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중학생들의 문제이해과정 및 오류유형 분석 연구

Title
중학생들의 문제이해과정 및 오류유형 분석 연구
Other Titles
A study on analysis of middle school students' problem understanding process and error type : Focusing on the word problems of the application of Greatest common divisor and Least common multiple
Authors
김수현
Issue Date
2016
Department/Major
대학원 수학교육학과
Publisher
이화여자대학교 대학원
Degree
Master
Advisors
노선숙
Abstract
문제해결을 통해 학생들은 수학적 사고력을 향상시킬 수 있고 합리적인 태도를 기를 수 있으므로, 수학교육에서 문제해결력의 신장은 매우 중요한 가치가 있다. 그리고 수학적 표현이 아닌 문장으로 주어진 문장제 문제의 풀이 과정을 통해 문제해결에 필요한 기초적인 소양을 기를 수 있다. 따라서 학생들의 문장제 문제해결에 대한 실태를 알아보고 이에 관한 적절한 방안을 강구하는 것은 보다 성공적인 교수·학습을 위해 꼭 필요하다. 그런데 대부분의 학생들은 문장제 문제해결에서 많은 어려움을 느끼고 있다. 여기서 학생들이 가장 먼저 부딪히는 어려움은 문제를 정확하게 이해하지 못하는 것이다. 따라서 학생들의 문제이해과정에 대한 연구가 필요하다고 생각된다. 문제해결에 실패한 학생들이 보이는 오류에 대한 분석을 통해 학생들의 사고 과정과 인지 능력을 확인할 수 있다. 또한 문장제 문제의 풀이과정에서 오류를 분석하고 피드백하는 과정은 다른 문제의 해결에도 유용하게 적용될 수 있다. 그러므로 문제해결과정에서 학생들의 오류유형을 파악하는 연구는 효과적인 교수·학습을 위한 전략을 수립하는데 많은 도움을 줄 수 있는 매우 중요하고 의미 있는 것이다. 이에 본 연구의 목적은 최대공약수와 최소공배수의 활용에 관한 수학 문장제 문제해결에서 학생들의 문제이해과정과 오류유형에 대한 분석을 통하여 수학적 문제해결력을 향상시키기 위한 효과적인 교수 ․ 학습 방법을 찾는 데에 도움이 될 수 있는 의미 있는 정보를 제공하는 데 있다. 이를 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 최대공약수와 최소공배수의 활용에 관한 문장제 문제해결에서 학생들의 문제이해과정은 어떠한가? 1-1. 최대공약수와 최소공배수의 활용에 관한 문장제 문제해결에서 학생들의 문제이해방식은 어떠한가? 1-2. 최대공약수와 최소공배수의 활용에 관한 문장제 문제해결에서 학생들의 문제해결전략은 어떠한가? 2. 최대공약수와 최소공배수의 활용에 관한 문장제 문제해결에서 나타나는 오류유형은 어떠한가? 2-1. 최대공약수와 최소공배수의 활용에 관한 일치형 문장제 문제해결에서 나타나는 오류유형은 어떠한가? 2-2. 최대공약수와 최소공배수의 활용에 관한 불일치형 문장제 문제해결에서 나타나는 오류유형은 어떠한가? 이 연구문제에 대한 결과를 얻기 위하여 서울시 D중학교 1학년 전교생 172명을 대상으로 지필 검사 형태의 검사를 실시하였다. 검사도구는 최대공약수와 최소공배수의 활용에 관한 수학 교과서에 제시된 문장제 문제 8문항으로 이루어진 검사지로, 1~4번은 일치형 문제이고 5~8번은 불일치형 문제이다. 검사지에 최대공약수 또는 최소공배수의 선택 이유와 문제 풀이 과정을 가능한 한 자세히 서술하도록 제시하였다. 학생들이 정규 수업 시간에 최대공약수와 최소공배수 및 그 활용에 관한 수업을 받은 후, 검사를 실시하였다. 이 때, 학생들의 검사지를 정답과 오답으로 분류하고, 정답자의 서술 내용에서 문제이해방식과 문제해결전략을, 오답자의 서술 내용에서 오류유형을 일치형과 불일치형 문제로 구분하여 분석하였다. 검사지의 분석을 위한 분석틀은 다음과 같다. 문제이해방식 분석틀은 직접변환접근(C1)과 문제모델접근(C2)의 두 가지이고, 문제해결전략 분석틀은 그림 그리기(S1), 표 만들기(S2), 규칙성 찾기(S3), 유추적 문제해결(S4)의 네 가지이며, 오류유형 분석틀은 역전(逆轉)의 오류(E1), 잘못된 주제어(keyword) 사용으로 인한 오류(E2), 잘못된 유추에 의한 오류(E3), 제대로 된 풀이를 적지 않은 오류(E4)의 네 가지이다. 연구문제 1의 문제이해과정을 분석한 결과는 다음과 같다. 먼저, 많은 학생들이 특정한 주제어(keyword)에 초점을 맞추어 문제를 해결하는 직접변환접근 방식으로 문제를 이해하고 있었고, 문제의 구조가 복잡하고 난이도가 높아질수록 문제모델접근으로 문제를 이해하는 학생들의 비율이 높아지고 있었다. 다음으로, 직접변환접근으로 문제를 이해한 학생들이 가장 많이 사용한 문제해결전략은 유추적 문제해결이었고, 문제모델접근으로 문제를 이해한 학생들이 문제의 구조를 파악하거나 문제를 해결할 때 많이 사용한 문제해결전략은 그림 그리기, 표 만들기, 규칙성 찾기였다. 연구문제 2의 오류유형을 분석한 결과, 일치형 문제보다 학생들이 더 어렵다고 생각하는 불일치형 문제에서 더 많은 빈도수의 오류가 발견되었다. 일치형 문제에서는 잘못된 주제어(keyword) 사용으로 인한 오류와 잘못된 유추에 의한 오류가 동시에 나타나는 경우가 가장 많았고, 불일치형 문제에서 가장 많이 나타난 오류는 역전(逆轉)의 오류와 잘못된 주제어(keyword) 사용으로 인한 오류였다. 또한, 모든 문항에서 검사지에 아무것도 서술하지 않은 풀이를 전혀 시도하지 않은 학생들이 많았다. 특히, 구조가 복잡하고 난이도가 높은 문항에서는 절반 이상의 학생들이 빈 칸으로 검사지를 제출하였다. 이를 바탕으로 하여 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다. 첫째, 학생들이 문장제 문제해결에서 특정한 주제어(keyword)에만 초점을 맞추어 문제를 해결하는 경향이 있었다. 따라서 학생들이 문제의 구조를 파악하고 주어진 상황을 이해하여 문제를 해결하도록 하기 위하여 문장제 문제에 대한 지도 방안을 개선할 필요가 있다. 둘째, 학생들이 비슷한 유형의 연습 문제를 많이 풀어본 경험으로 정형화된 풀이 방법을 다른 문제에도 그대로 적용하여 문제를 해결하는 경우가 많았다. 이는 문장제 문제들이 지나치게 정형화되어 있음을 나타내주고 있으므로 비정형화된 다양한 형태의 문장제 문제의 개발이 필요하다고 생각한다. 셋째, 학생들이 문장제 문제해결에서 가장 많이 보이는 오류는 잘못된 주제어(keyword) 사용으로 인한 오류와 역전(逆轉)의 오류였다. 앞에서 제시한 비정형화된 다양한 형태의 문장제 문제의 개발과 문장제 문제해결에 대한 효과적인 교수 ․ 학습 방법이 제공된다면, 이러한 오류도 줄어들 것이라고 생각된다. 넷째, 오류유형 분석에서 풀이를 전혀 시도하지 않은 학생들이 많았는데 이는 많은 학생들이 문장제 문제를 매우 어렵게 생각하고 있다고 해석될 수 있다. 이러한 상황은 학교 현장의 수학 교사들에게 많은 시사점을 주고 있으므로 이에 대한 구체적인 원인을 밝히고, 이를 바탕으로 한 지도 방안에 대한 연구가 필요할 것이다. 본 연구의 결과를 토대로 다음과 같은 몇 가지 점들을 제언하고자 한다. 첫째, 본 연구에서 다룬 최대공약수와 최소공배수의 활용 단원이 아닌 방정식과 부등식 등 다른 문장제 문제 영역에서도 학생들의 문제해결에 관한 연구가 필요하다고 생각된다. 둘째, 본 연구의 분석 결과를 바탕으로 학교 현장의 수학 교사들이 학생들의 문장제 문제해결력을 향상시키는 실질적이고 구체적인 교수학적 방법에 대해 고찰해 볼 것을 제안한다. 셋째, 본 연구의 분석 결과 학생들의 문제 해결 방식이 기계적인 암기에 치중되어 있고, 이는 학생들이 접하는 대부분의 문장제 문제가 지나치게 정형화되어 있기 때문이라고 생각되므로 수학 교과서 또는 교육과정 개발자들이 좀 더 다양하고 실생활에 부합되는 비정형화된 문장제 문제를 만들 필요가 있다고 생각한다. 넷째, 학생들의 문장제 문제이해 및 해결 과정, 오류의 원인 등에 대해서 본 연구에서 분석하지 못한 학생들의 실제적인 사고 과정을 살펴보는 질적인 사례 연구가 이루어질 필요가 있다고 생각된다.;The purpose of this study is to help you find an effective teaching and learning methods to improve the mathematical problem solving through analysis of students’problem understanding process and error type in the word problems of the application of GCD and LCM. To this end, I set the following research issues. 1. How is students’ problem understanding process in the word problems of the application of GCD and LCM? 1-1. How is students’ problem understanding formula in the word problems of the application of GCD and LCM? 1-2. How is students’ problem solving strategy in the word problems of the application of GCD and LCM? 2. How is the error type appearing in word problem solving of the application of GCD and LCM? 2-1. How is the error type appearing in consistent word problem solving of the application of GCD and LCM? 2-2. How is the error type appearing in inconsistent word problem solving of the application of GCD and LCM? To get the result of these research issues, the paper-based test was conducted targeting to the whole first grade students in Seoul D middle school. The pater-based test is consisted of 8 word problems of the application of GCD and LCM in mathematics text book. 1~4 are consistent word problems, and 5~8 are inconsistent word problems. From the correct answers, I analyzed the problem understanding formula and problem solving strategy, and from the incorrect answers, I analyzed the error type of consistent or inconsistent word problems. The result of research issue 1 is as following. First, many students understood word problems by the direct translation approach that is focusing on a specific keyword. And in more difficult word problems, more students understood problems by the problem model approach. Second, students who understood by the direct translation approach used the analogical problem solving strategy, and who understood by problem model approach used strategies like drawing a picture, making a table, finding the rule. The result of research issue 2 is as following. First, more errors were appeared in inconsistent word problems. In consistent word problems, the most error type was wrong keyword error, and in inconsistent word problems, was reverse error. Second, tried-nothing error type was appeared many times in every word problems. Especially, more than half students tried nothing in difficult word problems. Based on this, it is possible to make the following conclusions. First, in oder to make students solving word problems not to be focused on a specific keyword but understood the structure of the problem, there is a need to improve teaching methods. Second, many students used analogical problem solving strategy because word problems are too formalized. So various type of word problems should be developed. Third, in word problem solving, the most error types were wrong keyword error and reverse error. If effective teaching and learning methods and various type of word problems are provided, such errors will be reduced. Last, there are many students who tried nothing in word problem solving. This means lots of students think that word problem solving is too difficult. So there is a need for the research that reveals the specific reason of this and provides the effective teaching methods in word problem solving.
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