함수와 방정식 사이의 관계 인식의 오류에 대한 기호학적 분석

Abstract

중·고등학교 학생들이 주로 다루는 방정식과 함수는 중요한 위치를 차지하고 있다고 과언이 아니다. 특히 고등학교 수학 전반에 걸쳐 방정식에서 함수 영역은 비중이 매우 크고 중심적인 역할을 한다. 함수의 내용은 수학의 모든 영역에 필요한 사고과정의 핵심이 되기 때문에 그 개념을 정확히 파악할 수 있게 해야 한다. 이렇게 방정식과 함수의 중요성을 인식함에도 불구하고 이들의 관계를 학생들이 제대로 인식하고 있는지 확인하여 학생들을 가르치는 데에는 많은 어려움이 따른다. 연구자나 교사는 학생들이 나타내고 있는 오류가 무엇인지, 오개념이 무엇인지 파악하는 것에서 한 걸음 나아가 어떠한 이유 또는 어떠한 과정에 의해 오류, 오개념이 형성되었는지 생각해 보아야 한다. 본 연구에서는 사례연구를 통하여 중학교 3학년 학생들을 대상으로 방정식의 개념과 함수 사이의 관계에 대한 이해 측면에서 발생하는 여러 가지 오류에 관한 연구를 토대로, 방정식과 함수 그래프의 관계를 어떻게 이해하고 있는지 알아본다. 이 때 보이는 오류에 대하여 Presmeg의 기표와 기의의 의미작용 모델을 기반으로 방정식과 함수의 관계 이해 양상에 대한 기호학적 접근을 통해 분석하였다. 본 연구의 목적을 위해 다음과 같은 두 가지 연구문제를 설정하였다. 1. 함수, 방정식, 그리고 함수와 방정식 사이의 관계에 대해 학생들이 흔히 범하는 오류의 유형은 어떠한 것인가? 2. 학생들의 풀이과정에 대하여 기호학적 관점에서 분석하였을 때 함수와 방정식의 관계 인식에 대한 오류는 어떻게 분석될 수 있는가? 본 연구를 위해 중학교 3학년 학생들 95명을 연구대상으로 선정하였고, 검사지를 통해 학생들의 답안을 분석하였다. 검사지는 총 12문제로 그래프의 구성과제와 해석과제를 중심으로 구성하였다. 95명의 학생 중 1명의 학생과 사례연구를 하였다. 여러 선행연구를 기반으로 Movshovitz-Hadar et al.(1987), Leinhardt et al.(1990) 그리고 오정현(1996)의 오류 유형을 토대로 재구성하여 문제의 자료를 잘못 사용하는 오류, 관계적 해석과 판단에서의 장애로 인한 오류, 필수적인 사실·개념의 부족, 논리적으로 부적절한 추론, 기술적인 오류, 논증되지 않은 해답 등으로 범주화 하였다. 또한 기호학적 관점으로 함수와 방정식의 관계 인식에 대한 오류는 어떻게 분석될 수 있는가에 대하여 결과를 알아보기 위해 검사지 분석 결과 필수적인 사실ㆍ개념이 부족하여 오류를 나타낸 문제를 중심으로 Presmeg의 기호의 의미작용 모델을 토대로 기호학적으로 분석하였다. 이에 6가지 오류 유형이 두루 나타났다. 또한 학습과정에서 이전 단계에서 학습한 내용뿐만 아니라 그보다 훨씬 이전단계의 영향도 직접적으로 받는다는 사실을 알 수 있었다. 따라서 기호의 의미작용 과정은 그 이전의 단계들을 필요에 따라 포함하면서 대상화할 수 있는 즉 Presmeg가 제안한 바와 같이 그 이전의 단계들을 모두 포괄할 수 있는 포개어지는 모델(nesting model)의 형태로 이루어진다는 사실을 알 수 있었다. 위의 결과를 통해 관계적 해석과 판단에서의 장애로 인한 오류와 필수적인 사실ㆍ개념의 부족으로 인한 특정 관점에의 집착에 관한 오류, 방정식과 함수 관계를 인식하지 못하는 오류, 개념 이미지로부터의 오류, 그리고 기술적인 오류들이 기호의 의미작용 과정에서 관찰되었다. 즉, 일차방정식과 일차함수에 대한 관계를 제대로 학생들이 파악하지 못한 채, 이차방정식과 이차함수에 대한 관계를 학습하게 되고, 이러한 과정에서 비논리적인 추론과 학습경험을 통해 방정식 학습 자체에서의 오류, 함수 학습 자체에서의 오류, 방정식과 함수사이의 관계를 파악하는 과정에서 생기는 오류가 나타난다. 방정식과 함수 사이의 관계를 인식하는 것뿐만 아니라, 학교수학에서 다른 영역들 간의 관계를 인식하는 과정 중 오류를 보일 수 있다. 이 때 발생되는 오류의 원인을 분석하는 데 본 연구의 결과는 기호학적 관점을 토대로 접근하는 연구의 기본적인 근거가 될 수 있을 것이다.;In this study, by a case study, the researcher worked with seniors of middle school, determining how they understand relation of Equation and Function graph ,based on the study regarding various errors in the understanding relation between concept of Equation and Function, and analyzed errors that they committed when they were understanding, through semiotic approaches to a aspect understanding relation of Equation and Function, based on Presmeg's signification model of signifier and signified. There are two study issue for the purpose of this study. 1. What type of the error is that the students commit commonly in the processes to solve Function, Equation ,and relation of Function & Equation? 2. How can errors about the understanding relation of Function and Equation be analyzed, based on semiotic approach about students'solution? The researcher selected 95 seniors of middle school for this study and analyzed students's answers through the Questionnaire. The Questionnaire have twelve problems, it's composed of mainly construction tasks and translation tasks. The researcher did case study one of 95 students. Also based on semiotic approaches, to find out the result how the error about understanding relation of Function and Equation can be analyzed, the researcher analyzed the Questionnaire, laying emphasis on problem about an error regarding shortage of essential fact and concept, approaching semiotically based on Presmeg's model of symbolic signification. Through this, the researcher determined that in the process of symbolic signification organizing the meaning by graph, the student doesn't organize the meaning in phase. So, in the process of signification, the student organizes the meaning not only objectifying signification process of just the former step, but also making object of the following step by including more former steps. Therefore, the researcher determined that signification process of symbol is composed of nesting model that can include all the former steps as what Presmeg suggested can objectify while including the former steps if as necessary. Also, through the above result, these are discovered in the signification process of symbol that the error by failures in relational interpretation and judgment, the error regarding the tenacity toward a specific viewpoint by shortage of essential fact and concept, the error that cannot recognize relation of Equation and Function, the error from the conceptual image, and the technical error. The sample group is 95 seniors of middle school and the researcher analyzed the Questionnaire mainly interpretation task, construction task, translation task. And then one student was selected, had a interview and observed. So that, it's not easy to generalize this result. Also, about the error regarding understanding relation of Function and Equation, the researcher reorganized category of the error types through the previous study and analyzed that result, so there is the limit that it's possible to get different results according to purposes of study. Therefore, the researcher suggests that the future study is necessary to discuss implications from researching various cases for lots of level students, and to research not only interpretation task, construction task of the graph and translation task, but also all task of that, and to study mainly the process that the students organize the meaning from general mathematic symbol and language, and then to get implication from instrumental learning.