미분방정식의 해 개념 형성에 관한 사례연구

Abstract

미분방정식은 변화하는 실생활을 모델링하는 언어이며, 미적분학의 학습과 그 학문의 발달과정에서 밀접하게 연관되어 있다. 이러한 실세계의 현상을 모델링하는 미분방정식의 연구에서는 '변화율'을 그 핵심개념으로 다루고 있다. 그러나 현재 이루어지고 있는 대부분의 전통적인 미분방정식 입문과정에서는 변화율과의 깊은 관련성을 고려하지 않은 채 해석적 기술에 의해 다뤄질 수 있는 극히 제한적인 미분방정식만을 다루고 있다. 따라서 학생들은 개념을 이해하지 못한 채 오로지 계산 알고리즘 중심의 절차적 지식의 습득에만 치우치게 됨으로써 미분방정식의 유용성과 그 아름다움을 경험하지 못하고 있다. 본 연구에서는 이러한 문제점들을 인식하여 미분방정식 학습에서 변화율에 대한 추론은 필수적이라고 보고, 변화율을 수반한 관계적 이해(knowing-with)의 필요성을 제시하였다. 이에 다음과 같은 두 가지 연구 문제를 제기하였다. 첫째, 미분방정식의 해 개념 형성과정에서 나타나는 변화율의 유형과 각 유형별 특성은 무엇인가? 둘째, 변화율의 맥락을 고려한 미분방정식 학습에서, 학생들의 해 개념은 어떻게 변화하며, 변화율의 특성은 학생들의 해 개념형성과정에 어떠한 영향을 미치는가? 이들 연구문제를 해결하기 위해, 본 연구에서는 연구대상자의 해 개념 형성과정을 심도 있게 관찰할 수 있는 질적 사례연구방법을 사용하였다. 이를 위해 본 연구자는 2001년과 2002년 가을 학기에 서울시 소재의 한 여자 대학에서 개설된 미분방정식 수업을 통하여 2년간에 걸쳐 수행된 교실기반 연구 중 2002년도 가을학기 수업을 관찰하였다. 미분 방정식 수업을 수강하기 위해 참여한 실험 대학의 학부과정 학생들로 구성된 한 학급을 연구대상으로 하였으며, 연구대상자의 해 개념 형성과정에서 나타나는 다양한 사례들을 관찰하기 위해 변화율의 맥락을 고려한 토론중심의 교수설계를 하였다. 모든 수업은 소그룹토론과 전체토론이 반복되는 과정을 통해 이루어졌으며, 교수는 수학적 개념에 대한 직접적인 설명을 제한하고 학생들이 토론을 통해 스스로 개념을 형성하도록 안내하는 역할을 하였다. 자료의 분석에서는 수업 전체를 녹화한 비디오 테이프와 이와 동시에 녹음한 오디오 테이프의 녹취물, 그리고 학생들이 작성한 worksheet의 사본을 통하여 삼각측정 법(triangulation)을 시도하였다. 이러한 연구 설계 하에 미분방정식에서 연구대상자들의 해 형성과정을 관찰하였고 다음과 같은 연구문제에 대한 답을 얻었다. 첫 번째 연구문제에 대해서는, 먼저 미분방정식의 역사적 발달과정, 최근 미분 방정식 교수-학습에 대한 선행연구, 그리고 변화율 개념에 대한 문헌 연구를 하였으며, 이러한 이론적 고찰에 기반 하여 학생들이 미분방정식의 해 형성과정에서 나타나는 변화율의 유형을 관찰하여 다음과 같이 6가지로 분류하였다. 변화율의 유형은 변화에 대한 양태에 초점을 두는지, 변화율에 대한 탐구에서 주로 수치적인 값에 초점을 맞추는 양적인 접근을 하는지, 그래프를 통해 두 변수 사이의 관계나 그 의미를 구성함으로써 그래프의 대략적인 경향을 해석하는 질적 접근을 하는지에 따라 크게 세 분류로 세분하였다. 그리고 각각을 변화율을 구성하는 단위와 단위의 특성을 고려하여 pre-ratio 단계, ratio 단계, interval rate 단계, instantaneous rate 단계, global rate 단계, dynamic rate 단계의 6가지 유형으로 세분하였다. 둘째, 연구대상 학생들은 미분방정식의 해 개념 형성과정에서 다음과 같은 특징을 나타내었다. 처음 두 단계에 해당하는 pre-ratio 단계와 ratio 단계에서는 변화율 방정식의 해에 대한 변수적 특성은 인식하였으나, 해의 함수적 측면을 받아들이는 데에는 어려움을 나타내었다. 다음 Interval rate 단계와 instantaneous rate단계에서는 두 변수 사이의 관계를 질적으로 탐구하는 global rate 유형이 함께 작용함으로써 해의 함수적 특성을 추론하고 해 함수 그래프를 인식하였다. 마지막 global rate 단계와 dynamic rate 단계에서는 해집합을 인식하였고, 변화율을 해함수의 구조와 조직을 표현하는 함수로 추론함으로써 해를 역동적인 공간으로 이해하였으며, 이러한 해공간의 인식으로부터 해함수의 장기적인 움직임을 하나의 단위로 분석하였다. 이와 같이 학생들은 '변수 해'에서 '개별적인 함수 해'를 거쳐 하나의 '해 공간'으로 미분방정식의 해 개념을 형성하였다. 변화율 유형의 각 단계는 변화율의 역사적 발생과정을 따라 순차적으로 발생하였으며, 학생들의 개인차와 과제의 특성에 따라 출발점은 달랐지만, 각 단계의 순서를 따라 진행되었다. 그러나 global rate 단계가 처음 단계에서부터 함께 발생함으로써 학생들이 학습초기부터 변화율에 대한 질적인 추론을 하였으며, 과제의 해결에서 변화율을 중요한 개념적 도구로서 사용하였다는 것을 반영하였다. 이와 같이 미분방정식의 해 개념은 변화율을 제외하고는 생각할 수 없는 바, 미분방정식 교수·학습에서는 다양한 변화율의 맥락을 탐구할 수 있는 수업환경이 제공되어야 할 것이다. 변화율을 고려한 미분방정식 교수설계를 통해 학생들은 미분방정식에 대한 보다 심층적인 이해를 할 수 있을 것이며, 강의를 설계하는 교수들은 특수한 내용을 지도하는 방법과 학생들을 지도하는데 있어서 가치 있는 것이 무엇인지를 재 고려 할 수 있을 것이다. 또한, 교육 연구자들은 가설의 시험과 수정을 통해 더 나은 이론과 교수실험을 개발할 수 있을 것으로 기대된다. 마지막으로 본 연구의 결과에 대한 후속연구로서 다음을 제안한다. 첫째, 본 연구는 변화율이라는 맥락에 초점을 두고 학생들의 미분방정식의 해 개념 형성과정을 관찰하였다. 그러나 학생들의 개념 형성과정에서 교수·학습이 미치는 영향 또한 간과할 수 없는 중요한 요인이므로, 미분방정식 교수·학습 환경이 해 개념발달에 미치는 영향에 대한 후속연구가 필요하다. 둘째, 본 연구에서는 1계미분방정식에서 변화율과 미분방정식의 해 개념발달에 대해 연구하였다. 따라서 이를 확장하여 연립미분방정식, 선형미분방정식, 고계 미분방정식에서 나타나는 학생들의 해 개념 인식에 대한 연구가 필요하다. 셋째, 본 연구에서는 소그룹토론과 전체토론으로 구성된 교수·학습 상황을 구성하였고, 학생들은 구체적인 교사의 설명 없이 토론을 통하여 개념을 형성하였다. 따라서 미분방정식의 해 개념을 촉진하는 의사소통패턴과 소그룹 구성방식에 대한 연구, 그리고 학생들의 토론을 촉진시키는 교수의 역할 및 발문에 대한 후속 연구를 제안한다.;Differential equations are a language which models a changing, real-world life and is quite related to the learning and improvement process of calculus. A rate of change is a main concept in a research of differential equations which model a real-world phenomenon. In most of conventional entrance process of differential equations, many researchers are following a very limited differential equation which depends an analytic technique without considering a relationship of change and rate of change. So, students do not get an opportunity to meet the usefulness and beauty of differential equations by only achievement of procedural knowledge which focus on computation algorithm without understanding the main concept of differential equation. This research recognizes such a problem and considers that there is necessary to induction of change rate in learning of differential equation, and thus this paper suggests a necessity of knowing solutions with rate in differential equations. For such the necessity, we suggest two research issues as following: 1. What are the shape of rate of change and a characteristic of each shape in development process of solutions of differential equations? 2. How does the solution concept of students transit in learning of differential equations while the rate of change is considered? How does the characteristic of rate of change influence the development process of solutions of students? To present a solution for these issues, the research introduces a case study through we can see the development process of solutions of students. We observe a class in Fall 2002 which is included in a classroom-based research processed for 2 years. The class is for differential equations and opened at Fall semester 2001 and 2002 in a woman's college of Seoul. We select a college class of differential equation, design a discussion-based teaching which considers the rate of change, and observe a variety of pattern in the development process of solutions of students. Students repeat a whole class discussion and small group discussions in this class. A instructor avoids to explain a mathematical concept directly and takes a role to suggest that students construct their concepts through the discussions. We try a triangulation method for the data analysis with three items: 1) video tapes which show a total of class; 2) transcriptions of audio tapes; 3 ) copies of worksheets which students make. We analyze the data using a constant comparison method with a inductive process. Under such a research design, we observe the development of process of solutions of differential equations from students and achieve solutions of two research issues. In first, we study the history of differential equations, a teaching and learning of recent differential equations, and the literature for the concept of rate of change. Under this theoretical research, we see the shape of rate of change which students show in the development of process of solutions of differential equations and classify at six as following. We classifies the shape of the change rate with three types as focusing: 1) shape itself of the change; 2) numerical approach focusing numerical values; 3 ) qualitative approach analyzing a comprehensive trend of a graph by exploring a relationship or meaning of variables through a graph. In more detail, we consider the value and its characteristics of each type respectively and stratify the shape with six levels; pre-ratio, ratio, interval rate, instantaneous rate, global rate, and dynamic rate. In second, in the development of process of solutions of differential equations, students shows the characteristics as following. In pre-ratio and ratio levels, the students recognize the variable characteristic of differential equations, but show a difficulty to recognize the solution's functional characteristic. In interval rate and instantaneous rate levels, students induce the functional characteristic and recognize the graph of the solution function with the global rate shape exploring the relationship of two variables qualitatively. In global rate and dynamic rate levels, the students recognize solution set, understand the solution as a dynamic space by inducing the rate a function explaining a structure of solution function, and thus, analyze a long-term behavior of solution function from such a solution space as one unit. The students develop the solution concept of differential equations as a solution space which is progressed from an individual function solution via a variable solution. The each level of the classified shape of the change rate occurs consecutively in the Iearning of differential equation. Such occurrence follows a historical occurrence process of the change rate which starts from the infinitesimal approach, transits the limit approach, and induces the linear tangent mapping. Also, the exploration of the change rate of students proceeds with the consecutive levels though there are different starting points corresponding to difference of each student and characteristic of each subject. However, the global rate level occurs with an another level. That means the students induce the change and rate of change qualitatively from the initial learning and use the rate of change as an important conceptual tool to solve a subject related to a solution of differential equation from the initial point. The concept of solution in differential equations cannot be understandable without the rate of change, and thus the learning environment which explores the various concepts of change rate should be supported in a learning and teaching of differential equations. The design of teaching of differential equations with the rate of change allows students to understand differential equationss more deeply and instructors, which designs their classes, to re-consider what is valuable in teaching a special content and in giving a guideline to students. In addition, we intend the educational researchers to try the hypothesis and change it, and thus develop the better theory and teaching experiment. Finally, we suggest the successive of this study as following. In first, we focus on the rate of change and observe the development of process of solutions of differential equations from students. However, the influence of teaching and learning in the process is a important factor. Thus, it is necessary for a successive research for how the environment of teaching and learning influences the development of solution. In second, this study focuses on the rate of change and the development of process of solution for the first order differential equations. We can extend and study the students' recognition of solution concept in the systems of differential equations, linear differential equations, high order differential equations. In third, this study proceeds the teaching and learning with the small group and whole classs discussions and makes students to achieve the solution concept without the direct explanation of instructor. We suggest a research for communication pattern and small group construction to accelerate the solution concept of differential equations and for a role of instructor to accelerate the discussion among students.