통계적 과정의 교수·학습에서 나타난 중학교 1학년의 통계적 사고 분석

Abstract

In modern society, it would not be wrong to say to say that it is a society of data in which a myriad of data is being produced every moment. In this regard, statistical thinking is necessary not only to understand data but also to make reasonable decisions based on it. Statistical thinking refers to all activities related to data in the whole statistical process, including data collection design, data collection, data organization, data analysis, and data presentation(Wild &Pfannkuch, 1999). In other words, statistical thinking can be cultivated in processes from recognizing the necessity of statistics to collecting, organizing, representing, analyzing, and interpreting the data. However, the traditional teaching method of statistics education has been criticized since it does not improve the ability to think statistically, only focusing on the acquisition of techniques and knowledge. As a result, the curriculum changes centered on statistical thinking have begun gradually in the educational fields. In the 2015 Revised Mathematics Curriculum, contents were reorganized to emphasize the real life-oriented statistical literacy education rather academically-oriented education to lead students to experience the statistical process: collecting, organizing, analyzing and interpreting data. Therefore, this study aimed to develop teaching and learning materials for statistics based on real life data in order to cultivate students’ statistical thinking and to observe their outcomes when applied to actual teaching. The purpose of the study was to analyze the characteristics of students' statistical thinking in the statistical process and to provide implications for the development of teaching and learning materials for statistical education. The research questions of this study are as follows: Research Question 1. How does students’ statistical thinking appear in the statistical process according to the components of statistical thinking? Research Question 2. How does students’ statistical thinking appear in the statistical process according to the teaching methods? In this study, statistical process was defined four steps of collecting data, organizing and describing data, representing data, and interpreting data. Each component was set as an analysis framework of statistical thinking. Afterwards, the study designed teaching and learning materials for 3 class sessions and 1 final evaluation for 57 students in the first grade of J girls’ middle school by analyzing the relevant curriculum and previous studies. In order to analyze whether the students’ statistical thinking varied according to the teaching methods, the classes were divided into two groups, a group for teacher-centered lectures class and a group for student-centered discussion. The teaching and learning materials for 3 class sessions were structured so as to guide the students to experience the four steps of collecting data, organizing and describing data, representing data, and interpreting data. The first session was the step for data collection in which the students recognized the importance of statistics, planned the statistical process according to the necessity for data collection, and created a questionnaire. The second session was the step for organizing and describing data. In this stage, students learned the distribution of data by categorizing and summarizing the data. In the presentation and interpretation step of the third session, the selected data was visualized in graphs to effectively present and interpret the data. To analyze the students’ statistical thinking, statistical thinking ability was scored in 0~3 points according to achievement standards for each component of statistical thinking: no statistical thinking(0 point), wrong response irrelevant the given data(1 point), appropriate but somewhat inadequate response or showing difficulty in integrating mathematical ideas(2 point), appropriate statistical thinking(3 point). The scores were assigned according to the students’ responses, and point closer to 3 was considered more appropriate statistical thinking appeared. The final evaluation after the 3 class sessions was comprised of activities critically examining a statistical report to find errors, following Gal(1997)’s argument that students can critically think in the process of closely exploring each step of statistics. The students’ statistical thinking was judged based on whether the students were able to find errors in the statistical report in a basis of the components of statistical thinking. The results of the research question 1 and 2 were obtained by applying the teaching and learning materials developed with this principle to the actual class. First, the average score of the students’ statistical thinking ability at each step was as follows: collecting data(1.97 point), interpreting data(1.89 point), organizing and describing data(1.71 point), and representing data(1.56 point). However, when excluding the factors related to the data collection method such as creating a questionnaire, the average score of related to the data collection plan including considering sample size and selecting a sample was only 1.52 point. It indicated that many students had difficulty in data collection. Therefore, in future statistics education, teaching and learning materials should enable students to experience data collection in person. More effective statistical education can be possible if students experience formulating research questions from real life before collecting data. Second, the previous studies have revealed that the mathematical textbook contents in Korea focus on the steps of organizing and describing data and representing data. Nevertheless, the students had difficulty in data representation, which means that the learning of graphs in school has been limited only to drawing shapes of graphs that already specify axes, items, and exemplifications. Therefore, in future statistics education, students should be able to select graphs suitable for the data characteristics, understand the elements of the graphs, and present them in appropriate figures. Third, when analyzing the scores of the students’ statistical thinking by the two groups of different teaching methods, the students who participated in the discussion class had higher scores than those who participated in the lecture class. However, it cannot be concluded that the discussion class is more effective compared to the lecture class because the activity sheets of the students in the discussion class do not entirely represent the students’ individual thinking. Nevertheless, it is noteworthy that there were significant differences between the two groups in the steps of collecting data, organizing and describing data, and representing data; 7 out of 8 students who received low scores in the discussion class showed a high level of statistical thinking in the final evaluation. Fourth, the students’ statistical thinking in the final evaluation varied according to the teaching methods. In the ‘Interaction with Questions’ factor in the step of collecting data, the students in the discussion class found more errors. In the‘Integrating Numerical Expressions and Visual Expressions’ factor in the step of representing data, the students in the lecture class found more errors. Hence, it was found that the discussion class could be effective in judging validity or justification such as considering relation with the question when creating questionnaires and that the lecture class could be effective in requiring accuracy such as recognizing the correct representation of a graph and integrating figures and graphs. Therefore, when developing teaching and learning materials to develop students’ statistical thinking, It is recommended to comprehensively utilize various teaching methods such as lectures and discussions to consider each component and contents for teaching. This study has a limitation of generalization due to the small sample size of the study and the short period of the application of the teaching and learning materials. Nevertheless, this study is significant in that the students experienced the statistical process from data collection to its interpretations in the actual class. In particular, this study is differentiated from the previous studies to divide a class into the two groups of teacher-centered lecture sessions and student-centered discussion sessions to investigate the relations of the teaching methods when analyzing statistical thinking. The results and limitations of this study suggest the following points. First, the research subjects of this study are the first graders of a middle school. However, it is necessary to develop teaching and learning materials applicable to various school grades and grade levels. It is also necessary to apply them to the actual classes to understand how statistical thinking appears according to students’ developmental stages. Second, the teaching and learning materials developed in this study did not include the process of actual data collection in the data collection step. Therefore, it is necessary to organize the teaching and learning materials by which students can actually collect data in real life according to the data collection plan. Third, it is necessary to develop teaching and learning materials using real life elements and gather the consequential data. By analyzing the characteristics of each case, more effective models of teaching and learning materials can be developed. Fourth, research on the cultivation of statistical thinking is required. The one-time experience of statistical process of the students from this study made it difficult to comprehensively examine the development of statistical thinking. Therefore, it is necessary to closely analyze the development of students’ statistical thinking when the statistical process is repeated multiple times.;현대 사회는 자료(Data)의 사회라 해도 과언이 아닐 정도로 1분 1초마다 무수히 많은 양의 자료가 쏟아지고 있다. 이렇듯 무수히 많은 자료를 단순히 읽는 것에 그치지 않고 이를 바탕으로 합리적인 의사결정을 내리기 위해서는 통계적 사고가 필요하다. 통계적 사고란 자료 수집 계획을 세우고, 그에 따라 자료를 수집하고, 정리하고, 표현하고, 분석하는 등 통계의 전 과정에서 일어나는 자료와 관련된 모든 활동을 의미한다(Wild & Pfannkuch, 1999). 즉, 통계적 사고는 통계의 필요성을 인식하는 것으로부터 이를 위한 자료의 수집, 정리, 표현, 분석 및 해석에 이르는 일련의 과정에서 발달할 수 있는 것이다. 그러나 지금까지 우리나라의 통계교육은 기술의 습득에만 중점을 두고 있어 통계적으로 사고하는 능력을 향상시키지 못한다는 비판이 지속되어 왔다. 이에 점차 학교 교육에서도 통계적 사고 발달 중심으로의 변화를 꾀하기 시작하였고, 2015 개정 교육과정에서는 학문 중심의 교육이 아닌 실생활 중심의 통계적 소양 교육을 강조하며 통계교육을 통해 자료의 수집, 정리, 해석의 절차를 경험할 수 있도록 내용을 재구성하였다. 따라서 본 연구에서는 실생활 자료를 바탕으로 통계의 전 과정을 경험할 수 있는 교수·학습 자료를 개발하고, 이를 직접 수업에 적용하였을 때 나타나는 학생들의 통계적 사고를 관찰하고자 한다. 이 연구의 목적은 통계의 전 과정을 경험할 때 나타나는 학생들의 통계적 사고의 특징을 분석하기 위함으로, 이를 통해 통계교육을 위한 교수·학습 자료의 개발에 시사점을 제공한다. 본 연구의 연구문제는 다음과 같다. 연구문제 1. 통계적 과정을 경험하는 교수·학습 상황에서 통계적 사고의 구성 요소에 따라 학생들의 통계적 사고는 어떻게 나타나는가? 연구문제 2. 통계적 과정을 경험하는 교수·학습 상황에서 수업의 형태에 따라 학생들의 통계적 사고는 어떻게 나타나는가? 본 연구에서는 먼저 통계적 과정을 자료의 수집, 자료의 정리 및 기술, 자료의 그래프 표현, 자료의 해석의 4단계로 정의하고, 각 단계별 통계적 사고의 구성 요소를 분석틀로 선정하였다. 이후 교육과정과 각종 선행연구의 분석을 통해 J 여자 중학교 1학년 4학급의 57명의 여학생을 대상으로 하는 총 3차시 분량의 수업과 1회의 종합 평가로 구성된 교수·학습 자료를 개발하였다. 이때 수업은 교사 중심의 강의식 수업과 학생 중심의 토론식 수업의 두 집단으로 나누어 진행하였는데, 이는 학생들의 통계적 사고가 수업의 형태에 따라 다른 양상을 보이는지를 분석하기 위함이다. 3차시의 정규 수업은 자료의 수집, 자료의 정리 및 기술, 자료의 그래프 표현, 자료의 해석의 4단계를 경험할 수 있도록 구성하였다. 1차시는 자료의 수집 단계로 통계의 중요성을 인식하고, 자료 수집의 필요성으로부터 자료 수집 계획을 설계하고, 이를 바탕으로 설문지를 제작한다. 이후 2차시 자료의 정리 및 기술 단계에서는 자료 정리의 필요성으로부터 시작하여 자료를 범주화하고, 요약하는 과정을 통해 자료의 분포를 인식한다. 3차시는 자료의 표현과 해석 단계로 자료를 그래프로 나타내고, 그래프로 표현된 자료를 해석하는 과정으로 이루어진다. 본 연구에서는 3차시의 수업에서 나타나는 학생들의 통계적 사고를 분석하기 위해 통계적 사고의 구성 요소의 성취기준에 따라 통계적 사고 능력을 0~3점으로 점수화하였다. 통계적 사고 능력의 점수는 학생들의 응답에 따라 ‘사고가 나타나지 않음(0점)’, ‘주어진 자료와 상관없는 주관적 응답을 하거나 잘못된 응답을 함(1점)’, ‘적절한 사고 과정을 보이나 다소 미흡함 또는 수학적 아이디어의 통합이 어려움(2점)’, ‘적절한 사고 과정을 보임(3점)’으로 부여되었으며, 점수가 3에 가까울수록 적절한 통계적 사고가 나타난 것으로 판단하였다. 정규 수업이 끝난 뒤 실시하는 종합 평가는 통계 보고서를 비판적으로 바라보는 활동으로 구성하였다. 이는 통계의 각 단계에 대한 비판을 토대로 비판적 사고를 할 수 있고, 그 과정에서 통계적 사고가 가능하다는 Gal(1997)의 주장에 근거한 것으로 통계 보고서에서 오류를 찾는 활동에서 나타나는 학생들의 통계적 사고를 관찰하기 위함이다. 이때 학생들의 통계적 사고 능력은 통계적 사고의 구성 요소에 따라 통계 보고서에서 오류를 찾아냈는지의 여부를 기준으로 판단하였다. 이와 같은 원리로 개발한 교수·학습 자료를 실제 수업에 적용하여 다음과 같은 연구문제 1, 2의 결과를 얻었다. 첫째, 각 단계별 학생들의 통계적 사고 능력의 평균 점수를 구하였더니 자료의 수집(1.97점), 자료의 해석(1.89점), 자료의 정리 및 기술(1.71점), 자료의 그래프 표현(1.56점) 순으로 나타났다. 그러나 자료의 수집 단계에서 설문 문항을 작성하는 등 자료 수집 방법에 관련된 요소를 제외하고, 표본의 크기를 인식하여 표집을 선정하는 등 자료 수집 계획에 관련된 요소의 평균 점수를 구하였더니 1.52점에 불과했다. 이는 곧 대다수의 학생들이 자료의 수집 단계에서 어려움을 겪고 있다는 것을 의미한다. 따라서 자료의 수집 단계를 포함하는 교수·학습 자료를 개발하여 학생들이 직접 자료를 수집하기 위한 계획을 세우고, 이를 바탕으로 자료를 수집해봄으로써 통계적 사고를 함양할 수 있도록 지도할 필요가 있다. 이때 자료를 수집하기 전에 학생들이 직접 실생활을 바탕으로 문제를 설정하는 단계가 선행된다면 더욱 효과적인 통계교육이 가능할 것이다. 둘째, 선행연구에 따르면 우리나라의 수학 교과서는 그 내용이 자료의 정리 및 기술과 자료의 그래프 표현 단계에 집중되어 있다. 그럼에도 불구하고 학생들은 자료의 그래프 단계에서 어려움을 겪었는데, 이는 그간 학교 수업에서의 그래프 표현에 대한 학습이 그래프의 종류가 정해지고 축, 항목, 범례 등이 제시되어 그래프의 모양만을 그리는 것에 그쳤기 때문이라 볼 수 있다. 따라서 앞으로 그래프의 표현을 지도할 때에는 학생들이 직접 자료의 특징에 맞는 그래프를 선택하고, 그래프의 요소를 이해하고 수치 등을 이용하여 적절한 형태로 나타낼 수 있도록 해야 할 것이다. 셋째, 수업의 형태에 따른 두 집단의 학생들의 통계적 사고를 분석했을 때, 대체로 토론식 수업을 들은 학생들의 통계적 사고 능력의 점수가 강의식 수업을 들은 학생들에 비해 높게 나타났다. 그러나 토론식 수업에서의 학생들은 활동지에 나타난 사고가 개인의 사고라 볼 수 없기 때문에 토론식 수업이 강의식 수업에 비해 효과적이라고 보기에는 다소 무리가 있다. 그럼에도 불구하고 자료의 수집, 자료의 정리 및 기술 단계와 자료의 그래프 표현 단계에서의 일부 요소에서 두 집단 사이에 유의미한 차이가 나타났으며, 정규 수업에서 낮은 수준의 통계적 사고를 보인 토론식 수업의 학생 8명 중 7명이 종합 평가에서 높은 수준의 통계적 사고를 보였다는 점은 주목할 만하다. 넷째, 종합 평가에서의 학생들의 통계적 사고는 수업의 형태에 따라 다르게 나타났다. 자료의 수집 단계의 문제와의 상호작용 요소에서는 토론식 수업을 들은 학생들이, 자료의 그래프 표현 단계의 수치적 표현과 시각적 표현 통합 요소에서는 강의식 수업을 들은 학생들이 종합 평가에서 더 많은 오류를 찾아내었다. 이로부터 설문지에 넣을 항목을 선정할 때 문제와의 관련성을 고려하는 등 타당성이나 정당성에 대한 판단을 요하는 과정에서는 토론식 수업이, 그래프의 정확한 표현을 인식하고, 수치와 그래프를 연결 짓는 것과 같이 정확성을 요하는 과정에서는 강의식 수업이 효과적일 수 있다는 것을 알 수 있었다. 따라서 학생들의 통계적 사고 함양을 위한 교수·학습 자료를 개발할 때에는 각각의 구성 요소와 내용을 고려하여 강의와 토론뿐만이 아닌 여러 가지 형태의 수업을 종합적으로 활용하는 것이 좋다. 본 연구는 교수·학습 자료의 개발 및 적용에 있어 대상의 수가 적고, 기간이 짧다는 점에서 연구결과를 일반화하기 어렵다는 제한점이 있다. 그럼에도 불구하고 실제 수업 환경에서 자료의 수집부터 결과 해석까지 이어지는 통계적 과정을 경험하게 함으로써 학생들에게 나타나는 통계적 사고를 관찰하여 분석하였다는 점에서 의의가 있다. 특히 교사 중심의 강의식 수업과 학생 중심의 토론식 수업의 두 집단으로 나누어 수업을 진행하고, 통계적 사고와 수업의 형태 사이의 연관성을 고려하였다는 점에서 기존 선행연구와의 차별점이 있다. 본 연구의 연구결과와 제한점으로부터 다음과 같이 제언하고자 한다. 첫째, 본 연구는 중학교 1학년 학생들만을 대상으로 진행되었으나 다양한 학교 급, 학년 급에서 활용 가능한 교수·학습 자료를 개발하고, 이를 수업에 적용하여 학생들의 발달 단계에 따라 통계적 사고가 어떻게 나타나는지에 대해 연구할 필요가 있다. 둘째, 본 연구에서 개발한 교수·학습 자료는 자료의 수집 단계에서 실제로 자료를 수집하는 과정은 포함되어 있지 않다. 따라서 추후 개발하는 교수·학습 자료는 자료 수집 계획에 따라 학생들이 직접 실생활로부터 자료를 수집할 수 있도록 구성할 필요가 있다. 셋째, 실생활의 여러 소재를 이용한 교수·학습 자료를 개발하고, 이를 실제 수업에 적용하여 얻어지는 데이터를 확보해야 한다. 이를 통해 각각의 사례에서 나타나는 특징을 분석함으로써 보다 효과적인 교수·학습 자료 모델을 개발할 수 있다. 넷째, 통계적 사고의 발달 과정에 대한 연구가 필요하다. 본 연구는 통계적 과정을 경험하는 것이 1회에 그치기 때문에 학생들의 통계적 사고의 발달 과정을 살펴보기에는 다소 무리가 있다. 따라서 통계적 과정이 여러 차례 반복될 때 나타나는 학생들의 통계적 사고의 발달에 대해 분석할 필요가 있다.