일차함수의 도입방법에 따른 이해도 차이에 관한 연구

Abstract

함수는 수학의 핵심적 아이디어 중의 하나로서 중요하게 다루어지지만 교수와 학습에 대한 어려움이 큰 단원이다. 그러므로 함수에 대한 교수학습 방법을 여러 가지 관점에서 모색하여 보는 것이 함수 학습에 도움이 되리라 생각된다. 본 연구에서는 일차함수를 지도하는 방법에 대하여 기하적 관점이라고 할 수 있는 평행이동을 이용하는 방법과 대수적인 관점이라고 할 수 있는 대응관계에서 대응표를 만들고 그것을 바탕으로 그래프로 나타내어 지도하는 방법이 학생들의 이해도와 문제해결 방법에 어떠한 영향을 미치는지를 실험을 통하여 확인하고자 하였다. 실험연구를 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 일차함수의 지도에서 평행이동이라는 기하적 방법으로 지도할 때와 대응관계를 이용하여 그래프를 도입하여 지도하였을 때 학생들의 기울기와 y절편에 대한 이해도에 차이가 있는가? 2. 일차함수의 지도에서 평행이동이라는 기하적 방법으로 지도할 때와 대응 관계를 이용하여 그래프를 도입하여 지도하였을 때 학생들의 일차함수 개념의 이해도에 차이가 있는가? 3. 일차함수의 지도에서 평행이동이라는 기하적 방법으로 지도할 때와 대응관계를 이용하여 그래프를 도입하여 지도하였을 때 학생들이 사용하는 문제해결 방법에 차이가 있는가? 연구대상은 경기도 고양시에 위치한 I 중학교 학생 40명으로, 한 집단은 평행이동으로 일차함수를 도입하여 지도하였고, 다른 집단은 대응관계를 이용한 대응표에서 일차함수를 도입하여 지도하여, 총 7시간의 일차함수 수업을 거친 후 일차함수 이해도와 문제해결 방법에 차이가 있는지 검사를 실시하고 그 결과를 살펴보았다. 본 연구에서 얻은 연구 결과는 다음과 같았다. 첫째, 비례관계의 평행이동으로 일차함수를 학습한 집단과 대응표에서 바로 그래프를 도입하여 일차함수를 학습한 집단간에 기울기와 y절편의 이해도에 유의한 차이가 나타났다. 이 부분의 학습에 있어서는 평행이동의 방법으로 일차함수를 지도하는 것이 성취도가 더 높았다. 둘째, 비례관계의 평행이동으로 일차함수를 학습한 집단과 대응표에서 바로 그래프를 도입하여 일차함수를 학습한 집단간에 일차함수의 이해도에는 유의한 차이를 볼 수 없었다. 그 중 기울기와 y절편에 해당하는 문항의 이해도에는 유의한 차이가 있었고, 그 외의 문항에 대해서는 집단간의 이해도에 차이를 볼 수 없었다. 그렇다면 두 집단간에 일차함수의 이해도에 차이가 생겨야 하나, 이러한 결과가 나온 이유는 실험 집단이 작고, 실험 기간이 짧은데서 오는 표본오차의 증가에 따른 결과라고 생각된다. 그러므로 두 방법으로 일차함수를 지도할 때 일차함수의 이해도에 유의한 차이가 있는지는 알 수 없다고 할 수 있다. 셋째, 평행이동이라는 기하적 방법으로 일차함수를 지도하였을 때와 대응표에서 바로 그래프를 도입하여 일차함수를 지도하였을 때, 학생들이 사용한 문제해결 방법에 차이가 있었다. 평행이동으로 지도한 학생들은 대체로 대응표에서 바로 그래프를 도입한 집단에 비해 그래프적 표상이나 시각적 표현을 이용하는 기하적인 방법을 더 선호하는 것으로 나타났다. 두 집단 모두 대수적인 식을 가장 많이 사용하였으나, 대응관계에서 그래프를 바로 학습한 집단은 평행이동으로 일차함수를 학습한 집단에 비해 대수적인 식을 선호하는 경향이 더 강했다. 식이 필요없는 경우에도 학생들은 식을 먼저 구한 다음에 기울기 등을 이야기 하였다. 넷째, 학생들은 방정식과 함수를 구분하지 못하고 같은 것으로 취급하는 경향이 많았다. 방정식에서는 독립변수와 종속변수를 구별할 필요가 없고 두 변수가 대칭적으로 사용되지만, 함수에서는 두 변수의 순서가 문제되므로 x와 y는 비대칭적인데, 학생들은 이러한 차이를 대부분 인식하지 못하는 것으로 드러났다. 다섯째, 현재의 수학 교과서는 함수에 대한 다양한 번역을 다루고 있지 않으며, 일차함수의 핵심인 식과 그래프에 대해서도 일방적으로 그래프를 식으로 풀어내는 방법이 우세한 것으로 나타났다. 이와 같은 연구결과를 바탕으로 몇 가지 제언을 하고자 한다. 첫째, 현재와 같이 대수식과 그 알고리즘 위주로 일차함수를 다루기보다 그래프나 일상생활의 소재를 사용하여 일차함수의 의미를 학습자가 여러 가지 상황에서, 그리고 여러 가지 표현을 통하여 이해할 수 있도록 하는 지도가 필요하다고 생각된다. 둘째, 방정식과 함수를 구분하여 지도하는 것이 필요하다고 생각된다. 함수와 방정식을 구분하는 방법으로 식을 종속변수에 관하여 정리한 경우에는 방정식과 구분하여 함수라고 부르고, 이 둘을 일차함수에서부터 구분하여 지도하는 것이 필요하다고 생각된다. 셋째, 학생들이 더 다양한 번역의 과정을 경험할 수 있도록 학습내용을 조정하는 것이 필요하다고 생각된다. 특히 함수는 다양한 표현을 사용하여 나타내어지므로 그 표현들을 연결할 수 있는 번역의 과정이 함수개념의 학습에서 중요시 되어야 한다고 생각된다. ;Although the function is considered as one of the main ideas in mathematics, it has a difficulty in teaching and learning. If we consider the various approaches to the method in teaching and learning, we can make it simple. This study use the translation in teaching linear function which can be a geometric respect and make table with correspondence which can be a algebraic respect. On the basis of these results, this paper is aim at making sure how teaching method with a graph have a effect on understanding and problem solving metheods of students through tests. For test, I set up the study problems and treat as below paragraphs. 1. We can find out if there is any difference in understanding of gradient and y intercept concepts in linear function between the 2 teaching methods the one with translation of geometric methods and the one with the table which can represent correspondence of algebraic methods. 2. We can find out if there is any difference in understanding of students in linear function ; between the 2 teaching methods the one with translation of geometric methods and the one with the table which can represent correspondence of algebraic methods. 3. We can find out if there is any difference in students' problem solving process of linear function between the 2 teaching methods the one with translation of geometric methods and the one with the table which can represent correspondence of algebraic methods. For this study, we choose 40 students in I middle school in Koyang, Kyunggi province as a subject. We divided them into two group. One group was taught by translation and the other group was taught by table in linear function. After total 7 hours of lectures, we can come to a conclusion as below. 1. There are meaningful results which gradient and y intercept concepts are get involved in questions, to teach with translation methods in this section is more effective in achievement. 2. It doesn't tell us if there is any meaningful difference in achievement in linear function test between two groups after teaching linear function. 3. Between two groups, there is marginal difference in using problem solving process. In comparison with the other group, students who are taught by a translation method prefer geometric method like graphical or visual representation. And Both groups more prefer algebra representations to others. 4. Recent math. text book is not dealing with a variety of translation about the function and is mainly handled by translating graphs into formulas. Therefore translation with various approaches is essential. 5. Most students tend to consider that equation and function are the same thing. But these are different. While function is not symmetric, equation is symmetric. Therefore it is necessary to discriminate the function and equation in teaching to students.