고등학교 학생들의 지수 ‧ 로그 학습에 나타나는 대수적 사고와 함수적 사고 분석

Abstract

지수와 로그는 매우 실용적인 수학 개념으로 큰 수를 다루기 위해 발생하였으며, 현대에도 다양한 현상을 표현하기 위해 사용되고 있다. 우리나라 수학과 교육과정에서는 전통적으로 지수와 로그를 대수와 해석영역에서 다루어 졌으며, 2009개정 수학과 교육과정에서는 수학II 과목의 지수와 로그영역과 미적분II 과목의 지수함수와 로그함수영역에서 다루고 있다. 자연수 범위의 지수법칙을 형식불역의 원리를 이용하여 유리수 범위로 지수와 지수법칙을 확장하며, 지수의 역으로 로그를 정의한다. 로그의 정의를 이용하여 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈에 각각 연결시켜 로그법칙을 학습하게 되며, 이를 이용하여 큰 수를 다룰 수 있도록 한다. 지수함수와 로그함수는 함수의 정의와 다양한 현상에서 나타나는 관계를 표현하고 지수와 로그의 성질을 실생활 문제에 적용하여 해결하는 것을 학습한다. 이와 같은 학습은 다양한 수학적 사고 중 대수적 사고, 함수적 사고와 매우 밀접한 관련이 있다. 대수적 사고와 함수적 사고는 ‘사고’이기 때문에 학습에서 나타날 수 있는 사고요소를 밝힐 뿐만 아니라, 실제 지수와 로그를 학습하는 학생들에게 대수적 사고와 함수적 사고가 어떻게 나타나는 지에 대해 연구할 필요성이 있다. 따라서 본 연구의 목적은 고등학교 학생들의 지수 ‧ 로그 학습에서 대수적 사고와 함수적 사고의 특징을 밝히는 데에 있다. 이를 위해 연구문제는 다음과 같이 설정하였다. 연구문제 1. 학업성취도에 따른 지수 ․ 로그 개념과 관련된 학생들의 대수적 사고와 함수적 사고의 특징은 무엇인가? 1-1. 학업성취도에 따른 학생들의 대수적 사고의 특징은 무엇인가? 1-2. 학업성취도에 따른 학생들의 함수적 사고의 특징은 무엇인가? 연구문제 2. 성별에 따른 학생들의 지수 ․ 로그 개념과 관련된 대수적 사고와 함수적 사고의 특징은 무엇인가? 2-1. 성별에 따른 학생들의 대수적 사고의 특징은 무엇인가? 2-2. 성별에 따른 학생들의 함수적 사고의 특징은 무엇인가? 연구대상은 고등학교 2학년 이공계열 남학생 46명, 여학생 31명 총 77명으로, 두 번의 전국연합학력평가의 결과를 토대로 학생들의 학업성취도를 네 가지 수준으로 분류하였다. ‘지수함수와 로그함수’단원의 학습이 끝나고 약 일주일 뒤 13개의 문항으로 구성된 검사지B를 이용하여 50분 간 검사를 실시하였다. 사고의 반응 유형을 ‘사고가 나타나지 않음(무응답포함)’, ‘부적절하거나 잘못된 사고를 함’, ‘정확한 사고를 함’으로 분류하여 대수적 ․ 함수적 사고요소별 학생응답의 반응유형을 분류하여 반응유형의 비율을 토대로 분석하였다. 연구문제 1-1을 분석한 결과 학업성취도에 따른 대수적 사고요소별 반응 유형은 체계의 확장을 제외한 대수적 사고요소에서 유의미한 차이를 보였다. 사고시도비율은 모든 수준에서 양적추론, 식의 변환, 문제해결도구 인식, 기호화, 체계의 확장의 순서로 높게 나타났다. 연구문제 1-2를 분석한 결과 학업성취도에 따른 함수적 사고요소별 반응 유형은 모든 함수적 사고요소에서 유의미한 차이를 보였다. 사고시도의 비율은 각 수준에서 차이를 보였다. 상위권에서는 함수적 관계 인식 및 표현의 시도비율이 높게 나타났다. 상위권과 중하위권에서는 함수적 관계를 인식하고 있었으며, 이러한 관계를 표현하는 데 어려움이 있다는 것을 알 수 있었다. 하위권에서는 함수성 인지에서 가장 높은 시도비율을 보였다. 연구문제 2-1을 분석한 결과 성별에 따른 대수적 사고요소별 반응 유형은 모든 대수적 사고요소에서 유의미한 차이가 나타나지 않았다. 연구문제 2-2를 분석한 결과 성별에 따른 함수적 사고요소별 반응 유형은 모든 함수적 사고요소에서 유의미한 차이가 나타나지 않았다. 함수에 대한 평가에서 성별에 따른 차이가 나타난 선행 연구의 결과에 따라 함수적 사고에서 차이가 나타날 것으로 기대하였으나 차이는 나타나지 않았다. 연구결과1과 2를 바탕으로 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다. 첫째, 학업성취도에 따라 대수적 사고와 함수적 사고의 특징이 다르게 나타났으며, 대수적 사고보다 함수적 사고에서 학업성취도에 따른 특징이 두드러지게 나타났다. 상위권에서는 방정식과 부등식의 해를 구하고 방정식이나 부등식을 함수와 함수의 관계를 이용하여 그래프에 표현하는 것에서 어려움이 나타났다. 중상위권과 중하위권은 함수적 관계를 표현하는 것에서 어려움이 나타났으며, 중하위권과 하위권은 지수법칙과 로그법칙을 이용한 식을 변환에서 다른 수준과 달리 지수법칙과 로그법칙을 잘 못 알고 있기 때문에 잘못된 식의 변환을 하는 경우가 나타났다. 둘째, 선행연구의 결과에 따라 대수적 사고에서 성별에 따른 차이가 나타나지 않으며, 함수적 사고에서 성별에 따른 차이가 나타날 것으로 예상하였으나, 대수적 사고와 함수적 사고에서 모두 성별에 따른 유의미한 차이가 나타나지 않았다. 과거에 비해 성별이라는 변인이 수학성취도에 영향을 적게 미치는 것으로 볼 수 있으며, 연구문제 2의 결과는 이러한 추세를 바탕으로 성별요인이 대수적 사고와 함수적 사고에도 영향을 미치지 않거나 적은 영향을 미칠 것으로 결론지을 수 있다. 본 연구의 의의 및 시사점은 다음과 같다. 첫째, 본 연구에서는 대수적 사고와 함수적 사고에 대한 선행연구의 고찰을 통해 대수적 사고요소와 함수적 사고요소를 제시하였다. 이는 다른 학습 내용의 대수적 사고와 함수적 사고 분석에 분석틀로 사용될 수 있다. 둘째, 본 연구에서는 지수와 로그 학습에 관련된 대수적 사고와 함수적 사고를 제시하였으며, 이를 토대로 학생들의 대수적 사고와 함수적 사고를 분석하는 연구를 시도하였다. 셋째, 본 연구에서는 고등학교 학생들의 학습에서 나타나는 고차원의 사고를 분석하는 시도를 했음에 본 연구에 의의를 두고자 한다. 본 연구는 다음과 같은 제한점을 갖는다. 첫째, 본 연구는 경기도 소재 학교B의 고등학교 2학년 이공계열 77명을 대상으로 하였다. 연구대상의 수가 적기 때문에 연구 결과를 일반화하기에 무리가 있을 수 있다. 둘째, 남녀 학생 수를 같게 하여 성별에 따른 대수적 사고와 함수적 사고를 분석한다면 연구의 신뢰성이 높아질 수 있다. 셋째, 지필평가로 학생의 사고를 분석하였기 때문에, 얼마나 풀이를 자세히 서술하는 지에 따라 연구결과가 다르게 나타날 수 있다. 본 연구의 결과를 토대로 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 대수적 사고와 함수적 사고는 다른 단원에서도 학생들의 대수적 사고와 함수적 사고를 살펴보는 연구가 필요하다고 생각된다. 둘째, 지필평가와 추가적인 인터뷰를 실시한다면 좀 더 구체적으로 학생들의 사고를 살펴볼 수 있을 것으로 기대된다. 셋째, 학업성취도 수준에 따른 적합한 교수 ‧ 학습 방법이 제시될 수 있기 때문에 본 연구의 방법을 새로운 평가 방법으로 제안하고자 한다. 넷째, 학업성취도별, 성별에 따라 동등한 비율로 연구대상 수를 크게 하여 연구를 진행한다면 보다 의미 있는 결과가 나올 것으로 이를 후속연구로 제안한다.;Exponents and logarithms are practical mathematical concepts that are used to deal with large numbers and are used to express various phenomena in modern times. In Korean mathematics curriculum, traditionally, exponents and logarithm are included in algebra and Analysis domain. In the 2009 revised mathematics curriculum, exponential and logarithm are included in Mathematics II subject and while for exponential function and logarithmic function are covered in Calculus II subject. In the middle school curriculum, the exponential rule is introduced by introducing the exponent to express power simply and calculating the power. In the high school course, the exponential and exponential laws are extended to the rational number range by using the principle of formal deformation, and the logarithm is defined as the inverse of the exponent. In addition, logarithm definition is used to connect the multiplication and division to addition and subtraction, respectively, to learn the logarithm and use it to calculate large numbers. Exponential and logarithmic functions are used to express the definition of functions and their relationships in various phenomena and to solve the problems of applying exponential and logarithmic properties to real life problems. Such learning contents are closely related to algebraic thinking and functional thinking among various mathematical thinking. Since algebraic thinking and functional thinking are 'thinking', there is a need to study not only the thinking elements that can appear in learning but also how algebraic thinking and functional thinking appear to students who learn real exponent and logarithm. Therefore, the purpose of this study is to identify students' algebraic thinking and functional thinking in the learning of 'exponent and logarithm' in Mathematics II and 'exponential and logarithmic functions' in Calculus II. The research problem was set as follows. Research Question 1. Based on academic achievement, what are the characteristics of students' algebra thinking and functional thinking related to exponents and logarithms concept? 1-1. What are the characteristics of students' algebraic thinking based on academic achievement? 1-2. What are the characteristics of students' functional thinking based on academic achievement? Research Question 2. Based on students' gender, what are the characteristics of algebraic thinking and functional thinking related to exponents and logarithms concepts? 2-1. What are the characteristics of students' algebraic thinking based on gender? 2-2. What are the characteristics of students' functional thinking based on gender? The subjects of the study were 46 male and 31 female students in the second year high school. The results were classified into four levels based on the results of the two nationwide achievement tests. A week after learning exponential function and the logarithmic function unit, the test was administered for 50 minutes using the test paper B composed of 13 items. The type of reactions about thinking were classified as 'thinking was not present' (including non-answer), 'inappropriate or wrong thinking', or 'accurate thinking'. The student responses about functional factors were classified and analyzed based on the ratio of response types. As a result of analyzing the research problem 1-1, the reaction types of algebraic thinking elements according to academic achievement showed significant differences in algebraic thinking factors excluding system expansion. All algebraic factors showed a correlation with academic achievement. The rate of thinking attempts was higher in order of quantitative reasoning, conversion of expressions, recognition of problem solving tools, symbolization, and system expansion. As a result of analyzing the research problem 1-2, the response types of functional thinking factors according to academic achievement showed significant differences in all functional thinking factors. All functional thinking factors were correlated with academic achievement, and the percentage of thinkingattempts varied at each level. In the upper part, the ratio of attempting to recognize and express the functional relation was high. We were aware of the functional relationship in the upper and lower middle regions, and found that it was difficult to express this relationship. In the lower part, the highest attempt rate was observed in the functionality recognition. As a result of analyzing the research problem 2-1, there was no significant difference in all algebraic thinking factors according to gender in the reaction type by algebraic thinking factors. As a result of analyzing the research problem 2-2, there was no significant difference in all the functional thinking factors according to gender. In the evaluation of the function concept. Based on the results of Study 1 and 2, the following conclusions can be drawn. First, characteristics of algebraic thinking and functional thinking were different according to academic achievement, and characteristics of academic achievement were more prominent in functional thinking than algebraic thinking. In the upper part, it is difficult to obtain the solution of the equation and inequality, and to express the equation or the inequality in the graph using the relation of the function and the function. For upper class students, there is a need for teaching and learning methods about expressing equation or inequality by the algebraic expression. The middle upper and middle lower classes had difficulty in expressing the functional relationship, and the necessity of the teaching and learning method to recognize the relationship and express. On the other hand, in the case of the middle-low and low classes, there is a case where the exponential and logarithmic rules are wrong. There was a need to re-learn the concept. Second, according to the result of the previous research, there was no difference according to gender in algebraic thinking, and it was expected that there would be difference according to gender in functional thinking, but there was no significant difference according to gender in both algebraic thinking and functional thinking. For the first time in the recently announced PISA 2015, girls showed higher mathematical achievement than boys. PISA 2012 showed that gender differences were very high, but the fact that girls showed a higher level of mathematics achievement than boys in three years shows that gender is less influential on mathematics achievement than in the past. Therefore, the results of Research Question 2 can be concluded that gender factors have little or no effect on algebraic and functional thinking based on this trend. The implications of this study are as follows. First, in this study, algebraic thinking and functional thinking are presented through a review of previous studies on algebraic thinking and functional thinking. This can be used as an framework for algebraic thinking and functional thinking analysis of other mathematics content. Second, this study presented algebraic thinking and functional thinking related to exponent and logarithm learning, and tried to analyze algebraic thinking and functional thinking of students based on this. Third, in this study, advanced abstract thinking in high school students' learning is important to be analyzed. This study has the following limitations. First, this study was conducted on 77 high school students. Since the number of subjects is small, it may be difficult to generalize the results of the research. Second, the number of female students and the number of boys are different. Using the same number of female and male students in analysis of algebraic thinking and functional thinking can be a more reliable research. Third, because paper-and-pencil evaluation showed process of students’ solution, results might be different depending on how the student describes his/her thinking process. Based on the results of this study, the following suggestions are made. First, algebraic thinking and functional thinking can be important part in other mathematics concepts too. Therefore, it is necessary to study students' algebraic thinking and functional thinking in other mathematical concepts. Second, analysis on students’ thinking can be done in more specifics way if besides performing paper-and-pencil evaluation, there is also additional interviews. Third, the characteristics of algebraic thinking and functional thinking varied according to academic achievement. so appropriate teaching and learning methods can be suggested for each student's academic achievement level. This method is proposed as a new evaluation method. Fourth, it is expected that more meaningful results will be obtained if the number of research subjects is increased and the research use the same ratio of subject according to academic achievement and gender. These are suggestion for conducting further research.