중학교 수학과 교과서와 사회과, 과학과 교과서의 함수 그래프 비교 분석

Abstract

Understanding and interpreting graphs is an essential competency in the information age where vast amounts of information are poured out with the advent of the 4th Industrial Revolution, and graph guidance is emphasized in mathematics education. Meanwhile, students encounter graphs in various subjects other than mathematics(Kim Sang-mi, 2013), and in the case of graphs, expression and interpretation are in the mathematics and in other subjects, graphs appear as tools and means of expressing results in the course of learning(Song Jeong-hwa, 2011). Song Jeong-hwa and Lee Jong-hee(2007) said that they should deal with the real context rich in mathematics, and that graphs are the most appropriate tools to deal with this integration. And they argued for links between mathematics and other studies. Accordingly, in this study, the following research questions were established with the aim of deriving implication for connecting the context other than mathematics with mathematics through the function graph by comparing and analyzing the contents related to the function graph presented in social studies, science with mathematics. Research Question 1. What are the characteristics of the context of presenting graph in the 'Coordinate Plane and Graph' unit in the 2015 revised middle school 1st grade mathematics textbook? Research Question 2. What are the morphological characteristics of function graph presented in the 2015 revised middle school social studies and science textbooks compared to mathematics? Research Question 3. What are the the characteristics of graph activities of function graph tasks presented in the 2015 revised middle school social studies and science textbooks compared to mathematics? Research Question 4. What are the characteristics of understanding level of graph tasks presented in the 2015 revised middle school social studies and science textbook compared to mathematics To obtain results of Research Problem 1, 242 graphs presented in the unit of ‘Coordinate Plane and Graph' of 5 middle school 1st grade mathematics textbooks according to the 2015 revision were divided into 'Graph' unit and 'Direct Proportion and Inverse Proportion' unit, and then analyzed about the contexts of presenting graph. To obtain results of Research Problem 2, 218 function graphs presented in 5 middle school social studies 1 and 2 textbooks and 392 function graphs presented in 4 textbooks of middle school science 1, 2, and 3 were selected for analysis and then these function graphs were analyzed compared to mathematics. To obtain results of Research Problem 3 and 4, the graph tasks presented with the question among the function graphs selected in research problems 1 and 2 were selected as the target of analysis. Therefore, 141 graph tasks presented in the social studies textbook and 436 graph tasks presented in the science textbook were analyzed compared to 261 graph tasks presented in the 'Coordinate Plane and Graph' unit of the middle school 1st grade mathematics textbooks. According to the mathematics textbook analysis of Research Problem 1, personal contexts accounted for the majority of the 'graph' unit, with 83.7%, and some graphs presented in other subject contexts such as social contexts(3.3%) and scientific contexts(9.8%). In the 'Direct Proportion and Inverse Proportion' unit, mathematical context accounted for more than half of 78.2%, and the majority of graph tasks were focused on interconversion activities between tables, graphs, and expression expressions rather than external connections to real life, society, and natural phenomena. According to the textbook analysis for Research Problem 2, the distribution of function graph types in mathematics textbooks was being presented in the order of direct proportional graphs(32.2%), graphs with different rules depending on the section(22.7%), and inverse proportional graphs(22.3%). And then simple line graphs accounted for the majority with 92.1% as detailed line graph types. The distribution of function graph types in social studies textbooks was being presented in the order of a line graphs(61.5%), curved line graphs(28.9%), and a straight line graphs(8.7%). The types of graphs in social studies textbooks were found to be greatly influenced by learning units, and there were many graphs such as overlapped graphs(27.8%) and YX graphs(36.2%) not covered in the mathematics curriculum. The distribution of function graphs in science textbooks was being presented in the order of graphs with different rules depending on the section(32.1%), line graphs(19.9%), graphs with cycles(17.1%), and direct proportional graphs(14.3%), and some graphs such as ovelapped graphs and YX graphs not covered in mathematics curriculum were presented. In addition, compared to mathematics textbooks, presenting mostly graphs in a standardized form, graphs in visual form such as maximizing three-dimensional effects in science textbooks were seen. According to the textbook analysis for Research Problem 3, the distribution of graph activities in mathematics textbooks was being presented in the order of graph interpretation(52.9%), graph construction(41.8%), and graph reasoning(5.4%), and the proportion of graph reasoning was very low. On the other hand, the distribution of graph activities in social studies textbooks was being presented in the order of graph reasoning(41.8%), graph interpretation(35.5%), and graph construction(22.7%), and in science textbooks presented in the order of graph interpretation(42.7%), graph reasoning(39.0%), and graph construction(18.3%). In addition, it was found that in all three subjects, there were few scale tasks. Next, as a result of cross-analysis to examine the graph activity by context of graph tasks presented in mathematics textbooks, the following results were obtained. Unlike the graph tasks presented in social studies and science textbooks that accounted for a lot of portion in ‘graph reasoning’ activities, the graph tasks presented in social and scientific contexts in mathematics textbooks accounted for a small portion of ‘graph reasoning’ activities. According to the textbook analysis for Research Problem 4, the distribution of understanding level of graph tasks in mathematics textbooks was being presented in the order of reading the inside of the graph(46.0%), reading the outside of the graph(44.8%), and reading above and beyond the graph(9.2%). On the other hand, the distribution of understanding level of graph tasks in social studies textbooks was being presented in the order of ‘reading above and beyond the graph’(53.9%), ‘reading the inside of the graph’(30.5%), ‘reading outside of the graph’(15.6%) and in science textbooks presented in the order of ‘reading above and beyond the graph’(42.0%), ‘reading inside of the graph’(32.8%), and ‘reading outside of the graph’(25.2%). As a result of cross-analysis to examine the understanding level of graph tasks by context of graph tasks presented in mathematics textbooks, the following results were obtained. Unlike the graph tasks presented in social studies and science textbooks that accounted for a lot of portion in ‘reading inside of the graph’ and ‘reading above and beyond the graph’, the graph tasks presented in social and scientific contexts in mathematics textbooks accounted for a small portion of ‘reading above and beyond the graph’. From the results of this study, the following implications were obtained. First, it is necessary to present graph tasks in various contexts to students. It would be desirable to present graphs in various contexts by reflecting the curriculum competencies such as ‘Creativity and Convergence ability’ and ‘Attitude and Practice ability’ emphasized by 2015 revised mathematics curriculum. Second, it is necessary to diversify the form of graphs by reflecting the graph context and the type of data when connecting mathematics to contexts other than mathematics through function graph in the ‘Graph’ unit. The morphological feature of graph may vary depending on the learning context, which suggests the need to flex the form of the graph in consideration of the context of graph. Third, it is necessary to guide with the diversity of graph activities of graph tasks presented in the context of other subjects in mind. When presenting graph tasks in various contexts in mathematics textbook areas such as competency reflection tasks, it would be desirable to experience rich graph activities. Fourth, it is necessary to guide with the diversity of understanding level of graph of graph tasks presented in the context of other subjects in mind. By presenting different understanding levels of graph tasks in various areas of the textbook, it would be desirable to provide experiences of inferring practical contexts such as the cause of prospect of the graph beyond simple numerical comparison or interpretation of the graph. Through this study, follow-up studies can be conducted that expand the scope of anlaysis for the graphs tasks after the introduction of function concept or that expand the scope of analysis for other subjects other than social studies and science. In addition, it is expected that follow-up studies related to teaching and learning methods reflecting the characteristics of graph learning in mathematics in a changing educational environment in which the application of digital devices is expanding will be possible.;4차 산업혁명의 도래로 방대한 양의 정보가 쏟아지는 정보화 시대에서 그래프를 이해하고 해석하는 것은 필수적인 역량이며, 수학교육에서는 이러한 그래프 능력을 함양하기 위한 그래프 지도가 강조되고 있다. 한편, 학생들은 학교에서 수학과목 이외의 여러 다른 교과에서 여러 가지 그래프를 접하게 된다(김상미, 2013). 그래프의 경우 그 표현과 해석은 수학과에서 이루어지며, 타 교과에서는 학습을 하는 과정에서 자료를 제시하는 도구이자 결과를 표현하는 수단이며 해석해야 하는 대상으로 그래프가 등장한다(송정화, 2011). 송정화와 이종희(2007)는 수학이 풍부한 실제 맥락을 다루어야 하며, 그래프는 이런 통합적인 내용을 다루는데 가장 적절한 도구라 밝히고 수학과와 타 학문의 연계를 주장한 바 있다. 이에 따라 본 연구에서는 사회과, 과학과 교과서의 함수 그래프 관련 내용을 수학과와 비교·분석하여 함수 그래프를 매개로 수학 이외의 맥락과 수학을 연결하기 위한 시사점을 도출하고자 하는 목적을 두어 다음의 연구 문제를 설정하였다. 연구 문제 1. 2015 개정 중학교 1학년 수학과 교과서에서 ‘좌표평면과 그래프’ 단원의 그래프 제시 맥락의 특징은 어떠한가 연구 문제 2. 2015 개정 중학교 사회과, 과학과 교과서에 제시된 함수 그래프는 수학과와 비교했을 때 형태적 특징은 어떠한가 연구 문제 3. 2015 개정 중학교 사회과, 과학과 교과서에 제시된 함수 그래프 과제는 수학과와 비교했을 때 그래프 활동의 특징은 어떠한가 연구 문제 4. 2015 개정 중학교 사회과, 과학과 교과서에 제시된 함수 그래프 과제는 수학과와 비교했을 때 그래프 이해 수준의 특징은 어떠한가 연구 문제 1의 결과를 얻기 위하여 2015 개정에 따른 5종의 중학교 1학년 수학과 교과서 ‘좌표평면과 그래프’ 단원에 제시된 그래프 242개를 ‘그래프’ 단원과 ‘정비례와 반비례’ 단원으로 구분하여 그래프 제시 맥락에 대하여 분석을 진행하였다. 연구 문제 2에 대한 결과를 얻기 위하여 2015 개정 중학교 사회1, 사회2 교과서 각 5종에 제시된 함수 그래프 218개와 중학교 과학1, 과학2, 과학3 교과서 각 4종에 제시된 함수 그래프 392개를 분석대상으로 선정하였고, 중학교 1학년 수학과 교과서 ‘좌표평면과 그래프’ 단원에 제시된 그래프 242개와 비교·분석하였다. 연구 문제 3, 4에 대한 결과를 얻기 위하여 연구 문제 1, 2에서 선정한 함수 그래프 중 발문과 함께 제시되는 그래프 과제를 분석 대상으로 선정하였다. 이에 사회과 교과서에 제시된 141개의 그래프 과제와 과학과 교과서에 제시된 436개의 그래프 과제를 중학교 1학년 수학과 교과서의 ‘좌표평면과 그래프’ 단원에 제시된 261개의 그래프 과제와 비교·분석하였다. 연구 문제 1에 대한 수학과 교과서 분석 결과, ‘그래프’ 단원에서는 개인적 맥락이 83.7%로 대부분을 차지하고 있었으며 사회적 맥락(3.3%)과 과학적 맥락(9.8%)과 같은 타 교과 맥락으로 제시된 그래프는 적은 비중을 차지하고 있었다. ‘정비례와 반비례’ 단원에서는 수학적 맥락이 78.2%로 절반 이상의 비중을 차지하고 있었으며 실생활과 사회 및 자연 현상과 연계한 수학 외적 연결성보다는 표, 그래프, 식 표현들 사이의 상호 변환 활동 중심의 수학 내적 연결성에 치우친 그래프 과제가 대다수를 차지하고 있었다. 연구 문제 2에 대한 교과서 분석 결과, 수학과 교과서에 등장하는 함수 그래프의 유형별 빈도는 정비례 관계 그래프(32.2%), 구간에 따라 규칙이 다른 그래프(22.7%), 반비례 관계 그래프(22.3%)의 순서로 나타났으며, 세부 유형으로 단순 선 그래프가 92.1%로 대부분의 비중을 차지하고 있었다. 사회과 교과서에 등장하는 함수 그래프의 유형별 빈도는 꺾은선그래프(61.5%), 곡선 그래프(28.9%), 직선 그래프(8.7%)의 순으로 나타났다. 사회과 교과서에 등장하는 그래프의 유형은 학습 단원의 영향을 많이 받는 것으로 나타났으며 수학과 교육과정에서는 다루지 않는 중복 그래프(27.8%), YX 그래프(36.2%) 등의 그래프들도 다수 존재하였다. 과학과 교과서에 등장하는 함수 그래프의 유형별 빈도는 구간에 따라 규칙이 다른 그래프(32.1%), 꺾은선그래프(19.9%), 주기를 갖는 그래프(17.1%), 정비례 관계 그래프(14.3%)의 순서대로 나타났으며, 수학과 교육과정에서 다루지 않는 중복 그래프, YX 그래프 등의 그래프도 일부 존재함을 볼 수 있었다. 또한, 정형화된 형태로 제시되는 그래프가 대부분인 수학과 교과서와 비교하여 과학과 교과서에는 입체적인 효과를 극대화하는 등의 시각적 형태의 변이가 이루어진 그래프들을 볼 수 있었다. 연구 문제 3에 대한 교과서 분석 결과, 수학과 교과서에 등장하는 그래프 활동의 빈도는 그래프 해석(52.9%), 그래프 구성(41.8%), 그래프 추론(5.4%)의 순서대로 나타났으며, 그래프 추론의 비중이 매우 낮은 것으로 나타났다. 반면, 사회과 교과서에 등장하는 그래프 활동의 빈도는 그래프 추론(41.8%), 그래프 해석(35.5%), 그래프 구성(22.7%)의 순서대로 나타으며, 과학과 교과서에 등장하는 그래프 활동의 빈도는 그래프 해석(42.7%), 그래프 추론(39.0%), 그래프 구성(18.3%)의 순서대로 나타났다. 또한, 세 교과목 모두 그래프 활동의 축척 과제는 거의 등장하지 않음을 알 수 있었다. 다음으로 수학과 교과서에 제시되는 그래프 과제의 맥락별로 그래프 활동이 어떠한지 살펴보기 위해 교차분석을 실시한 결과, 사회과와 과학과 교과서에 제시되는 그래프 과제가 그래프 해석과 추론 활동에서 많은 비중을 차지했던 것과 다르게 수학과 교과서에서 사회적 맥락과 과학적 맥락으로 제시되는 그래프 과제는 그래프 추론에서 현저하게 낮은 비중을 보이고 있었다. 연구문제 4에 대한 교과서 분석 결과, 수학과 교과서에 등장하는 그래프 이해 수준의 빈도는 그래프의 안쪽 읽기(46.0%), 그래프 밖 읽기 (44.8%), 그래프를 초월하여 읽기(9.2%)의 순서대로 나타났다. 반면, 사회과 교과서에 등장하는 그래프 이해 수준의 빈도는 그래프를 초월하여 읽기(53.9%), 그래프의 안쪽 읽기(30.5%), 그래프 밖 읽기(15.6%)의 순서대로 나타났으며 과학과 교과서에 등장하는 그래프 이해 수준의 빈도는 그래프를 초월하여 읽기(42.0%), 그래프의 안쪽 읽기(32.8%), 그래프 밖 읽기(25.2%)의 순서대로 나타났다. 다음으로 수학과 교과서에 제시되는 그래프 과제의 맥락별로 그래프 이해 수준이 어떠한지 살펴보기 위해 교차분석을 실시한 결과, 사회과와 과학과 교과서에 제시되는 그래프 과제가 그래프의 안쪽 읽기와 그래프를 초월하여 읽기 수준에서 많은 비중을 차지했던 것과 다르게 수학과 교과서에서 사회적 맥락과 과학적 맥락으로 제시되는 그래프 과제는 그래프를 초월하여 읽기 수준이 현저하게 낮은 비중을 보였다. 본 연구의 결과를 바탕으로 다음과 같은 시사점을 얻을 수 있었다. 첫째, 학생들에게 다양한 맥락의 그래프를 제시할 필요가 있다. 2015 개정 수학과 교육과정이 강조하고 있는 ‘창의·융합 능력’ 및 ‘태도 및 실천 능력’ 등의 교과역량을 반영하여 다양한 맥락의 그래프를 제시하는 것이 바람직할 것이다. 둘째, ‘그래프’ 단원에서 함수 그래프를 매개로 수학 이외의 맥락과 수학을 연결할 때 그래프 맥락 및 데이터의 유형을 반영하여 그래프의 형태를 다양화할 필요가 있다. 그래프의 형태는 학습 내용에 따라 달라질 수 있으며, 이는 그래프 맥락을 고려하여 그래프의 형태를 유연화할 필요성을 시사한다. 셋째, 수학과에서는 타 교과 맥락으로 제시되는 그래프 과제의 그래프 활동에 대한 다양성을 염두에 두고 지도할 필요가 있다. 역량 반영 과제와 같은 수학과 교과서 영역에서 다양한 맥락의 그래프 과제를 제시할 때, 풍부한 그래프 활동을 경험하도록 하는 것이 바람직할 것이다. 넷째, 수학과에서는 타 교과 맥락으로 제시되는 그래프 과제의 그래프 이해 수준의 다양성을 염두에 두고 지도할 필요가 있다. 교과서의 다양한 영역에 각각 다른 수준의 그래프 과제를 제시함으로써 그래프의 단순한 수치적 비교나 해석을 넘어 그래프가 나타내는 현상의 원인이나 전망과 같은 실제적 맥락을 추론하는 경험을 제공하는 것이 바람직할 것이다. 본 연구를 통하여 함수 도입 이후 수학과의 함수 영역의 그래프 과제를 분석 대상으로 하거나 사회과, 과학과 이외의 타 교과에 대하여 분석의 범위를 넓힌 후속 연구가 진행될 수 있다. 또한, 디지털 기기의 적용이 확장되고 있는 변화하는 교육환경에서 수학과의 그래프 학습의 특징을 반영한 교수·학습 방안과 관련된 후속 연구가 가능할 것으로 기대된다.