고등학교 10-가 복소수의 정의, 연산의 서술에 관한 교과서 연구

Abstract

본 연구는 현재 고등학교 1학년에서 처음 소개되는 복소수 단원의 복소수의 정의와 연산, 그 연산에 대한 성질 등 교과서의 서술 방식이 학생들의 '수준'과 교육과정의 흐름에 맞게 논리적으로 서술되어 있는지 알아보고자 하였다. 여기서 학생들의 '수준'이란 실수에서 복소수로의 새로운 수 체계의 확장에 따른 대수적 구조를 파악하고 이해할 수 있는 수준으로 가정한다. 즉, 고등학교 1학년 교과서 전반의 전체적인 흐름을 볼 때 복소수 단원의 목표는 새로운 수의 확장에 따른 대수적 구조의 보존을 이해하고 파악하는 것이므로 이러한 목표에 맞게 복소수의 정의와 연산, 그 연산에 대한 성질이 교과서에서 서술되는 방식이 수학적인 입장에서 보았을 때 논리적인 비약(gap)이나 순환논증의 오류를 가지지 않고 적절하게 서술하고 있는지를 살펴보고자 한 것이다. 이러한 연구 목적의 달성을 위해 현재 7차 교육과정의 16종 교과서의 서술 방식을 분석하고 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 현재의 교육과정에 기초한 학생들의 '수준'을 고려할 때, 고등학교 1학년 복소수의 정의와 연산에 관한 서술은 어떠한가? 2. 복소수의 정의와 연산에 대한 서술을 어떠한 방향으로 수정, 보완하면 학생들이 이해하는데 도움이 될 것인가? <연구 문제1>에 의해 학생들의 '수준'에 맞게 논리적인 관점에서 16종 교과서를 분석해 본 결과 크게 다섯 가지의 분석 대상을 찾아내었다. 첫째는 허수 단위 i의 도입과 음수의 제곱근, 둘째는 복소수의 정의 방식에서 실수와 순허수의 정의 방식, 셋째는 복소수의 사칙 연산, 넷째는 복소수의 연산에 관한 성질에서의 대소 관계와 역원의 표현 방법, 마지막으로 대수적 구조의 보존에 관한 것이다. 위의 다섯 가지 서술 방식에 대한 연구 결과는 다음과 같다. 우선 허수 단위 i의 도입에 있어서는 √-1의 값을 i라고 명시하는 과정에서 근호 안에 음수가 존재할 수 있음을 교과서에 명시해 주고, 그것이 이차방정식 x²=1=0의 '두 개의 해' 중에 하나인 √-1이라는 값이라는 것을 알게 하는 것이 좋을 것이다. i가 √-1인지 -√-1인지에 대한 언급은 켤레복소수, 순서쌍, 삼차방정식을 이용하여 도입하는 세 가지 개선 방안을 제시하였다. 음수의 제곱근에서는 복소수에서 성립하지 않는 성질 √a√b=√ab을 생각할 때 √-a꼴의 표현보다는 √ai로 바꾸어 주는 것이 논리적인 비약(gap)을 줄일 수 있는 방법이며 교과서의 표현 또한 일관되게 다루어 주는 것이 좋을 것이다. 또 음수의 제곱근을 다루는 위치가 교과서마다 다른데 순환논증의 오류에 빠지지 않기 위해서는 단원의 마지막에 연산에 대한 성질을 모두 다룬 후 음수의 제곱근을 설명해 주어야 한다. 복소수의 정의에서는 실수와 순허수를 정의할 때 'a+bi=a+0i=a+0=a'와 같은 설명과 함께 실수를 정의하는데 이러한 서술 방식은 수학적인 입장에서 덧셈 기호와 복소수의 구분 기호를 구별하지 못하여 학생의 논리적 비판 능력을 무뎌지게 할 우려가 있다. 이러한 설명은 교과서 저자나 교사의 입장에서 논리적인 비약(gap)이 있는 전개를 학생들이 그대로 답습하게 됨으로써 교수학적 극단 현상인 '토파즈 효과'가 나타날 수 있다. 따라서 이러한 정의는 'a+0i를 로 적기로 한다'와 같은 표현이 더 나은 표현이 될 수 있다. 또 실수와 순허수를 정의하는 과정에서 나타나는 '0i=0이라 하면~' 이나, '0+bi=bi'라는 설명은 복소수의 사칙 연산과 그 구조를 파악한 후에나 이해 가능한 설명이므로 순환 논증의 오류에 해당한다고 볼 수 있다. 복소수의 사칙 연산에서는 'i를 문자와 같이 생각하여 계산하라'는 서술방식에서 논리적인 비약(gap)이 있다고 보이는데 우선 '문자'라는 의미가 실수 범위의 문자인지 복소수 범위의 새로운 수로서의 문자인지 문맥 속에서 분명하고 정확하게 그 대상을 정할 수 있어야 하며 '계산하라'는 표현은 연산에 대한 '알고리즘'적 서술이므로 고등학교 학생들이 대수적 구조를 파악하고자 하는 '수준'에 맞지 않다. 따라서 연산을 새롭게 정의하고 단원의 마지막에서 연산 결과가 같아짐을 이해할 수 있도록 해야 할 것이다. 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈은 실수에서의 사칙 연산과 다른 새로운 수에 대한 연산이므로 연산은 새로 정의하여야 하며 이 때 복소수의 구분 기호와 덧셈 기호를 구별할 줄 알아야 한다. 복소수의 나눗셈은 나눗셈의 정의에서 분수 꼴의 형태로 정의한 것과 분모의 켤레복소수를 분자, 분모에 곱하여 나눗셈 연산이 이루어지는 것에 대한 논리적인 설명 없이 계산 절차 정도만 서술하고 있으므로 교과서 서술상의 논리적 비약(gap)을 줄이기 위해서는 복소수 분수(본문에서 새롭게 정의하였음)나 복소수 분수의 분자, 분모에 같은 값을 곱하여도 그 값은 변하지 않음을 보이는 과정 등 실수의 구조와 복소수의 구조가 보존됨을 간단하게 설명할 수 있어야 한다. 이러한 과정의 생략은 복소수라는 새로운 수의 확장에 대한 논리적인 측면에서의 순차적인 전개 과정을 생각하였을 때 많은 논리적 비약(gap)을 가져온다고 생각할 수 있다. 연산에 대한 성질에서는 복소수의 대소 관계가 성립하지 않는다는 것을 교과서에서 다루어 주어야 한다는 것이며 곱셈에 대한 역원의 경우 그 표현 방법이 논리적인 측면에서 타당하도록 복소수 형태로 서술해 주어야 한다는 것이다. 마지막으로 교육과정 입안자들의 기대하는 학생들의 '수준'을 생각해 볼 때 복소수 단원의 목표가 수 체계의 확장에 따라 새로운 수를 알기보다는 수에 대한 전체적인 구조를 파악하여 사고의 확장을 꾀하고자 하는 것이므로 단원의 마지막에서 실수의 대수적 구조와 복소수의 대수적 구조가 보존됨을 구체적으로 밝히고 정의와 연산, 연산에 대한 성질을 서로 비교하여 학생 스스로 그 구조를 확인할 수 있는 기회를 제공하는 것이 필요하다. 특히 교과서상의 서술에 대한 논리적 비약(gap)을 최소화하고 순환논증의 오류와 같은 오개념에 빠지지 않도록 하여 논리적 사고의 확장을 해 나가는 것이 가장 중요한 목표라고 할 수 있다.;The complex number system is supposed to introduce first chapter in the first grade of high school. When number system is expanded to complex numbers, the main aim is to understand preservation of algebraic structure with regard to the flow of curriculum and textbook. This research reviewed overall alternative articulation and treatment of textbooks from a logical viewpoint. Two research questions are developed below. First, in the structure of the current curriculum, when we consider student's 'level', how are the alternative articulation and treatment of textbooks in complex unit on a logical point of view? Second, What are more logical alternative articulation and treatment? What alternative articulation and treatment are suitable for a running goal? and what are the improvement which is definitive? The research questions were analyzed from the aspects of following elements in the unit of complex numbers. The first topic is about introduction of imaginary unit and the square root of a negative numbers. The second topic is about the definition of real numbers in complex number system, definition of pure imaginary number. The third topic is about definition of addition, subtraction and multiplication of complex numbers and division of complex numbers The fourth topic is about an order relation of complex numbers, the multiplicative inverse of a+bi The final topic is about the preservation of algebraic structure.