수학적 모델링 관점에 따른 2015 개정 중학교 수학 교과서 과제 분석

Abstract

An understanding of mathematics is central to a young person’s preparedness for participation in and contribution to modern society(OECD, 2018). Wijaya et al.(2015) claimed that students’ ability to apply mathematics in various contexts of daily life is a core goal of mathematics education(Boaler, 1993; De Lange, 2003; Graumann, 2011; Muller&Burkhardt, 2007; Niss, Blum&Galbraith, 2007). Thus, What is important in recent mathematics education is not just the acquisition of mathematical knowledge, but the ability of students to apply mathematics and perform practical tasks in new and meaningful situations or contexts. Reflecting this, the need to change the nature of mathematics content is also revealed in the Program for International Student Assessment(PISA) organized by Organization for Economic Cooperation and Development(OECD)(Park, Kyung-mi, 2015), specifically, it can be seen through the use of the ‘mathematical modeling process’ as an evaluation frame in PISA 2012. However, according to the OECD(2014), Korean students relatively have difficulties in interpreting mathematical results in a real-world context compared to representing a given situation mathematically and solving it in mathematics(Park, Kyung-mi, 2015). Accordingly, Korea instituted mathematical modeling as a sub-factor of the ‘problem-solving ability’ of the 2015 revised curriculum. However, simply given a real-world contextual problem does not always mean that students can have a mathematical modeling process. Therefore, this study aims to examine how much the 2015 revised Korean middle school mathematics textbook’s real-world context tasks provide an opportunity to significantly have the mathematical modeling process by classifying whether the context is a ‘camouflage context’ given just the pattern as a real-world context or a meaningful ‘essential context’ in which mathematical modeling can occur. In addition, this study tried to examine which stages of the mathematical modeling process are represented by targeting an ‘essential context’ task. Accordingly, the study set up the following research questions. Research question 1. How does the task of ‘relevant and essential context’ appear according to textbooks, grades, and areas of mathematics in the 2015 revised Korean middle school mathematics textbook? Research question 2. How does the mathematical modeling process of the task of ‘relevant and essential context’ appear according to textbooks, grades, and areas of mathematics in the 2015 revised Korean middle school mathematics textbook? To solve research questions, all real-world context tasks of 10 types of middle school mathematics textbooks revised in 2015 were subject to the study, and the total number of analyzed tasks was 3550. For the analysis of tasks, two analysis frames were constructed. The first framework for classifying context types was constructed using the classification of De Lange(1995, 1999) who classifies the types of real-world context tasks, and Almuna Salgado(2016) who redefines three ranges for context use based on it. The second analysis frame for analyzing the mathematical modeling process was constructed by referring to the mathematical modeling process by Blum & Leiß(2007) and previous studies by Jung, Hye-yoon, et al.(2020a) using it. In the first analysis frame, ‘relevant and essential context(abbreviated word RE)’ was first classified and extracted, and the mathematical modeling process was analyzed in the second analysis frame. In addition, three coders, including researchers, coded one textbook to determine the final code and secure the reliability between researchers, and based on this, the researcher coded the remaining 9 types of textbooks and summarized the results. The results of the study are as follows. Regarding Research question 1, first, ‘relevant and essential context(RE)’ tasks were found to have a much smaller proportion than those of the ‘camouflage context(CF)’ tasks in all textbooks, all grades, and all areas of mathematics. Second, there was a large gap in the ratio of RE-type tasks between textbooks, grades, and areas of mathematics. A textbook with the highest RE type ratio was 22.4%, but the lowest textbook was only 8.6%, and by grade, the ratio of RE type tasks was the highest at 18.8% in the first grade. By areas of mathematics, the RE type ratio in the geometric area was the highest at 25.9%, and the probability and statistical areas were the lowest at 9.7%, showing a large gap between grades and areas of mathematics. Regarding Research question 2, First, of the total six stages of mathematical modeling, there were no more than five mathematical modeling stages in all textbooks, grades, and areas of mathematics. Also, there were specific tasks such as in the two stages of ‘working with mathematics(WM), interpreting(IT)’ and in the three stages of ‘mathematizing(MM), working with mathematics(WM), interpreting(IT)’ where the highest rates, concentrating on the specific modeling stages. Second, there was no difference in the distribution of the mathematical modeling process by types of the textbook, and there was a difference between grades and between areas of mathematics. The difference between grades was caused by different modeling stages that were given more weight, and the difference between areas of mathematics occurred because specific stages appeared a lot in specific areas, such as setting up the real model(RM) and validating(VL) stages appearing a lot in the probability and statistics area. The conclusions according to the research results are as follows. First, real-world context tasks in the current textbook, in which students can sufficiently experience meaningful contexts are very quantitatively insufficient. Galbraith(2007) argued that the modeling task of school mathematics should include “some genuine link” with real-world contexts. However, the real-world context tasks in textbooks with significant contexts were presented with a much smaller proportion compared to those that did not, so the opportunity to experience the mathematical modeling process was very limited. Second, in the RE type task, which has a meaningful context in the current textbook, students could not fully experience the mathematical modeling process but were given to experience only segmental and limited. Even though the context was meaningful, the task already presented a mathematical model that did not allow students to have the opportunity to find a mathematical model for the context, or all the information needed to solve the task was already presented preventing students from thinking about the need or importance of finding more contextual information. Moreover, most tasks could not experience the first and last stages of the mathematical modeling process. Third, current textbooks have a very large gap in the mathematical modeling process that can be experienced by types of textbooks, grades, and areas of mathematics. The ratio of RE-type tasks in a meaningful context, which is a premise for mathematical modeling, varies greatly by types of textbooks, grades, and areas of mathematics. And the mathematical modeling process that can be experienced varies greatly by grade and area of mathematics. In other words, depending on which textbook you learn through and which areas of grade you learn, there is a large difference in the mathematical modeling process that students can experience, which causes a difference in learning opportunities. Therefore, future textbook task development should not only increase the weight of tasks with relevant and essential context(RE) but also allow stages of mathematical modeling processes to be fully experienced in a significant context. To experience a mathematical modeling process through a meaningful contextual task, and to experience a richer and sufficient mathematical modeling process, it is necessary to constantly consider and review what parts of the task to improve to develop and provide a higher-quality contextual task. In addition, it is necessary to develop a real-world context task that allows students to experience a complete mathematical modeling process in more diverse areas by textbook and grade. This study is differentiated in that it focuses on the significance of a given real-world context and its close relationship with mathematical modeling. In addition, it is differentiated in that all 10 types of middle school mathematics textbooks of the 2015 revised curriculum were subject to research, and it is differentiated in that tasks of all grades and all areas of each textbook were subject to research. In the future, it is necessary to analyze the significance of real-world context tasks according to various school levels and analyze the mathematical modeling process in this context, and it is expected that Korean textbooks and textbooks from other countries will be able to obtain implications for future textbook development. Also, the results of this study will help provide basic data on the development of mathematical modeling-related textbook tasks in the future.;수학을 이해하는 것은 현대 사회에 참여하고 공헌하기 위한 준비로서 학생들에게 매우 중요한 부분이 되며(OECD, 2018), Wijaya et al.(2015)는 많은 학자들이 일상생활의 다양한 맥락에서 수학을 적용하는 능력을 수학 교육의 핵심적인 목표로 두고 있다고(Boaler, 1993; De Lange, 2003; Graumann, 2011; Muller & Burkhardt, 2007; Niss et al., 2007) 주장하였다. 즉, 최근의 수학 교육에서 중요시되는 것은 학생들이 수학적 지식을 단순히 습득하는 것에 그치는 것이 아니라 새롭고 의미 있는 상황이나 맥락에서 수학을 활용하고 실제적인 과제를 수행할 수 있는 능력이다. 이를 반영하여 수학 내용의 성격을 변화시킬 필요성은 경제협력개발기구(OECD)가 주관하는 국제 학업성취도 평가(PISA)에서도 드러나는데(박경미 외, 2015), 구체적으로 PISA 2012에서 ‘수학적 모델링 과정(mathematical modeling process)’을 평가틀로 사용하는 것을 통해 알 수 있다. 그러나 OECD(2014)에 따르면 우리나라 학생들은 주어진 문제 상황을 수학적으로 나타내고 수학 안에서 해결하는 능력에 비해 수학적 결과를 실세계 맥락에 비추어 해석하는 능력이 상대적으로 부족한 것으로 나타났다(박경미 외, 2015). 이에 따라 우리나라에서는 수학적 모델링을 2015 개정 교육과정의 수학 교과 역량 중에서 문제해결 능력 역량의 하위요소로서 도입하였다. 그러나 단순히 실세계 맥락의 문제가 주어진다고 해서 항상 수학적 모델링 과정을 경험할 수 있는 것은 아니다. 이에 대한 문제의식을 가지고 본 연구에서는 2015 개정 중학교 수학 교과서의 실세계 맥락 과제를 대상으로 하여 그 맥락이 겉보기에만 실세계 맥락으로 주어진 ‘위장 맥락’인지 혹은 수학적 모델링이 일어날 수 있는 유의미한 ‘본질적인 맥락’인지를 구분하여 학생들이 수학적 모델링 과정을 유의미하게 경험할 수 있는 기회가 어느 정도로 제공되고 있는지 살펴보고자 하였다. 또한 수학적 모델링이 일어날 수 있는 본질적인 맥락 과제를 대상으로 수학적 모델링 과정 중 어떤 단계가 반영되어 있는지 살펴보고자 하였다. 이에 따라 본 연구는 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 연구 문제 1. 2015 개정 중학교 수학 교과서에서 ‘상황과 관련된 본질적인 맥락’ 과제는 교과서별, 학년별, 영역별로 어떻게 나타나고 있는가? 연구 문제 2. 2015 개정 중학교 수학 교과서에서 ‘상황과 관련된 본질적인 맥락’ 과제의 수학적 모델링 과정은 교과서별, 학년별, 영역별로 어떻게 나타나고 있는가? 연구의 목적을 달성하기 위해 2015 개정 중학교 수학 교과서 10종의 모든 실세계 맥락 과제를 연구 대상으로 하였으며 분석한 과제의 총 개수는 3550개이다. 과제 분석의 기준이 되는 두 가지의 분석틀을 구성하였는데 그 중 맥락 유형을 구분하기 위한 첫 번째 분석틀은 실세계 맥락 과제에 주어진 맥락의 유형을 분류한 De Lange(1995, 1999)의 분류와 이를 바탕으로 맥락의 사용에 대한 3가지 범위를 재정의한 Almuna Salgado(2016)의 분류를 이용하여 구성하였다. 수학적 모델링 과정을 분석하기 위한 두 번째 분석틀은 Blum & Leiß(2007)의 수학적 모델링 과정과 이를 이용한 정혜윤 외(2020a)의 선행연구를 참고하여 구성하였다. 첫 번째 분석틀에 의해 ‘상황과 관련된 본질적인 맥락(relevant and essential context, 이하 RE)’을 먼저 분류추출하고 이에 대해 두 번째 분석틀로 수학적 모델링 과정을 분석하였다. 연구의 신뢰성 확보를 위해 교과서 1종에 대해 연구자 외의 두 명의 코더가 독립 코딩하여 연구자 간 신뢰도를 파악한 후 최종 코드를 결정하였으며, 이를 바탕으로 나머지 9종의 교과서에 대해 연구자가 코딩하고 그 결과를 정리하였다. 연구 결과는 다음과 같다. 연구 문제 1과 관련하여 첫째, 모든 교과서, 학년, 영역에서 공통적으로 ‘상황과 관련된 본질적인 맥락(RE)’ 유형의 과제는 ‘위장 맥락(camouflage context, 이하 CF)’ 유형의 과제보다 훨씬 적은 비중으로 나타나고 있었다. 둘째, 교과서 간, 학년 간, 영역 간의 RE유형 과제 비율의 격차가 큰 것으로 나타났다. 교과서별로 RE유형 비율이 가장 높은 교과서는 22.4%로 나타났지만 가장 낮은 교과서는 8.6%에 그쳤으며, 학년별로는 1학년에서 18.8%로 RE유형 과제의 비율이 가장 높게 나타났다. 영역별로는 기하 영역의 RE유형 비율이 25.9%로 가장 높게 나타났고, 확률과 통계 영역은 9.7%로 가장 낮게 나타나는 등 학년 간, 영역 간 격차가 크게 나타나고 있었다. 연구 문제 2의 결과로는 첫째, 모든 교과서, 학년, 영역에서 공통적으로 총 6단계의 수학적 모델링 과정 중에서 5단계 이상의 수학적 모델링 과정이 나타나지 않았으며, 수학적 모델링 과정 중에서 두 개의 단계를 포함한 수학적인 작업하기(working within mathematics, 이하 WM), 해석하기(interpreting, 이하 IT) 단계의 과제와 세 개의 단계를 포함한 수학화(mathematizing, 이하 MM), 수학적인 작업하기(working within mathematics, 이하 WM), 해석하기(interpreting, 이하 IT) 단계의 과제가 가장 높은 비율로 나타나는 등 특정 모델링 단계에 편중되어 있었다. 둘째, 교과서별로 나타나는 수학적 모델링 과정의 분포에는 차이가 없는 것으로 나타났으며 학년별, 영역별로는 차이가 있는 것으로 나타났다. 학년 간 차이는 비중을 두는 모델링 단계가 서로 다른 것에서 비롯되었으며 영역 간 차이는 현실 모델 수립(setting up the real model, 이하 RM) 단계와 검증하기(validating, 이하 VL) 단계가 통계 영역에 집중되어 나타나는 등 특정 모델링 단계가 특정 영역에 치우쳐 나타나는 것에서 발생하였다. 연구 결과에 따른 결론은 다음과 같다. 첫째, 학생들이 유의미한 맥락을 충분히 경험할 수 있는 교과서의 과제가 양적으로 매우 부족하였다. Galbraith(2007)은 학교 수학의 모델링 과제는 실세계 맥락과의 “진정한 결합(some genuine link)”을 포함해야 한다고 주장하였다. 그러나 유의미한 맥락을 갖는 교과서의 실세계 맥락 과제는 그렇지 않은 맥락에 비해 훨씬 적은 비중으로 나타나고 있어 수학적 모델링 과정을 경험할 수 있는 기회는 매우 제한적이었다. 둘째, 현재 교과서의 유의미한 맥락을 갖는 RE유형 과제는 수학적 모델링 과정을 온전히 경험할 수 없으며 분절적이고 제한적으로만 경험하도록 주어져 있었다. 맥락이 유의미하게 주어짐에도 과제에 수학적 모델이 이미 제시되어 있어 학생들이 직접 맥락에 맞는 수학적 모델을 찾을 기회를 주지 않거나 과제를 해결하는 데 필요한 정보가 이미 모두 제시되어 있어 학생들이 맥락에 부합하는 정보를 더 찾을 필요성이나 중요성을 느끼지 못하도록 하고 있었다. 또한 대부분의 과제가 수학적 모델링 과정이 처음 시작되는 단계와 마지막 단계를 경험할 수 없었다. 셋째, 현재 교과서는 교과서별, 학년별, 영역별로 경험할 수 있는 수학적 모델링 과정의 격차가 매우 컸다. 수학적 모델링이 일어날 수 있는 전제가 되는 유의미한 맥락의 RE유형 과제의 비율은 교과서별, 학년별, 영역별로 모두 편차가 크게 나타났으며 RE유형 과제에서 경험할 수 있는 수학적 모델링 과정도 학년별, 영역별로 차이가 컸다. 즉, 어떤 교과서를 통해 학습하느냐에 따라 그리고 어떤 학년의 어떤 영역을 학습하느냐에 따라 학생들이 경험할 수 있는 수학적 모델링 과정의 차이가 크며 이는 학습 기회의 차이를 발생시키게 된다. 따라서 앞으로 교과서 과제 개발에서는 상황과 관련된 유의미한 본질적인 맥락(RE)을 갖는 과제의 비중을 더 높일 뿐만 아니라 유의미한 맥락 속에서 일련의 수학적 모델링 과정을 온전히 경험할 수 있도록 해야 한다. 유의미한 맥락의 과제를 통해 어떠한 수학적 모델링 과정을 경험할 수 있는지, 또 더 풍부하고 충분한 수학적 모델링 과정을 경험하기 위해서는 과제의 어떤 부분을 개선해야 할지를 끊임없이 고민하고 검토하여 보다 질 높은 교과서의 맥락 과제를 개발하고 제공하는 것이 필요하다. 또한 교과서별로 학년별로 보다 다양한 영역에서 온전한 수학적 모델링 과정을 경험할 수 있도록 하는 실세계 맥락 과제를 개발하는 것이 필요하다. 본 연구는 주어진 실세계 맥락의 유의미성과 수학적 모델링과의 긴밀한 관련성에 초점을 두고 접근하였다는 점에서 차별화된다. 또한 2015 개정 교육과정 중학교 수학 교과서 10종 전체를 연구 대상으로 하였다는 점에서 차별화되며 각 교과서의 모든 학년, 모든 영역의 실세계 맥락 과제를 연구 대상으로 하였다는 점에서 차별화된다. 앞으로 후속 연구에서는 중학교뿐만 아니라 다양한 학교급에 따른 실세계 맥락 과제의 유의미성을 파악하고 이러한 맥락 속에서 나타나는 수학적 모델링 과정에 대해 분석할 필요가 있으며, 수학적 모델링 관점에서 우리나라 교과서와 다른 나라 교과서의 비교 연구를 통해서도 향후 우리나라 교과서 과제 개발에 대한 시사점을 얻을 수 있을 것으로 보인다. 본 연구의 결과가 향후 수학적 모델링 관련 교과서 과제 개발에 대한 기초 자료를 제공하는 데 도움이 되기를 기대한다.