초등학교 수학교과서 문장제에 대한 문제해결 관점에서의 연구

Abstract

이 연구는 초등학교 수학 교과서에 실린 문장제가 6차 교육과정의 목표인 실생활 문제해결에 알맞는 문제인가를 분석하고 대안적인 문장제를 제시함을 목적으로 한다. 이 연구에서 문장제는 "실생활 소재를 이용하여 일반 언어로 설명한 수학 문제"로 제한한다. 연구 대상은 초등학교 6차 교육과정 전학년 수학 교과서와 익힘책 24권의 1944개 문장제이다. 연구의 목적을 위해 문장제를 구성하는 요소로 구문론, 의미론, 소재, 문제해결전략의 네가지를 제시한다. 문장제 분석의 기준은 다음 두가지로 구분되며, 구성요소에 각각 포함된다. 1) 문제해결에 이상적인 문제의 조건으로 자료제시와 계산순서의 불일치, 불필요한 정보, 개방형(open-ended) 질문, 문제의 재진술, 다단계(multi-step)연산의 구체적 조건이 있다. 2) 교과서 전체 분포에서 문제해결에 이상적인 문제의 조건으로 문제의 길이, 문법적 깊이, 연산의 유형, 소재와 문제해결전략에서의 다양성 조건이 있다. 연구문제는 다음과 같다. 첫째, 현행 초등학교 수학 교과서와 익힘책의 문장제에는 전체적, 학년별, 여러 가지문제 와 기타 단원별로 어떠한 구문론, 의미론, 소재, 문제해결 전략별 특성이 있는가를 분석한다. 둘째, 현행 교과서 문장제의 대안으로서 문제해결을 위해 이상적인 구문론, 의미론, 소재, 문제해결 전략별 특성과 그에 따른 문장제 사례는 무엇인가를 제시한다. 연구방법으로는 교과서 문장제를 분석한 뒤 SPSS-PC 통계 프로그램의 기초통계와 교차분석에 의해 구성요소별 빈도와 분포상의 특성을 밝히고, 선행연구와 교과서 분석결과를 참조하여 대안적인 사례를 제시하는 방법을 취한다. 연구결과 중 첫째 현행 교과서 분석결과는 다음과 같다. 1) 구문론의 측면에서, 문제 길이의 경우, 1개 문제에 포함된 문장의 수가 2개인 문장제가 2학년 이후 전체적, 학년별로 39 - 56%로 가장 많이 나타난다. 하위질문수에 있어서는 하위질문을 동반하지 않은 문장제가 전체적, 학년별로 68 - 80%로 가장 많이 나타난다. 여러가지 문제 단원에서는 하위질문의 수가 3개 이상인 문장제가 27%로, 기타 단원에 비해(11%) 더 많이 제시되고 있다. 문장의 문법적 복잡성을 드러내는 문제 깊이(depth)의 경우, 1학년에서는 Yngve지수 2.0미만의 단순한 문장으로 된 문장제가 60%를 차지하고 있으나 2학년부터 지수 2.0이상 3.0사이의 보다 복잡한 문제들이 전체적으로 38 - 58%의 범위로 가장 많이 나타난다. 수치자료의 제시 순서와 문제해결의 순서가 일치하지 않는 문장제는 전체적, 학년별로 3 - 9%의 범위로 나타나며, 여러가지 문제 단원에서 불일치된 문제는 12%로 기타 단원에 비해 많은 편이다. 불필요하거나 불충분한 수치정보를 포함하는 문장제는 전체적, 학년별로 1 - 3%의 범위로 나타나며, 여러가지 문제 단원의 경우도 2%로 유사하다. 어림을 포함하거나, 일정한 답이 없거나, 다양한 해가 가능한 개방형 질문의 문장제는 전체적, 학년별로 3 - 10%이며, 6학년과 여러가지 문제 단원에서는 10%, 9%로 비교적 높게 나타난다. 문제의 재진술을 요구하는 문장제는 전체적, 학년별로는 4 - 10%이며, 2학년과 여러가지 문제 단원에서 10%, 14%로 비교적 높게 나타난다. 2) 의미론의 측면에서, 비연산과 연산구조여부를 분석한 결과 영역에 관계없이 연산을 요구하는 문장제가 90%정도로 나타난다. 연산 단계수를 분석한 결과 1-step 연산구조의 문장제가 전체적, 학년별로 52 - 88% 범위로 가장 많이 나타나며, 4-step이상의 다단계 문제 빈도는 2학년 이후 전체적으로 1 - 4%로 매우 적다. 연산의 종류를 분석한 결과, 곱나눗셈 연산이 40%로 가장 많고, 덧뺄셈 문장은 31%, 혼합산이 10%이다. 덧뺄셈 문장제를 14가지 의미론적 유형으로 분류하면 전체적으로 결합 1 유형이 26 - 44%로 가장 많고, 변화 1, 변화 2, 비교 1 유형이 각각 9.7 - 28%, 5.5 - 28%, 4 - 18%의 범위이며 나머지 10개 유형은 0 - 7%의 매우 적은 빈도로 분포되어 있다. 곱나눗셈 문장제를 3가지 의미론적 유형으로 분류하면 전체적으로 mapping rule 유형이 82 - 99%의 범위로 가장 많으며, 곱셈적 비교유형은 0 - 11.3%, 순서쌍 유형은 0 - 6%범위로 나타난다. 3) 문장제의 소재를 분류한 결과, 총 665개의 실생활관련 어휘가 소재로써 사용된 것으로 나타난다. 이 665가지 소재는 대부분 단순 실생활 소재이며, 학년별로 크게 색다른 소재는 없고, 대부분이 1 - 2회 사용되며, 몇가지 한정된 소재들만 6년동안 반복적으로 교과서에 등장한다. 초등학교 6년 전체를 통해서 가장 지속적으로 사용된 소재는 남녀학생수, 물통에 물담기, 우유 마신 양 구하기, 몸무게, 철사 자르기, 색테이프자르기, 용돈 나누기이다. 통합교과적인 내용으로는 국어, 사회, 과학,체육 관련 소재가 소수 있다. 4) 문제해결전략을 분석한 결과, 가장 많은 빈도를 보인 전략은 식 만들기 전략이다. 식 만들기 만 단독으로 제시된 모범답안이 전체적, 학년별로 36%이며, 실제로 해보기 , 도표나 그림만들기 , 표 만들기 , 단순문제나 유사문제의 해결 , 단순기억이나 직관, 단순번역 와 함께 제시된 것 까지 합하면 전체적, 학년별로 식만들기 전략이 약 70%로 가장 많다. 두가지 전략을 한 문제에서 소개한 문제는 전체적으로 25.2%였다. 문장제의 구성요소별 분석 결과를 종합하면, 다음과 같다. 한국 초등학교 수학교과서에서 가장 전형적인 문장제는 2개의 문장으로 구성되어 있고 하위 질문이 없으며, 문법적 깊이는 2.0 - 3.0로 다소 높고, 불필요한 정보는 포함되어 있지 않으며, 수치자료의 제시 순서는 문제해결 순서와 일치하고, 개방형 질문은 포함되어 있지 않으며, 문제의 재진술이 없고, 의미론에서 mapping rule 유형의 1-step 곱셈연산이며, 소재는 단순 실생활 소재이고, 가장 전형적인 문제해결전략은 단독으로 사용되는 식만들기 인 것으로 나타난다. 연구결과중 둘째 대안적인 문장제의 사례는 구성요소별로 다음과 같이 제시된다. 현행 교과서 분석결과에 대해 대안적인 문장제의 형태로 구문론적으로는 하위질문수가 적어도 한 개이상 존재하고 전체 문장의 수는 3개 이상이며, 문법적 깊이에서는 지수 3.0 미만의 문장, 자료제시순서는 문제해결 순서와 불일치하며, 개방형질문이 포함되어 있고, 문제의 재진술이 있는 형태를 제안한다. 의미론적으로는 비연산구조, 다단계문제, 혼합산문제, 덧뺄셈의 경우에는 변화 3 - 6번, 결합 2번, 비교 2 - 6번 유형, 곱나눗셈의 경우에는 곱셈적 비교와 순서쌍 유형을 제안한다. 소재에서는 실생활관련이면서 타교과와의 통합적 소재, 혹은 실생활 관련은 적어도 타교과와의 통합을 위한 소재를 제안한다. 문제해결전략으로는 식만들기 이외의 패턴찾기, 모든 가능성에 대한 고려, 추측하고 해보기, 거꾸로 해보기, 필요한 정보를 구체화하기, 단순문제나 유사문제의 해결, 관점의 변환, 논리적 추론등 전략을 한 문제안에 2개 이상 사용할 수 있는 형태를 제안한다. 이상의 연구결과에 기초하여 논의를 전개하면 다음과 같다. 첫째, 현행 교과서의 문장제는 문제해결을 가르치기에 적합한 것인가에 대해 문제를 제기할 수 있다. 대부분의 문장제는 문제해결을 위한 조건들에 맞지 않으며, 구문론, 의미론, 소재, 문제해결전략에 있어 간단하면서 서로 유사한 형태인 것으로 나타난다. 이 결과를 볼 때 현행 문장제의 대부분은 문제해결을 목표로 하기보다 계산 연습을 위한 도구이며, 학습자로 하여금 "즉시 얻어질 수 없는 것을 얻는" 혹은 "풀이 방법을 모르고 도전해보는" (Polya, 1981; Husen, 1995) 문제해결의 대원칙을 배우게 하는 것이 아니라, 배운 대로 똑같이 풀이하는 수동적 태도를 배우게 하는 것으로 나타난다. 둘째, 현행 교과서 체제가 문제해결을 위한 목표에 맞게 되어 있는가에 관한 문제가 제기된다. 현행 초등학교 수학 교육목표는 실생활 문제해결 이다. 교육내용은 교육목표의 달성을 위하여 존재하는 것이므로 문제해결은 모든 영역에서 과제 수행을 통해 학습되어야 할 것이다. 그러나 현행 교과서에서 교육내용으로서의 문제해결은 수, 연산, 도형, 측도, 관계라는 5개 영역 중 관계영역의 일부로 포함되어 각 학기마다 두 개의 여러가지 문제 단원에서 집중적으로 다루게 되어 있다. 이 연구의 결과에서는 여러 가지 문제 단원의 문장제도 문제해결을 위해 이상적인 조건에는 미흡한 것으로 드러났으며, 이렇게 특정 단원에서만 문제해결을 위한 내용을 다루려는 시도가 과연 문제해결을 위한 목표에 맞는 것인가에 대해 문제를 제기할 수 있다. 셋째, 수학교육과정의 영역에 따라 실생활 관련 문장제의 비율에 큰 차이가 있다는 점에 문제를 제기할 수 있다. 연구 대상을 각 영역별로 보면 도형영역의 경우 문장제 비율은 학년별로 10% 미만의 범위로 분포되어 있다. 도형 영역에서 실생활관련 문장제가 전혀 소개되지 않은 경우도 1학년 1,2학기, 2학년 1학기, 4학년 2학기, 5학년 2학기, 6학년 1학기등 6개 학기나 된다. 수 영역 또한 학년별로 문장제 비율이 1 - 10%범위 밖에 되지 않은 학기가 2학년 1,2학기, 3학년 1,2학기, 4학년 2학기, 6학년 1,2학기등 7개 학기이다. 도형과 수 영역에서 문장제의 비율이 낮다는 것은, 도형 영역의 경우 실생활과 유리된 추상적인 내용에 중점을 두고 있으며, 수 영역의 경우 수개념의 소개에 있어 실생활과의 관련이 부족함을 나타내준다. 넷째, 현행 교과서에서 몇가지 제한된 소재만이 반복적으로 나타났으나 이러한 소재들은 실생활과 관련하여 볼 때 현실성이 적은 것으로 판단되는 것들이다. 가령 남녀 학생수, 물통에 물 담기, 누가 우유 몇 l마셨는가를 자주 실생활에서 따져보는 일은 없을 것이다. 다섯째, 몇가지 덧뺄셈 유형, 곱나눗셈 유형이 높은 빈도로 반복적으로 제시됨으로써 개념적 지식(knowing-that)보다는 절차적 지식(knowing-how)에 대해 지나치게 강조하고 있다는 문제점을 지적할 수 있다. 덧뺄셈의 유형의 대부분은 변화 1번과 결합 1번에 치중해 있다. 이 유형들은 굳이 교과서에서 많은 비중으로 할애하지 않아도 학생들이 잘 해결할 수 있는 문제일 수 있다.(De Corte & Verschaffer, 1991) 그렇다면 교과서는 조금만 다루어주어도 학생들이 잘 맞출 수 있는 유형의 문제들에 많은 비율을 할애하면서 정작 학생들의 정답률이 낮은 문제들 즉 교과서에서 여러번 다루어 주어야 할 문제들에는 상대적으로 적은 비율로 소홀히 다루어준 것일 수 있다는 해석이 가능하다. 곱나눗셈의 유형 역시 mapping rule 에 심하게 치중되어 있다. mapping rule유형은 곱셈을 덧셈의 연장선에서 이해하는 초보적인 유형이다.(Teubal & Nesher, 1991) 곱나눗셈이 유리수 도입의 시발점임에도 mapping rule을 강조함으로써 유리수의 연산에서 학생들이 자주 보이는 자연수 규칙적용의 오류 현상들, 예컨대 1/3 + 3/4의 계산을 4/7라고 해버리는 것의 원인과 결코 무관하지 않다고 할 수 있다.(Behr외 3인, 1983; 유현주, 1995) 여섯째, 여러가지 문제 단원에서 문제해결을 가르치기 위해 사용하는 방법이 타당한가에 대한 문제를 제기할 수 있다. 여러가지 문제 단원에서는 문제해결 전략을 가르치려는 의도에서 하위 질문이 많이 포함되어 있다. 그러나 특정 문제해결전략을 가르치기 위해 하위 질문을 제시하였기 때문에 각 하위 질문에서는 오히려 폐쇄적인 질문이 많다. 이것은 문제해결을 가르치려는 의도로 학생들에게 문제해결전략과 문제해결의 단계에 대해서 가르치는 것(teaching about problem-solving)이 일반적으로 수학문제해결 능력 신장에 별 도움이 되지 않았다는 연구결과(Lester, 1994)를 참조하면, 시정되어야 할 부분이라고 할 수 있다. 이상의 연구 결과와 논의에 기초하여 이 연구에서 제언하고자 하는 것은 다음과 같다. 첫째, 실생활 문제해결이 교육 목표라면, 이를 위한 문제들이 교과서 체제의 전영역에서 다루어져야 한다는 점이다. 단지 여러가지 문제 와 같은 문제해결관련 단원을 확대하고, 전체적으로 문장제의 양을 늘린다 하더라도, 문제해결에 바람직하지 못한 단순 문장제를 대부분의 단원에서 제시하고, 여러가지 문제 단원에 와서 새롭게 문제해결을 위한 문장제를 제시하려는 현 교과서의 체제는 변화되어야 할 것이다. 전체 단원과 영역에서, 단원에서는 도입문제부터, 문제해결에 적합한 문장제가 제시되어야 할 것이다. 이는 학습자로 하여금 어떠한 목표를 성취하도록 하기 위해서는 그에 합당한 내용을 학습과제에서 계속 제공해야 하며 교육과정 구성요소간의 내적 일관성을 기할 때 의도한 목표의 달성가능성이 커진다는 교육과정의 적절성의 원칙이라는 측면에서 볼 때 교과서 개정의 시사점이 된다고 할 수 있다. 둘째, 수학을 다른 교과와 통합하는 방안으로서 문장제의 활용도를 강구해야 할 것이다. 현행 교과서에서 문장제는 다른 교과와의 통합적 요소로서는 거의 활용되지 못하고 있는 것으로 나타난다. 문장제의 소재는 실제 수학이 사용되는 생활 장면에서의 상황을 제시하거나 생활과 직접 관련이 없다 하더라도 다른 교과 지식과 만날 수 있는 통합적 요소의 도구로서 활용될 수 있는 요소이다. 셋째, 학습자의 문장제 수행에 대한 연구, 예컨대 구문론, 의미론의 형태에 따른 효과라든가 소재 유형별 흥미와 인지도 조사, 문제해결에 사용하는 학생들의 전략에 대한 분석연구가 있어야 할 것이다. 문제해결이 학습자에게 의도한 바대로 경험되었는가는 교과서의 분석만으로는 예측할 수 없으며, 이에 관련된 수많은 변수들을 교과서 연구에서는 충분히 고려하지 못하는 제한점이 있다. 교육과정은 실행과정에서 사람들의 실제가 변화될 때 진정한 학교 개선에 기여한다는(Hord등,김경자 역, 1993) 진리를 떠올리게 하는 부분이다. 넷째, 이 연구의 분석대상이 실생활 관련 문장제라는 조건 때문에 현행 교과서의 문제들 중에서는 배제된 문제들 예컨대, 문장으로 충분히 설명되지 않은 문제제기형(problem-posing) 문제, 순수 수학적인 소재의 문장제이면서 문제해결에 이상적인 문제들이 있다. 또한 문제해결을 위해 단순 수식제 문제들과 문장제와의 균형을 어떻게 할 것인가에 관한 논의들도 이 연구에서 다루지 못한 점이다. 따라서 이 연구에서의 분석대상 문장제를 포함하여 전체 교과서 문제의 형태를 포괄하는 문제해결 연구가 요청된다고 하겠다. ; This study is concerned with identifying "word problems"(story prblems, verbal problems, etc.) which have been used as the tool of the problem solving in mathemaices. The aim of this study is to analyze the word problems in the elementary school mathematics textbooks and to present an alternative forms of word problems appropriate to the objective of the mathematics curriculum, "problem solving in real life situations". In the study the definition of the word problem is "the mathematics problem explained in natural language and whose topic is real life related". The subjects of the study are the 1944 word problems in the current 6th Korean curriculum 12 elementary mathematics textbooks and 12 workbooks, Ikhimchaik . For the purpose of the study the elements of the word problems are proposed as the syntax, the semantics, the topics, and the problem-solving strategies. The criteria of analyzing word problems for problem solving are as follows and each are included in the elements of the word problems: 1) The concrete criteria are the differences between the order of data mention and the order of using it, the insufficient and unnecessary information, the open-ended questions, the re-statement of the questions, the multi-step operations. 2) The diversity criteria in the whole textbook is the length of the problem, the depth of the problem, the kind of operation or non-operation, the meaning structure(operation types), topics, and problem-solving strategies. The questions investigated in the study are specified as follows: First, what are the syntactic, semantic, topical and strategic characters of the word problems in the current textbooks on the whole, by grades and by the various kinds of problems units and the other units? Second, what are the alternative ideal syntactic, semantic, topical and strategic characters of the word problems for the textbooks? The method of the study is to process the data analysis by SPSS-PC statistics programs, and to present the alternative forms and examples of the word problems. The results of the first questions are as follows: 1) As for the syntax, the most frequent length of the problems is 2 sentences in 1 word problems(39-56%, from 2nd to 6th grade). The frequent number of sub-questions is zero(68-80% in all grades). In the various kinds of problems units, the word problems comprising more than 3 sub-questions are more frequent(27%) than other units(11%). The most frequent depth of the word problems is from 2.0 to 3.0 Ynve number (38- 58%) after 2nd grade. The number of the problems comprising differences between the order of data mention and the order of using it is 3-9% on the whole, 12% in the various kinds of problems units. The number of the problems comprising insufficient and unnecessary information is 1-3% on the whole, 2% in the various kinds of problems units. The number of the problems comprising open-ended questions is 3-10% on the whole, 10% in the 6th grade, and 9% in the various kinds of problems units. The number of the problems comprising restatement of the questions is 4-10% on the whole, 10% in the 2nd grade, 14% in the various kinds of problems units. 2) As for the semantics, the problems requiring operations are 90%. Among the problems requiring operations, 1-step problems are most frequent(52-88%). The multi-step problems whose number of operation steps are over 4-steps are 1-4% on the whole. With regard to the kind of operations, multiplication-division problems are 40%, addition-subtration 31% and the mixture 10%. Among the 14 meaning structures of addition-subtraction problems, Combine 1 type is most frequent(20-44%) on the whole and Change 1, Change 2, Compare 1 are 9.7-28%, 5.5-28%, 4-18% and the other 10 types are few(0-7%). Among the 3 meaning structures of multiplication-division problems Mapping Rule type is most frequent(82-99%) on the whole, Multiplicative Compare type is 0-11.3%, and Cartesian Multiplication type is 0-6%. 3) As for the topics, the 665 real-life related words are discovered. Most topics are simple real-life related topics and they are used once or twice. Several topics are continuously found on the all textbooks as follows: The number of boys and girls, Bottling water, Measuring the amount of milk, The weight of the body, Cutting the wire, Cutting the colored tapes, Distributing pocket money. The integrative topics are very few and they are language, social sciences, science and physical education related. 4) As for problem-solving srategies, the most frequent strategy is Making Expression. The use of more than 2 strategies is 28.2%, which uses Act it out, Make a Drawing or Diagram, Look for a Pattern, Construct a Table, Guess and Check, Work Backword, Solve a Simpler or Similar Problem with Making Expression strategy. The syntax of typical word problem forms in the Korean elementary mathematics textbooks is 2 sentences, no sub-questions, 2.0-3.0 depth, don t include insufficient or unnecessary informations, whose order of data mention agree with the order of using it, don t include open-ended questions and re-statement of questions. The semantics of typical word problem forms is 1-step operations, multiplication-division, Mapping Rule type problem. The topics of typical word problem is simple real-life related. The prblem-solving strategies of typical word problem is single use of Making Expression. The results of the second question are as follows: According the results of analyzing the current Korean elementary mathematics textbooks, the syntax of an alternative form of word problem is more than 3 sentences and 1 sub-question, less than 3.0 depth numbers, whose order of data mention doesn t agree with the order of using it, which includes insufficient or unnecessary informations, open-ended questions, and re-statement of questions. The semantics of an alternative form of word problem is non-operation, if it is operation, multi-step, Change 3-6, Combine 2, Compare 2-6 types in addition- subtractions, and Multiplicative Compare, Cartesian Multiplication types in multiplication-divisions are proposed. The topics of an alternative form of word problem are real-life related and integrative with other subjects. The problem- solving strategies of an alternative form of word problem is more than 2 strategies in one word problem. Recommendations are as follows: First, the objective of mathematics curriculum is the "problem solving in real life situations", so all the mathematics curriculum areas should deal the problems for problem-solving. In spite of having increased the number of word problems, in the current textbooks most word problems proved not to be appropriate to problem solving. Second, to integrate mathematics with other subjects, the word problems should be used as the tool. The topic of the word problem can be the core of the integration. Third, the studies on problem-solving, i.e., learner performance in solving word problems, the effects by the forms of the syntax, the semantics, the topics, and the problem-solving strategies of the word problems should be made. Fourth, the problem solving studies comprising all problems in mathematics textbooks should be made.