2015 개정 중학교 수학 추론 역량 과제에 대한 교과서 및 교사의 인식 분석

Abstract

세계의 수학과 교육과정 및 교수 학습에 영향을 미치는 NCTM(2000)은 수학은 21세기를 살아가는 학생들에게 필수적임을 강조하며, 교사는 모든 내용 영역에서 수학적 추론을 사용하고 모든 학년에서 추론의 정교성에 대한 다른 기대를 가지면서 학생들이 수학의 의미를 점차 깨달을 수 있도록 해야 한다고 말한다. Stein et al.(2007)은 문서화된 교육과정의 일부에 속하는 교과서는 수학 교수학습에 큰 영향력을 미치는 핵심 교육과정 자료라고 말한다. 조진우(2020)는 수학 교과서는 학생들의 학습에 관여하지만 학습을 보장하지는 못한다고 말하며, 수학 교과서가 제공하는 모든 활동은 학습에 대한 잠재성을 갖고 있는 것으로 이를 수학교과서의 학습기회라고 표현하였다. 교사는 교과서를 바탕으로 일련의 아이디어와 계획을 세워 이를 의도된 교육과정으로 삼고, 교과서의 수학 과제를 교실 내에 실현되는 실행된 교육과정으로 발전시킨다고 하였다. 이를 바탕으로 본 논문에서는 2015 개정 수학 교육과정이 전 학년에서 실행되고 있는 시점에서 중학교 수학 교과서에서 제시하는 추론 과제를 추론의 하위요소와 인지적 노력 수준 관점에서 분석하고 교사는 이에 대해 어떻게 인식하고 있는지 알아보고자 한다. 이를 위해 설정한 연구문제는 다음과 같다. 1. 2015 개정 교육과정 중학교 수학 교과서에서 추론 과제는 어떻게 반영되고 있는가 1-1. 추론의 하위요소는 수학 내용 영역과 학년에 따라 어떻게 반영되고 있는가 1-2. 인지적 노력 수준은 수학 내용 영역과 학년에 따라 어떻게 반영되고 있는가 1-3. 추론의 하위요소에 따라 인지적 노력 수준은 어떻게 반영되고 있는가 2. 2015 개정 교육과정 중학교 수학 교과서에서 제시하고 있는 추론 과제에 대한 교사의 인식은 어떠한가 2-1. 인지적 노력 수준에 따른 추론 과제에 대한 인식은 어떠한가 2-2. 수학 내용 영역에 따른 추론 과제에 대한 인식은 어떠한가 연구 문제1을 알아보기 위해 개정 교과서 6종을 선별하여 수학 내용 영역(수와 연산, 문자와 식, 함수, 기하, 확률과 통계)과 학년(중학교 1, 2, 3학년)에 따라 반영 현황을 분석하였다. 지시적 내용 분석 절차에 따라 선행 연구를 통해 2015 개정 추론 역량의 하위요소(박경미 외, 2015)와 인지적 노력 수준에 따른 수학 과제 유형(Stein et al., 1998)을 도출하고 이 분석틀을 구체적으로 확장하였다. 수정된 2개의 분석틀로 개정 중학교 수학 교과서의 추론 과제를 내용 영역과 학년에 따라 분석하였다. 연구 문제2를 알아보기 위해 연구 목적에 적합한 대상자를 목적 표집 방식으로 중학교 현직 교사 6명을 선정하였고, 교사들의 생생한 경험을 깊이 있게 탐구하고 내재된 의미를 이해하는 것이 적합하다고 하여 반구조화된 면담을 실시하였다. 이때 면담 도구인 설문지를 미리 배부하여 대상자가 충분히 고민할 수 있도록 시간을 갖고 면담에 참여하였다. 개인별 면담을 진행한 후 대상자가 작성한 설문지, 면담 과정 중 답변을 요약하여 작성한 기록과 전사본을 바탕으로 자료를 분석하였다. 연구 문제1에 대한 결과는 다음과 같다. 2015 개정 중학교 6종(18권)의 수학 교과서에서 전체 추론을 명기한 과제는 334개로, 내용 영역별 과제 분포는 공통적으로 기하 영역에서 가장 많은 추론 과제를 제시하며 확률과 통계 영역에서 가장 적은 과제를 제시하고 있다. 전체 추론 과제에서 추론 역량의 하위요소별 분포는 수학적 사실 분석, 정당화, 논리적 절차 수행, 관찰과 추측, 추론 과정의 반성 순이나 내용 영역과 학년별로 차이를 보였다. 내용 영역에 따라 수와 연산 영역과 문자와 식 영역에서 논리적 절차 수행이, 함수 영역과 확률과 통계 영역은 수학적 사실 분석, 기하 영역은 정당화가 가장 많이 반영되고 있으며 전체 영역에서 추론 과정의 반성은 매우 부족하였다. 각 학년에 따라 가장 많이 반영되는 추론의 하위요소는 1학년은 수학적 사실 분석, 2학년은 정당화, 3학년은 논리적 절차 수행이었다. 전체 추론 과제에서 인지적 노력 수준 분포는 Low-P, High-P, High-D, Low-M 순으로 높은 수준의 과제(59.9%)가 낮은 수준의 과제(40.1%)보다 많이 제시되고 있었다. 내용 영역에 따른 결과로 수와 연산 영역과 함수 영역은 High-P 수준을, 문자와 식 영역은 Low-P, 확률과 통계 영역은 High-D 수준을 많이 반영하고 있으며 기하 영역은 Low-P와 High-P의 비율이 같았다. 이때 문자와 식 영역은 유일하게 낮은 수준의 과제를 더 많이 제시하고 있으며 다른 4개의 영역은 모두 높은 수준의 과제를 더 많이 제시하고 있다. 학년별로 분석한 결과 수준 Low-M과 High-D 과제의 비율은 학년이 올라갈수록 점차 줄어들고 수준 Low-P 과제는 점차 늘어났다. High-P 과제의 비율은 2학년에서 가장 높았으며, 높은 수준의 과제는 2학년, 1학년, 3학년 순으로 많이 반영되고 있었다. 이외 교과서별로 학년에 따른 수준의 차이가 달라 유의미한 공통점을 찾기 어려웠다. 마지막으로 추론의 하위요소에 따른 인지적 노력 수준은 관찰과 추측 과제는 High-D, 논리적 절차 수행 과제는 Low-P, 수학적 사실 분석 과제는 High-P, 정당화 과제는 High-D가 많이 반영되고 있다. 이때 논리적 절차 수행 요소는 유일하게 낮은 수준의 과제를 더 많이 제시하고 있었다. 연구 문제2에 대한 결과는 다음과 같다. 6명의 현직 교사들이 생각하는 추론의 의미와 추론의 하위요소를 연결 지어 교사들을 정당화형, 분석형, 논리형으로 유형을 분류하였으며, 이는 추론 과제에 대한 인식에 영향을 주었다. 먼저 내용 영역과 관련된 추론의 하위요소에 대한 공통된 의견으로 문자와 식 영역을 통해 논리적 절차 수행을, 함수 영역을 통해 수학적 사실 분석을, 기하 영역은 정당화를, 확률과 통계 영역은 수학적 사실 분석을 함양하기 적합하다고 생각하고 있다. 또한 기하 영역은 여러 추론의 하위요소와 밀접하게 생각하는 반면, 수와 연산 영역에 관련된 추론의 하위요소를 가장 적게 인식하고 있다. 인지적 노력 수준에 따른 추론 과제에 대한 인식에서, 정당화형 교사는 낮은 수준의 논리적 절차 수행 과제는 추론 함양에 적합하지 않다고 생각하는 반면, 분석형과 논리형 교사는 낮은 수준 역시 추론에 적합하다고 생각하였다. 수학적 사실 분석 과제에 대해서는 6명의 교사 모두 낮은 수준 과제는 추론에 적합하지 않다고 생각하였으며, 정당화 과제에 대해서는 수준과 상관없이 모든 과제가 추론에 적합하다는 인식을 가지고 있었다. 내용 영역에 따른 추론 과제에 대한 인식에서 수와 연산 영역은 정당화형과 분석형 교사는 관찰과 추측이, 논리형 교사는 논리적 절차 수행이 가장 적합하다고 생각하였다. 문자와 식 영역은 모든 교사가 관찰과 추측, 정당화를, 함수 영역에서 정당화형 교사는 관찰과 추측, 분석형 교사는 수학적 사실 분석, 논리형 교사는 논리적 절차 수행이 적합하다고 생각하였다. 6명의 교사는 공통된 의견으로 기하 영역에서 관찰과 추측, 정당화 과제를, 확률과 통계 영역에서 정당화 과제를 추론 함양에 적합하다고 생각하고 있었다. 위 연구 결과를 바탕으로 내린 본 연구의 결론은 다음과 같다. 교과서 분석에 대한 결론으로 교과서에 따라 추론 과제를 제시하는 학습 기회, 추론의 하위요소, 인지적 노력 수준은 차이를 보였으며 교과서에서 제시하는 추론 과제는 5가지 수학 내용 영역과 3개의 학년에 따라 강조하는 추론의 하위요소와 요구하는 인지적 노력 수준이 다르다는 것을 확인할 수 있었다. 추론의 하위요소에 따른 인지적 노력 수준을 분류한 결과 각 하위요소에서 요구하는 인지적 요구 수준이 다르며 하위요소 중 논리적 절차 수행은 유일하게 낮은 수준이 더 많이 제시되고 있었다. 모든 하위요소에서 가장 적게 반영되는 수준은 Low-M으로 학생들이 암기로 추론 과제를 해결하는 것은 요구되지 않는다는 것을 알 수 있다. 교사 인식에 대한 결론으로 면담을 통해 6명의 교사 개인이 이해하는 추론의 의미에 따라 유형을 나눌 수 있으며, 이를 바탕으로 교과서의 추론 과제에 대한 인식의 차이를 확인할 수 있었다. 본 연구가 시사하는 바는 다음과 같다. 교과서를 집필할 때 체계적인 기준과 구체화된 정보를 제공하여 학생들의 학습 기회에 차별이 생기지 않도록 해야 하며 2015 개정 수학과 교육과정에서 다른 역량과 구분하여 추론의 의미가 무엇인지, 추론의 하위요소 및 기능 체계를 보완할 필요가 있다. 교과서 분석을 통해 중학교 교과서는 내용 영역과 학년별로 강조하는 추론의 하위요소와 인지적 노력 수준이 다르다는 것을 확인하였고, 교사가 교과서를 활용하여 추론 역량을 신장시킬 때 고려해야 할 부분을 제시하고 있으며, 교과서의 여러 사례들을 제시함으로써 각 하위요소에 대한 추론 과제를 보충하여 재구성할 수 있는 방안을 제시하였다. 교사 분석을 통해 수학 학습을 통해 추론 역량을 신장시키기 위해 현직 교사들의 담론의 장이 필요하다는 것을 확인할 수 있었다. 이를 통해 추론에 대한 이론적인 연구뿐만 아니라 학교 현장에서 추론 역량 신장을 위한 구체적인 방안들을 마련할 수 있을 것이다. 마지막으로 본 연구는 2015 개정 중학교 수학 교과서에서 제시하는 추론 과제가 학생들의 추론 역량을 신장시키는 데에 어떤 잠재성을 갖는다고 보고 교과서와 교사의 인식을 분석하였다. 이는 실제 수학 수업과 학생들의 학습을 설명하는 데 한계가 있으므로 후속 연구를 통해 수학 교과서의 학습 기회가 실제 학생들의 학습에 어떤 영향을 미치고 학생들의 인식은 어떠한지에 대한 연구를 제안한다. ;The NCTM(2000), which influences the world’s mathematics curriculum and teaching learning, emphasizes that mathematics is essential for students living in the 21st century, and teachers should use mathematical reasoning in all mathematical content areas and have different expectations of reasoning sophistication at all grades. Looking at the competencies pursued in the curriculum abroad and in Korea, there are slight differences between countries, but each country emphasizes competency to reason through mathematics. Stein et al.(2007) stated that textbooks that belong to a part of the Written curriculum are core materials that have a significant impact on mathematics teaching and learning, and teachers develop them into Enacted curriculums that are implemented within the classroom with series of ideas and plans. They conducted a study focusing on the mathematical tasks on the curriculum materials enacted by teachers. Based on this, in this paper, we want to analyze reasoning tasks presented in middle school mathematics textbooks in terms of sub-elements of reasoning and cognitive effort levels at a time when the 2015 revised mathematics curriculum is being implemented in all grades. The research problems established for this purpose are as follows. 1. How the reasoning tasks are reflected in the 2015 revised curriculum middle school mathematics textbook. 1-1. How the sub-elements of reasoning are reflected by mathematical content area and grade. 1-2. How is the level of cognitive effort reflected by mathematical content area and grade. 1-3. How is the level of cognitive effort reflected by the sub-elements of reasoning. 2. What is the teacher's perception of the reasoning task presented in the 2015 revised middle school mathematics textbook? 2-1. What is the perception of reasoning tasks based on cognitive effort levels? 2-2. What is the perception of reasoning tasks according to the mathematical content area? In Study Problem 1, 6 revised textbooks were selected to analyze the reflection status according to mathematical content areas(Number & Operations, Variables & Expressions, Functions, Geometry, Probability & Statistics) and grades(first, second and third grader in middle school). through prior studies according to the Directed Content Analysis procedure, Sub-factors of 2015 revision reasoning competence(Park Kyung-mi et al., 2015) and Mathematics task types according to cognitive effort levels(Stein et al., 1998) was derived and this framework was specifically extended. With these two modified analysis frames, the reasoning task of the revised middle school mathematics textbook was analyzed according to the content area and grade. In Study Problem 2, six incumbent middle school teachers were selected for the purpose of the study, and semi-structured interviews were conducted because tit was appropriate to explore the vivid experiences of teachers in depth and understand the inherent meaning. At this time, questionnaires, which are interview tools, were distributed in advance so that the subjects could fully think about themselves and participated in the interview. After conducting individual interviews, the data were analyzed based on questionnaires prepared by the subjects, records compiled by summarizing the answers during the interview process, and transcripts. in a purpose-based manner to find out what teachers think of the reasoning tasks presented in the 2015 revised middle school mathematics textbook. In light of the purpose of the research, semi-structured interviews were conducted because it was appropriate to explore teachers' vivid experiences in depth and understand the inherent meaning. The questionnaire, a tool for the interview, was distributed in advance to take time to participate in the interview so that the subjects could fully think about it. After conducting individual interviews, the data were analyzed based on questionnaires prepared by the subjects, records compiled by summarizing the answers during the interview process, and transcripts. The results for Study Problem 1 are as follows. There are 334 reasoning tasks in mathematics textbooks of 6 types of middle school(volume 18) revised in 2015, with the content area-specific task distribution presenting the most reasoning tasks in the Geometry and the least in the Probability & Statistics. In the overall inference task, the sub-element distribution of reasoning competence was in the order of mathematical fact analysis, justification, logical procedure performance, observation and conjecture, reflection order of reasoning process, but differed by conent area and grade. Depending on the content area, logical procedures were performed in the Number & Operation and in the Variables & Expressions, mathematical fact analysis were performed in the Functions and Probability & Statistics, observation and conjecture were performed the Geometry, and reflection order of reasoning process in the entire domain was very insufficient. The most commonly reflected sub-facts of reasoning for each grade were mathematical fact analysis for the first grade, justification for the second grade, and logical procedures for the third grade. In the overall reasoning task, the cognitive effort level distribution was being presented in the order of Low-P, High-P, High-D and Low-M, with Higher-level tasks(59.9%) than Lower-level tasks(40.1%). As a result of the content area, the Number & Operations and Functions area reflect High-P levels, the Variables & Expressions area reflect Low-P. the Probability & Statistics area reflect High-D levels, and the Geometry had the same ratio of Low-P and High-P. At this time, the Variables & Expressions are the only ones presenting more Lower-level tasks, while all four others present more Higher-level tasks. According to the analysis by grade, the ratio of level Low-M and High-D tasks gradually decreased as the grade went up, and the level Low-P tasks gradually increased. The percentage of High-P tasks was the highest in the second grade, and Higher-level tasks were reflected in the order of second, first, and third grader. It was difficult to find meaningful common ground due to the difference in levels according to grade. Finally, the level of cognitive effort according to the sub-elements of reasoning is heavily reflected in the observation and conjecture tasks are High-D, the logical procedure performance tasks are Low-P, the mathematical fact analysis tasks are High-P, and justification tasks are High-D. At this time, the logical procedure performance factor was the only one presenting more Lower-level tasks. The results for Study Problem 2 are as follows. By linking the meaning of reasoning with the sub-elements of reasoning thought by six incumbent teachers, the types were categorized as justifiable, analytical, and logical and these influence perceptions of reasoning tasks. First, they share a common opinion on sub-elements of reasoning related the content area that logical procedures are suitable to be performed through the Variables & Expressions area, mathematical fact analysis through the Function, justification in the Geometry, and mathematical fact analysis in Probability & Statistics. In addition, the Geometry is closely considered to be a multiple sub-factor of reasoning, while the sub-factor of reasoning related to the Number & Operation is recognized the least. In the perception of inference tasks based on cognitive effort levels, the justification teacher though that low-level logical procedure performance tasks were not suitable for reasoning, while the analytical and logical teachers also thought low-level was suitable for reasoning. For mathematical fact analysis tasks, all six teachers though that low-level tasks were not suit able for inference, and for justification tasks, regardless of their level, were appropriate for reasoning. Perception of reasoning tasks based on content area is as follows. In the Number & Operation, justification and analytical teachers found observation and conjecture best, while logical teachers found logical procedure performance best. Every teacher found observing and conjecture, justification best in the Variables & Expressions. In the Function, the justification teacher considered it appropriate to the observation and conjecture, the analytical teacher to the mathematical fact analysis, and the logical teacher to logical procedures perform. Six teacher were of the common opinion, thinking that in the Geometry, the observation and conjecture & the justification tasks were suitable for reasoning and in the Probability and Statics, the justification task were suitable. Based on the results of the above study, the conclusions of this study are as follows. The conclusion of the textbook analysis showed differences in learning opportunities, sub-elements of reasoning, and cognitive effort levels that present reasoning tasks according to textbooks. Furthermore, the reasoning task presented in the textbook was found to differ between the five mathematical content areas and the sub-elements of reasoning emphasized by the three grades and the level of cognitive effort required. The classification of cognitive effort levels according to sub-elements of reasoning showed that the level of cognitive demand required by each sub-element was different, and logical procedure performance was the only sub-element being presented with more lower levels. The least reflected level in all sub-elements is Low-M, which shows that it is not required for students to solve inference tasks by rote. As a conclusion to teacher perception, the types can be divided according to the meaning of reasoning understood by six individuals of teachers, and based on this, differences in perceptions of reasoning tasks in textbooks could be confirmed. The implications of this study are as follows. When writing textbooks, it is necessary to provide systematic standards and concrete information to prevent discrimination in students’ learning opportunities, and to supplement the meaning of reasoning and the sub-elements and functional system by separating them from other competencies in the 2015 revised mathematics curriculum. Textbook analysis confirmed that middle school textbooks differ in sub-elements of reasoning and levels of cognitive effort by content areas and grade, suggesting areas to consider when teachers use textbooks to enhance their reasoning skills, and suggesting ways to supplement reasoning tasks for each sub-element. Through teacher analysis, it was confirmed that a forum for discourse by incumbent teachers was need to increase their reasoning skills through mathematics learning. This will enable us to come up with concrete measures to improve our reasoning capabilities in the school field as well as theoretical research on reasoning. Finally, this study analyzed the perceptions of textbooks and teachers, believing that the reasoning tasks presented in the 2015 revised middle school mathematics textbook have some potential for enhancing students’ reasoning skills. This has limitations in explaining actual mathematics classes and students’ learning, so I propose a study of how learning opportunities in mathematics textbooks affect real students’ learning and how students’ perceptions are.