학습지원대상학생 지도를 위한 중등수학교사의 분수에 대한 지식 특징 및 지식 간의 연관성

Abstract

The lack of foundational skills and the educational achievement gap are among the challenges that must be addressed in South Korea's mathematics education. During the COVID-19 era, the disparity in students' mathematical abilities widened significantly, and even years after transitioning into the post-COVID era, the aftermath of the pandemic continues to exacerbate this educational gap (Ministry of Education, 2022a). The Ministry of Education has implemented various policies aimed at eliminating these disparities and achieving foundational educational success for all students. Strategies include deploying external instructors to conduct collaborative lessons and providing additional guidance outside regular classes for students who have not reached basic competency levels, involving both external instructors and mathematics teachers. If first-year middle school students have not reached foundational academic proficiency, it is essential to address learning deficits from previous years, particularly in elementary mathematics content. However, the training programs for secondary mathematics teachers do not include methods for instructing elementary mathematics content (Kang Heung-gyu, 2012). Numbers and operations form the basis of mathematical learning (Ministry of Education, 2022b), yet many students who require educational support encounter initial difficulties specifically with fractions within this area (Kim Tae-eun et al., 2018). Despite the need for research on how secondary mathematics teachers guide students with elementary mathematics learning deficits, such studies are scarce. This situation necessitated an examination of secondary mathematics teachers' knowledge focused on fractions. Consequently, this research was designed to investigate the Subject Matter Knowledge (SMK), Knowledge of Content and Teaching (KCT), and Knowledge of Content and Students (KCS) of secondary mathematics teachers as they instruct students with learning deficits in fractions. The study further explores the interrelationships among SMK, KCT, and KCS in teaching fractions to students who need additional support. This study involved nine secondary mathematics teachers and presented them with scenarios of first and second-year middle school students struggling with mathematical concepts and problem-solving due to deficits in fraction operations. To analyze the content and reasons why students supported by educational programs have difficulties in solving problems, we constructed a questionnaire and collected data. After collecting the questionnaire, we aimed to precisely understand the vague responses given by the teachers and conducted telephone interviews to deeply explore the general reasons (KCS) why these students find mathematics and fractions challenging. The Subject Matter Knowledge (SMK) was categorized into eight sub-elements of fraction reasoning concepts, while the Knowledge of Content and Teaching (KCT) was analyzed to determine whether it guided conceptual or procedural knowledge, assigning codes CK and PK respectively. Knowledge of Content and Students (KCS) was divided into general knowledge about why students struggle with mathematics and fractions (KCS1) and knowledge about why students fail to solve specific problems related to fractions (KCS2). KCS1 was categorized into linguistic, mathematical, study volume, and attitudinal aspects, whereas KCS2 was analyzed to see if it was interpreted as a lack of conceptual or procedural knowledge, coding them as CKS and PKS respectively. The study analyzed the SMK, KCT, and KCS of the teachers and based on this, explored the interrelationships among SMK, KCT, and KCS. The relationships between SMK and KCT, and between SMK and KCS, were examined based on the mathematical aspects related to fractions in KCS1, segmenting the teachers into groups for inter-group and sub-category comparative analysis. The correlation between SMK1 and KCT, and KCS involved analyzing how deficiencies in subject matter knowledge (SMK1) impede problem-solving in specific scenarios, and how this knowledge (SMK2) is applied in teaching, classifying and analyzing the relationship between SMK1 and SMK2. This study investigated the interrelationships between Subject Matter Knowledge (SMK), Knowledge of Content and Students (KCS), and Knowledge of Content and Teaching (KCT) among secondary mathematics teachers managing middle school students struggling with fraction operations in first and second years. The research found that SMK predominantly revealed teachers' understanding of the advanced fraction reasoning concepts, whereas KCT was biased towards procedural knowledge instruction. KCS was categorized into linguistic, mathematical, volume of learning, and attitudinal aspects concerning general reasons why educational support students find mathematics and fractions challenging (KCS1). It was noted that teachers were more likely to interpret students' inability to solve specific problems (KCS2) as a lack of procedural knowledge (PK) rather than conceptual knowledge (CK). Moreover, the connection between SMK and KCT was minimal in teaching methods that form CK for generalizing fraction operations, with a greater inclination towards forming PK, indicating a gap in teaching knowledge. In terms of SMK and KCS, teachers who mentioned the conceptual aspect of fractions noted a threefold higher mention of CK deficiencies in specific problem situations compared to those who emphasized the complexity of fraction operations. However, overall, the lack of PK was three to eight times more pronounced than CK deficiencies across groups. The association between KCS and KCT showed that despite recognizing that students fail to solve problems due to a lack of CK, the majority of instructions were geared towards forming PK. Additionally, there was a variance in instructional perspectives among teachers who noted students' inability to understand explanations due to poor literacy skills. Some focused on forming CK using visual models and concrete materials to enhance intuitive understanding, while others focused on forming PK through repetitive operations. The study underscores the necessity to align secondary mathematics teachers' instructional strategies more closely with students' levels, particularly in foundational mathematical concepts like division. The analysis of nine secondary mathematics teachers' knowledge related to fractions revealed that although most teachers demonstrated diverse knowledge in the content of fractions, their understanding of and perception towards students requiring educational support were insufficient. This suggests significant challenges in guiding students with educational support needs using only content knowledge of fractions. Furthermore, even globally recognized Korean secondary mathematics teachers displayed a lack of expertise in teaching fractions to these students. Some teachers reported difficulties in teaching fractions due to a lack of training in elementary mathematics teaching methods during their teacher education, indicating that secondary teachers are not adequately prepared to address the learning deficits in fractions among these students. There is a need for continuous professional development programs, not just one-time training sessions, to equip secondary mathematics teachers with the professional knowledge required to address elementary mathematical content where learning deficits are frequent. Additionally, the development of materials and programs that enhance the professionalism of teachers towards students needing educational support is essential. Some teachers believe that completing a teaching credential program at universities or colleges of education is sufficient for teaching proficiency (Min Yoon-kyung, 2020). However, the adequacy of these teachers' expertise, especially those who have not studied elementary mathematics teaching methods but have completed secondary mathematics teacher training programs, needs to be reassessed. Teaching students requiring educational support demands a deeper understanding and a diverse set of teaching skills compared to instructing regular students. Therefore, it is necessary to evaluate the effectiveness of policies that employ external instructors without teaching credentials to guide students requiring educational support.;기초학력의 부족과 학력 격차는 우리나라 수학교육에서 해결해야 할 과제 중 하나이다. 코로나 시기를 겪으면서 학생들의 수학 학력 격차는 더욱 확대되었고, 포스트 코로나로 접어든 후 몇 년이 지난 현재까지도 코로나의 여파가 학력 격차의 심화로 존재한다(교육부, 2022a). 교육부에서는 학력 격차의 해소와 모든 학생의 기초학력 성취를 위하여 다양한 정책을 실행하고 있다. 학교에 외부 강사를 배치하여 협력 수업을 시행하고, 기초학력에 도달하지 못한 학생들을 대상으로 외부강사 및 수학교사가 정규 수업 외 추가 지도를 진행하고 있다. 중학교 1학년 학생이 기초학력에 도달하지 못한 경우, 이전 학년에서의 학습결손, 특히 초등수학 내용에서의 결손을 해결해야 할 필요가 있다. 그러나 중등수학교사 양성 과정에서는 초등수학 내용의 지도 방법이 포함되어 있지 않다(강흥규, 2012). 특히 수와 연산은 수학 학습에서 기본이 되는 내용이지만(교육부, 2022b), 대부분의 학습지원대상학생들은 수학 학습 중 수와 연산 영역의 ‘분수’에서 최초로 어려움을 겪는다(김태은 외, 2018). 이러한 상황에서 초등수학의 학습결손이 있는 학습지원대상학생들 대상으로 학습결손을 해소하기 위하여 중등수학교사가 어떻게 지도하고 있는지 연구가 필요함에도 이에 대한 연구가 거의 이루어지고 있지 않다. 따라서 초등수학 중 분수의 학습결손이 있는 학습지원대상학생들을 지도하기 위하여 중등수학교사들의 지식을 분수 중심으로 살펴보았고, 이에 연구문제를 ‘학습지원대상학생의 분수 학습을 지도하기 위한 중등수학교사의 SMK, KCT, KCS은 어떠한가?’, ‘이 교사들의 SMK, KCT, KCS 상호연관성은 어떠한가?’로 설정하였다. 중등수학교사 9명을 대상으로 중학교 1, 2학년 수학 내용 중 분수의 학습결손으로 수학 개념 학습 및 문제 해결에 어려움을 겪는 문제 상황을 제시하였다. 이에 중등수학교사들이 학습지원대상학생을 지도하는 내용과 학습지원대상학생이 문제 해결에 어려움을 겪는 이유를 해석한 내용을 분석하기 위하여 검사지를 구성하고 자료를 수집하였다. 검사지 수집 후, 중등수학교사가 작성한 모호한 답변을 정확히 파악하고, 중등수학교사가 생각하는 학습지원대상학생들이 수학 및 분수를 어려워하는 일반적인 이유(KCS)를 심층적으로 알기 위하여 전화 면담을 진행하였다. 의미단위별 분수 교과 내용 지식(SMK)은 8가지 분수 추론 개념을 하위 요소로 코드를 부여하였고, 분수 교과 내용과 교수에 대한 지식(KCT)은 개념적 지식 또는 절차적 지식을 형성하도록 지도하는지 분석하여 각각 CK와 PK로 코드를 부여하였다. 분수 교과 내용과 학생에 대한 지식(KCS)은 학습지원대상학생들이 수학 및 분수를 어려워하는 일반적인 이유에 대한 지식(KCS1)과 구체적인 분수 관련 문제 상황에서 학생들이 문제를 해결하지 못 하는 이유에 대한 지식(KCS2)으로 나누었다. KCS1은 언어적 측면, 수학적 측면, 학습량 및 태도 측면으로 범주화했으며, KCS2는 개념적 지식 또는 절차적 지식의 부족으로 해석하였는지 분석하여 각각 CKS와 PKS로 코드를 부여하였다. 중등수학교사들의 SMK, KCT, KCS를 분석하고 이를 바탕으로 SMK, KCT, KCS의 상호연관성을 분석하였다. SMK와 KCT가 나타난 의미단위별 지식에 대하여 교사 간, 하위 범주 간 비교분석을 하였고, SMK와 KCS의 연관성과 KCT와 KCS의 연관성은 각각 KCS1의 분수와 관련된 수학적 측면을 기준으로 교사들의 그룹을 나누어 그룹 간, 하위 범주 간 비교 분석을 하였다. SMK, KCT, KCS의 연관성은 학생들이 구체적인 문제 상황에서 어떠한 교과 내용 지식의 부족(SMK1)으로 문제 해결의 어려움을 겪는지 해석하는 지식(KCS2)과 SMK1을 지도하기 위하여 어떠한 교과 내용 지식(SMK2)으로 지도하는지 SMK1과 SMK2로 분류하고 SMK1과 SMK2의 연관성을 분석하였다. 연구 결과, 중등수학교사들의 SMK는 분수 연산을 일반화하는 마지막 단계의 분수 추론 개념이 가장 많이 나타났으며 KCT는 절차적 지식의 측면을 지도하는데 치우쳐 있었다. 중등수학교사들의 KCS는 중등수학교사가 학습지원대상학생들이 분수를 포함한 수학을 어려워하는 일반적인 이유(KCS1)에 대하여 언어적 측면, 수학적 측면, 학습량 및 태도 측면으로 범주화 했으며, 구체적인 문제 상황에서 학습지원대상학생들이 문제를 해결하지 못하는 이유(KCS2)에 대하여 CK의 부족보다 PK의 부족으로 해석하는 경향이 나타났다. SMK와 KCT는 분수 연산을 일반화하는 마지막 단계의 분수 추론 개념(aFC)에서 CK를 형성하는 지도 방법은 매우 적었으며, PK을 형성하는 지도 방법에 치우쳐 있어 중등수학교사들의 교수 지식의 부족함을 분석하였다. SMK와 KCS의 연관성은 학습지원대상학생들이 수학 및 분수를 어려워하는 일반적인 이유에 대하여 분수의 개념을 언급한 교사 그룹이 분수의 연산의 복잡성을 언급한 교사 그룹보다 구체적인 문제 상황에서 CK의 부족을 언급한 경우가 3배 높았지만, 전체적인 CK의 부족과 PK의 부족을 살펴보았을 때, PK의 부족이 CK의 부족보다 그룹별로 적게는 3배 많게는 8배 차이가 났다. KCS와 KCT의 연관성은 학습지원대상학생들이 수학 및 분수를 어려워하는 일반적인 이유에 대하여 연산을 언급한 교사 그룹에서 학생들이 CK의 부족으로 인하여 문제를 해결하지 못한다고 인식함에도 PK의 형성을 지도하는 비율이 가장 높았다. 또한 문해력 부족으로 학습지원대상학생들이 설명을 이해하지 못한다고 언급한 교사들의 지도 관점이 다르게 나타났다. CK의 형성을 중점으로 시각적인 모델 및 구체물을 이용하여 학생들의 직관을 키우는 관점과 PK의 형성을 중점으로 간단한 수의 연산 반복을 통해 학생들의 직관을 키우는 관점으로 나뉘었다. SMK, KCT, KCS의 연관성을 통하여 중등수학교사들의 학생들의 눈높이에 맞지 않는 지도 교수 지식을 사용하는 것을 분석했으며, 나눗셈에 대한 기초 수학의 이해가 부족한 경우를 분석하였다. 중등수학교사 9명의 분수와 관련된 지식을 분석한 결과, 대부분의 교사들이 분수 교과 내용 지식에서 다양한 지식을 보였지만 학습지원대상학생을 대상으로 분수를 지도할 때 나타나는 지식이나 학습지원대상학생에 대한 인식은 부족한 것으로 나타났다. 이는 분수 교과 내용 지식만으로 학습지원대상학생을 지도하기엔 많은 어려움이 있음을 시사한다. 또한 전세계적으로 전문성을 인정받는 한국 중등수학교사들조차 학습지원대상학생을 대상으로 분수를 지도할 때, 분수 교수 지식에 대하여 부족한 전문성이 드러났다. 일부 중등수학교사들은 교사 양성 과정에서 초등 수학을 가르치는 방법을 배운 적이 없어 가르치기 어렵다고 호소하였고, 이는 초등 수학 내용의 교수 지식이 없는 중등수학교사들이 분수에 대한 학습결손이 있는 학습지원대상학생을 가르칠 충분한 준비가 되어 있지 않음을 시사한다. 중등수학교사들의 학습결손이 많이 일어나는 초등수학 내용에 대한 전문적인 지식을 갖출 수 있도록 일회성으로 끝나는 교원 연수가 아닌 지속적인 연수 진행과 중등수학교사들의 학습지원대상학생에 대한 전문성을 신장할 수 있는 교재 및 프로그램 개발이 필요하다. 일부 교사들은 사범대학교나 교육대학교에서 운영하는 교직이수과정을 수행한 것만으로도 학습지도와 관련하여 충분한 전문성을 가지고 있다고 언급한다(민윤경, 2020). 사범대학교에서 초등수학 교수 방법을 학습하지 않음에도 중등수학교사 양성과정을 이수한 교사들이 학습지원대상학생들의 초등수학에서 생긴 학습결손을 지도할 수 있는 전문성을 갖췄다고 판단할 수 있는지 재고할 필요가 있다. 학습지원대상학생들을 지도하는 경우 일반 학생의 지도보다 학생 이해와 관련된 지식과 다양한 교수 지식이 필요하다. 따라서 교원자격증이 없는 외부 강사들이 학습지원대상학생을 지도하는 정책의 효과성을 확인할 필요가 있다.