that can be investigated. The questionnaire consisted of six questions and 11 questions including rumors. Based on the students 'responses, frequency analysis and qualitative analysis were conducted on the students' understanding and perception of mathematical induction. In order to get the result of the third research question, paper tests were conducted on 10 secondary mathematics teachers. The test tool was composed of questions to analyze the knowledge for teaching mathematical induction of secondary mathematics teachers based on previous studies. To do this, we first classified the mathematical knowledge for teaching and then selected the elements of knowledge for teaching mathematical induction from each knowledge. And the questions were composed to investigate this. The questionnaire consisted of 12 questions and 15 questions including rumors. Based on the teachers' responses, the frequency and qualitative analysis of the mathematical knowledge needed to guide the mathematical induction of secondary mathematics teachers was conducted. The results of the analysis of how mathematical induction is handled in the first revision of the 2015 textbook, Mathematics I, are as follows. In Korea, since textbooks are produced according to the national level curriculum, there were no significant differences in the composition of the nine textbook units. They were assigned to the middle or subsections of the sequence members. Although there were some differences in the terms of the mathematical induction unit, nine textbooks generally followed the system of 'preparation learning → subgroup contents → confirmation learning problems → group activities → finishing problems → introduction to the field of use of mathematics'. In addition, textbooks deal with activities to cultivate six competencies emphasized in the 2015 revised Mathematics curriculum. When comparing the weight of mathematical induction, there was a slight difference, but three to four chapters were devoted to the mathematical induction unit, which was 2 to 3% of the textbooks. As a result of investigating the development of mathematical induction in nine textbooks of Mathematical I, the domino model was used to explain the principle of mathematical induction. Some textbooks emphasized the need for proof, while others did not mention the need for proof. The number of examples covered in the textbook was two except for one textbook. The solution presented in the examples is divided into two types. Seven textbooks provide a constructive step-up solution when showing the induction phase of mathematical induction. Finally, the problems of textbooks could be classified according to the type of response, the material, and the nature of the function in the problem. The result of analyzing the understanding and perception of students who studied mathematical induction in the second research question, 2015 revised curriculum is as follows. First, aspects of understanding mathematical induction include the principles of mathematical induction, the assumptions of mathematical induction, three conditions for ensuring the conclusion of mathematical induction, understanding the circumstances that can be proved by mathematical induction, and constructing proofs with and without guidance. It was analyzed through. The results showed that students had a high percentage of correct answers if they consisted of multiple-choice questions or provided a form of proof. However, the proportion adequately stated for the question of the reasons for the choices was significantly lower. This suggests that students are concentrating on algebraic manipulation of induction rather than understanding and using mathematical induction as a proof method. The aspect of perception of mathematical induction was examined through the prediction of his success in the usefulness of mathematical induction and the proof problem using mathematical induction. First, about the usefulness of mathematical induction, the majority of students thought that mathematical induction was not useful. In addition, the majority of students who do not know how to prove using mathematical induction or who are not sure about their answers have found that the students have no confidence in proving mathematical induction. The result of analyzing the mathematical knowledge required to guide the mathematical induction of the current secondary school teacher for the third research problem, the mathematical induction in the 2015 revised curriculum, is as follows. Although the understanding of the principles of mathematical induction, the necessity of initial conditions, and the generalization of the induction stages, the general knowledge for teaching mathematical induction of secondary mathematics teachers is sufficient. There was disagreement among the teachers who participated. There was no difficulty in answering student questions or finding errors in technical content knowledge for mathematical induction professors, and most teachers emphasized the need for proof by providing examples that illustrate the limitations of induction. Regarding content-linking knowledge for teaching mathematical induction, most areas in which mathematical induction relates to other areas of mathematics were referred to as 'sequence'. Relevant. In the knowledge of students for teaching mathematical induction, the misconceptions that students who have learned mathematical induction were found in the three elements of mathematical induction, and few teachers provided examples for student motivation. In the use of models for teaching mathematical induction, all teachers commonly explained the domino model, and only one teacher further explained the top model of Hanoi. This suggests that many teachers use domino models to teach mathematical induction, but do not emphasize the necessity of mathematical induction through practical reasoning activities. Finally, the knowledge for mathematical induction teaching was analyzed through knowledge of the learning objectives, teaching sequence, content, and format of mathematical induction. Based on the above findings, the following conclusions can be drawn. First, students who have learned from textbooks that do not mention the need for proof in the 2015 revised Mathematics I textbooks do not recognize the necessity and usefulness of mathematical induction. The results of this study showed that students who studied textbooks that did not mention the need for proof had doubts about the need for proof. This suggests that textbooks mentioning the need for proof were only four textbooks out of nine, and students who learned with textbooks that did not mention proof may not recognize the need for mathematical induction. Therefore, textbook authors should explain the need for proof, and teachers should explain the need for proof through various activities, even if the textbook does not mention the need for proof. In addition, according to the results of previous studies, students can understand the necessity and principle of mathematical induction by using the implicit recursive function to guide the mathematical induction. However, textbooks in Korea dealt with the typical Hanoi Tower problem with an implicit recursive sequence, but in some cases it only ended up asking questions. In addition, since the types of problems addressed in textbooks are limited to three types of equations, inequalities, and additives, and even this experience has already been proved, it is difficult to recognize the necessity of mathematical induction. However, the reason why textbooks do not deal with complex sequences or functions is that the mathematical induction teaching and learning methods and precautions of the 2015 revised mathematics curriculum stated that “the proof of mathematical induction is simple enough to understand the principle” Second, according to the results of previous studies, students expected that mathematical induction was difficult and recognized negatively about mathematical induction. Actually, many students were using mathematical induction not as understanding but as algebraic manipulation and the usefulness of mathematical induction. Appears to be not aware of. Although there were significant differences according to academic achievement, many high school students were concentrating on the necessity of mathematical induction. I do not understand enough about. Third, mathematics teachers showed difficulty in understanding mathematical induction in previous studies, but the study did not show any difficulty in understanding mathematical induction. However, some teachers did not emphasize the necessity of proof by using examples that show practical guessing activities or limitations of induction. Since textbooks alone do not explain the necessity of proof, it is necessary to do activities that emphasize the need for proof. have. In addition, many teachers have been trying to induce interest by noting that mathematical induction is important in terms of proof, but it is difficult for students. This suggests that secondary mathematics teachers do not lack knowledge for teaching mathematical induction. The implications of this study are as follows. First, this study is meaningful in that it examined how to achieve the curriculum capacity by treating and implementing the new and distinctive contents of mathematical induction in the textbook according to the achievement criteria and the direction of teaching and learning in the 2015 revised curriculum.   Second, this study selected the criteria and content elements for analyzing the textbook focusing on the mathematical induction unit. This can be the basis of an analysis framework when analyzing other specific sections or content areas of a textbook.  Third, this study analyzed mathematical induction in terms of intended curriculum, realized curriculum, and developed curriculum. In other words, it is significant that an attempt was made to investigate and analyze all three aspects of the curriculum: textbook, student, and teacher for a particular unit. The limitations of this study are as follows. First, since this study was conducted on 60 second-year high school students in Seoul, it may be difficult to generalize the results. Second, since this study has a small number of 10 secondary mathematics teachers, it may be unreasonable to generalize the results of this study on the knowledge for teaching mathematical induction of secondary mathematics teachers. Third, the teacher's knowledge for teaching was analyzed only by the paper-based test consisting of a few items without actually attending the teacher's mathematical induction class. Through this, there may be a limit in analyzing the knowledge for teaching the teacher's mathematical induction. Based on the results of this study, I would like to make the following suggestions. First, if the study is conducted by varying the characteristics of students and increasing the number of test subjects, whether there is a difference in understanding and perception of mathematical induction according to the characteristics of the students, and the factors that influence the students' understanding and perception It is expected to be able to analyze what it is. Second, if the number of secondary mathematics teachers is increased, it is expected to analyze whether there is a significant difference in the knowledge for teaching induction of mathematics according to the characteristics of teachers. Third, in order to analyze the knowledge for teaching the teaching of mathematical induction, if you observe and interview the entire process of teaching materials, designing lessons, and proceeding of the mathematical induction unit of the actual teacher, the teacher's knowledge for teaching mathematical induction It is expected to be able to analyze in detail. Fourth, if we compare the learning objectives and contents system of mathematical induction method in domestic and foreign curriculum, and analyze how the textbooks of each country are embodying them, the information on various methods for effective instruction of mathematical induction method It is expected to be obtained.
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