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고등학교 학생들의 순열과 조합 단원 문제만들기 활동에서 나타난 특징 분석

Title
고등학교 학생들의 순열과 조합 단원 문제만들기 활동에서 나타난 특징 분석
Other Titles
Analysis of characteristics presented in problem posing activity based on Permutations and Combinations of high school students
Authors
조혜린
Issue Date
2018
Department/Major
대학원 수학교육학과
Publisher
이화여자대학교 대학원
Degree
Master
Advisors
노선숙
Abstract
우리나라의 수학과 교육과정은 1980년대 이후 문제 해결을 강조해오고 있다(이경미, 이광호, 이근철, 2012). 2018년부터 중학교 및 고등학교 1학년을 시작으로 적용되는 2015개정 수학과 교육과정은 학생들이 길러야하는 수학 교과 역량 중 하나로 문제 해결을 제시하였다(박경미 외, 2015). 2009개정 수학과 교육과정에서는 초등학생을 대상으로 문제 해결력 향상을 위해 문제만들기 활동을 교수·학습 상의 유의점으로서 제안하였고(교육과학기술부, 2011), 2015개정 수학과 교육과정은 수학 교과 역량인 문제 해결의 하위 요소로 문제만들기를 제시하여 초등학생뿐만 아니라 중·고등학교 학생들에게도 문제만들기 활동을 제안하고 있다(박경미 외, 2015). 교육과정에서 제시하는 등 문제만들기의 중요성이 커짐에 따라 본 연구는 연구가 많이 진행되지 않은 고등학생을 대상으로 문제만들기 활동을 진행해보고자 하였다. 본 연구의 결과는 고등학교의 교사들에게 문제만들기 활동을 이용한 수업을 진행하는 데에 도움이 될 것이라 생각된다. 이에 다음과 같은 연구 문제를 설정하여 연구를 진행하였다. 1. 고등학교 2학년 순열과 조합 단원 학습의 주제제시형 문제만들기 활동에서 나타난 특징(완성도, 내용, 수준)은 어떠한가? 2. 고등학교 2학년 순열과 조합 단원 학습의 상황제시형 문제만들기 활동에서 나타난 특징(완성도, 내용, 수준, 변형패턴)은 어떠한가? 3. 고등학교 2학년 순열과 조합 단원 학습의 문항제시형 문제만들기 활동에서 나타난 특징(완성도, 내용, 수준, 변형패턴)은 어떠한가? 이러한 연구 문제에 대한 답을 얻기 위해 서울 소재 A여자고등학교 2학년 자연계열 학생 95명을 대상으로 <확률과 통계> 과목의 「순열과 조합」단원에 대한 문제만들기 활동을 2회에 걸쳐 진행하였다. 이에 1차 및 2차 검사지를 제작하였으며, 각 검사지에는 주제제시형, 상황제시형, 문항제시형 문제만들기 문항이 1문항씩 총 3문항 제시되었다. 본 연구는 문제만들기 활동의 유형을 3가지로 구분하였는데 주제제시형 문제만들기는 제시된 주제와 관련된 문제를 구성하는 활동이고, 상황제시형 문제만들기는 주어진 수학적 상황을 바탕으로 문제를 구성하는 활동이며, 문항제시형 문제만들기는 주어진 문항을 변형하여 새로운 문제를 구성하는 활동을 말한다. 주제제시형 문제만들기 활동은 학생들이 만든 문제의 완성도, 내용, 수준을 분석하였으며, 상황제시형 문제만들기 활동은 학생들이 만든 문제의 완성도, 내용, 수준, 변형패턴을, 문항제시형 문제만들기 활동은 학생들이 만든 문제의 완성도, 내용, 수준, 변형패턴을 분석하여 다음과 같은 결과를 도출하였다. 주제제시형 문제만들기 활동에서는 경우의 수와 자연수 분할에 관련된 문제를 만드는 활동을 제시하여 학생들이 해당 내용을 얼마나 이해하고 있는지를 볼 수 있었다. 경우의 수에 대한 문제는 88%의 학생들이 완전한 문제를 만들었지만, 자연수 분할에 대한 문제는 59%만이 완전한 문제를 만들었고 정확한 개념과 조건을 제시하지 않은 학생들이 37%로 나타났다. 또한 경우의 수가 주제인 문항에서 이에 맞는 문제를 만든 학생은 59%뿐이었고, 16%가 곱셈정리에 대한 문제를 만들었으며, 자연수 분할 문항에서는 해당 내용으로 만든 문제가 82% 나타났지만, 중복조합의 문제를 만든 경우도 11% 나타났다. 상황제시형 문제만들기 활동을 통해서는 학생들이 주어진 상황을 바탕으로 문제의 세부 조건을 잘 설정하였는지 알 수 있었다. 상황제시형 문제만들기 홛동 2문항을 분석한 결과 완전한 문제는 75%, 조건이 부족한 문제는 17% 나타났다. 문항제시형 문제만들기 활동을 통해서는 학생들이 높은 수준의 문제를 만들도록 유도할 수 있었다. 이항정리에 관련된 응용문제를 학생들에게 제시하였는데 90%의 학생들이 응용된 문제를 만들었다. 학생들의 문제만들기 활동 분석 결과를 바탕으로 내린 결론은 다음과 같다. 첫째, 대부분의 학생들이 기본 개념을 응용한 수준의 완전한 문제를 만들었다. 하지만 자연수 분할에 관한 문제는 완전한 문제의 비율이 다른 문제에 비해 낮은 편이기 때문에 분할 개념에 대해 교사가 조건 등 세부 사항을 자세히 지도할 필요가 있다. 둘째, 「순열과 조합」단원의 내용에 대해 학생들이 부족한 개념을 알 수 있었다. 경우의 수에 대한 문제를 만드는 문항에서 많은 학생들이 확률의 덧셈정리 및 곱셈정리에 관련된 문제를 만들었는데, 합의 법칙과 곱의 법칙이라는 용어에 대해 학생들이 더 인식할 수 있도록 지도가 필요하다. 또한 자연수 분할의 문제 역시 중복조합의 문제를 만든 학생들이 꽤 나타났는데, 각 개념의 차이점에 대해 교사가 명확히 지도해야할 것이다. 셋째, 주제제시형 문제만들기 활동은 해당 내용에 대한 학생들의 이해 정도를 알아보기에 유용하고, 상황제시형 문제만들기 활동은 해당 상황에 대해 문제를 만들 때 학생들이 세부 조건을 잘 설정하는지 알아보기 편리하며, 문항제시형 문제만들기 활동은 응용 문제를 제시하여 학생들이 높은 수준의 문제를 만들 수 있는 경험을 할 수 있도록 하는 데에 좋다. 이에 교사가 문제만들기 활등을 진행할 때 목적에 맞는 문제만들기 활동의 유형을 활용하여 진행한다면 원하는 결과를 얻을 수 있을 것으로 본다. 본 연구는 고등학교 학생들이 문제만들기 활동에 적극적으로 참여했고, 최소한의 조건을 제시하는 주제제시형 문제만들기 활동에도 완성도 높은 결과가 나타났기에 의미가 있다. 또한 학생들이 「순열과 조합」단원에 대해 학습한 내용을 잘 이해하고 있는지 알아볼 수 있는 연구였다. 본 연구는 다양한 수학적 능력을 지닌 학생들 각각에 맞는 활동을 진행하였으며, 특히 그 대상이 고등학생이라는 점에서도 의미를 갖는다. 하지만 연구의 대상이 자연계 여학생들과 「순열과 조합」단원으로 한정되어 다른 대상에 대해 실험을 진행했을 때 같은 결과를 얻지 못할 수 있고, 학생들의 답안에 코드를 부여하여 일관적으로 분석하였기에 학생들이 만든 문제 하나하나에 대한 특징 및 의미를 알기 어렵다는 한계가 있다. 본 연구의 결과에 따르면 조건이 부족한 문제를 만들거나 여러 개념을 구분하지 못하는 학생이 다수 나타났다. 이에「순열과 조합」단원을 지도하는 교사는 학생들에게 개념을 가르칠 때 그 개념이 성립하기 위한 조건을 유의하여 지도해야 할 것이다. 또한 교사가 문제만들기 활동을 진행한다면 학생들이 자신의 수준에 맞는 문제를 만들도록 유도해야할 것이다. 본 연구는 실생활 문제가 많이 등장하는 「순열과 조합」단원에 대한 문제만들기 활동을 진행하였는데, 실생활 문제가 많이 등장하지 않는 다른 영역에 대해 문제만들기 활동에 대한 후속연구를 진행하면 다른 결과를 얻을 수 있을 것이다. 또한 연구 대상인 학생들에게 맞는 시간과 문제의 개수를 제시한다면 더 나은 연구 결과를 얻을 수 있을 것이다.;Our national curriculum emphasizes problem solving since 1980s. 2015 National Curriculum that applies from 1st grade in middle and high school since 2018 presents problem solving as one of the mathematical competency students have to develop(Park et al., 2015). 2009 National Curriculum suggested problem posing only for elementary school students to develop problem solving capability as education point(Ministry of Education, Science and Technology, 2011). Accordingly, 2015 National Curriculum proposes problem posing for not only elementary students but also whole students by presenting it as sub-element of problem solving which is mathematical competency (Park et al., 2015). As the importance of problem posing increased, this study planned to proceed problem posing among high school students who has not studied much. The result of this study is thought to be helpful for high school teachers to progress classes using problem posing. The research classified the type of problem posing according to what is provided to students for creating problems. Each type of problem posing that provides topic, context, item to student is labeled as type A, type B, type C. Accordingly, study was conducted by establishing the following research questions. 1. What are the characteristics(completeness, content, level) shown in problem posing type A about Permutations and Combinations from 2nd grade in high school? 2. What are the characteristics(completeness, content, level, changing pattern) shown in problem posing type B about Permutations and Combinations from 2nd grade in high school? 3. What are the characteristics(completeness, content, level, changing pattern) shown in problem posing type C about Permutations and Combinations from 2nd grade in high school? To get answers to these research questions, problem posing about the unit 「Permutations and Combinations」 in the subject was conducted twice with total 95 science track students from 2nd grade of A girls’ high school in Seoul. The test paper was made of primary and secondary, and each test paper proposes total 3 problems including one problem posing problem for each type A, type B, and type C. Problem posing Type A analyzed completeness, content, and level of problem made by students, type B and type C analyzed completeness, content, level, and changing pattern of problem made by students, then the following results can be drawn. Problem posing type A shows how much students understand the content by providing problem posing activities related to number of cases and natural number split problem. While for problem about number of cases, 88% of students made problem completely, for natural number split problem, only 59% of students made complete problem and students who didn't present accurate conception and condition were 37%. Also, for number of cases problem, only 59% of students posed problem accordingly, and 16% made problem about multiplication theorem. For problem about natural number split, 82% of students made problem accordingly, but 11% made problem using combination with repetition. The problem posing type B shows whether students establish the details of condition of the problem well based on given circumstances. The result from 2 problems of problem posing type B presents 75% of complete problems and 17% of problems that have not enough conditions. The problem posing type C can encourage students to make high level of problems. Some applied problems about the binominal theorem was presented to the student and 90% of students posed applied problems. The conclusion based on the analysis result of students' problem posing is as follows. First, most students made complete problems by applying basic conception. However, since for problems about natural number split, the rate of complete problem is lower than other problems, it is necessary for teachers to guide sub-elements like condition about conception of split in detail. Second, students don't know much of the content of 「Permutations and Combinations」. The guide that makes students understand the term of additive law and multiplicative law better is needed by watching that many students made problems related to addition theorem or multiplication theorem of probability while making problems about number of cases. Also, as there were many students who made problems of combination with repetition for natural number split, teachers need to instruct the difference between the conception of them clearly. Third, problem posing type A was good for figuring out students' understanding of the content, type B was good for knowing whether students set the detailed condition when they made problem with the content and type C was appropriate for letting students experience making high level of problem by proposing applied problem. So, if a teacher uses problem posing type that fits for the purpose when proceeding problem posing, it is possible to get the desired result. This study is meaningful because high school students actively participated in problem posing and the problem posing type A which gives the minimum conditions also showed high completion results. And inquiring if students are understanding what they learned from 「Permutations and Combinations」 well based on that. Also, the research has meaning in the sense that research has corresponding activities for each of the students with various mathematical abilities and especially the subject is high school student. However, it has limits to the fact that it is hard to know whether the result will be the same with other subjects because the subjects of the research are limited to female science track students and 「Permutations and Combinations」. And it is hard to figure out characteristics and meaning of each problem made by students through consistent analysis giving code to students' answers. The results of this study indicate that many students create problems that are out-of-condition or are unable to distinguish concepts. Teachers who teach「Permutations and Combinations」have to guide their students with careful guidance on the conditions under which the concept will form. In addition, if the teacher is promoting problem posing, he should encourage students to create problems that match their level. This study conducted a study on problem posing about 「Permutations and Combinations」which contains many real-life issues, and further research into problem posing in other areas where real-life issues do not appear will yield different results. Also, presenting the right time and the number of problems to the students would give better results.
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