수학 문제 만들기 과정에 영향을 미치는 요소와 전략에 관한 연구

Abstract

수학 문제 만들기는 학생들 스스로 문제를 만들어 보는 기회를 갖게 하여 주어진 상황에 대한 의미를 보다 명확하게 하고 새로운 관점에서 볼 수 있도록 해줄 수 있는 활동으로 지금까지의 문제 만들기에 대한 연구는 그 문제 만들기 활동 결과 분석과 효과에 대한 연구에 집중되어 왔다. 문제 만들기를 하는 과정에 대한 연구는 드물며, 그 과정 중 영향을 미치는 요소를 살펴본 연구는 Kontorovich 외(2012)의 연구 외에는 전무하다. 이에 본 연구는 Kontorovich 외(2012)의 연구를 바탕으로 우리나라 고등학생들의 수학 문제 만들기 활동 과정을 정밀히 연구하며 그러한 과정에 영향을 미치는 요소와 전략을 분석하고자 한다. 본 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 연구 문제 1. 우리나라 고등학교 학생들도 수학 문제 만들기 활동 과정에서 Kontorovich 외(2012)가 제시한 5가지 요소를 반영하는가? 연구 문제 2. 우리나라 고등학교 학생들이 수학 문제 만들기 활동 과정에서 사용하는 전략은 선행 연구에 언급된 전략과 다른 특징이 있는가? 연구 문제를 달성하기 위하여 다음과 같이 연구를 진행하였다. 선행연구 분석과 문헌연구로 문제 만들기 활동에 영향을 미치는 요소를 7가지로 선정하였고, 면담 시 사용할 질문을 준비하였으며 예비 검사를 통하여 학생들에게 제시할 과제를 최종적으로 3가지를 선정하였다. 그것은 수학적 상황으로부터의 문제 생성하기, 실세계적 상황으로부터의 문제 변형하기, 상황제시형 문제 만들기이며, 서울특별시 성동구에 위치한 D고등학교 1학년 학생 6명을 대상으로 소그룹으로 문제 만들기 활동을 실시하였으며, 그 후 소그룹 활동 내용을 바탕으로 면담을 실시함으로써 문제 만들기 활동 과정에 사용하는 전략, 즉 연구 문제 2에 대해 분석 하였다. 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 우리나라 고등학교 학생들은 수학 문제 만들기 활동 과정에서 Kontorovich 외(2012)가 제시한 5가지 요소인 지식기반, 발견술과 계획, 집단 역학과 상호작용, 적절성에 대한 개인적인 고려, 과제조직을 반영하여 수학 문제 만들기 결과물을 만들어 내었다. 과제 3개에 대하여 각각 5개, 2개, 4개의 문제를 만들어 내었으며, 전체 빈도수로 보았을 때, 집단역학과 상호작용, 발견술과 계획에 해당하는 이 2가지의 요소가 상대적으로 사용 비중이 높았다. Kontorovich 외(2012)가 제시한 5가지 요소 외에 살펴보았던 Schoenfeld(1985)의 통제력과 신념체계, 즉 정의적 측면에 대한 2가지 요소의 영향은 학생들이 만들어낸 총 11문제 중 3문제에서만 나타났으며, 이것은 상대적으로 사용 비중이 낮은 것이었다. 과제 1,2,3의 각각의 유형의 특성이 다른 만큼 이 유형에 따라 사용하는 요소의 빈도수에도 상대적으로 차이가 났다. 과제 1의 경우는 ‘ 수학적 상황에서 문제 생성하기 ’ 유형으로 수학 내적 문제에 해당하며 이에 따라 지식기반의 요소를, 과제 2의 경우는 ‘ 실세계 상황으로부터의 문제 변형 ’ 유형으로 수학 외적 문제에 해당하며 이에 따라 과제조직, 발견술과 계획의 두 요소를, 과제 3의 경우 ‘상황제시형 문제 만들기 ’ 유형으로 수학 내적 문제에 해당하며 발견술과 계획, 지식기반 두 요소를 다른 요소에 비해 많이 사용하였다. 수학 문제 만들기 과정에 영향을 미치는 요소를 분석해봄으로써 수학 문제 만들기 활동이 수학 학습에 긍정적인 영향을 주는 이유를 확인할 수 있었다. 학생들은 문제 만들기 활동을 하는 과정에서 지식기반 요소, 집단역학과 상호작용, 과제조직의 요소를 통해 수학 개념을 더 명확하게 할 수 있었다. 즉, 그러한 지식기반이라 할 수 있는 자신이 가지고 있는 수학 개념을 문제 만들기를 하는 동안 사용해 봄으로써 그 수학 개념을 더 명확히 할 수 있었다. 또한 수학 개념에 대한 오개념에 대해서는 집단역학과 상호작용의 요소를 통해 그룹 구성원들의 반론에 의해 수정하는 모습을 보였다. 자신이 가지고 있던 수학 개념이 맞는지 교사에게 질문하고 그에 대한 답을 얻음으로써 개념의 정확한 의미를 파악하는 모습을 보였다. 적절성에 대한 개인적인 고려를 통해 학생들은 문제 만들기를 하는 과정에서 자신이 만든 문제를 다시 풀어 보면서 그 적절성을 판단해 보는 과정을 거침으로써 문제 해결 활동의 모습 또한 보였는데, 이것은 수학 문제 만들기 활동이 문제 해결에 도움을 줄 수 있는 중요한 도구임을 보여준다. 문제 만들기 과정에서 사용된 발견술과 계획의 요소는 문제 상황을 조작해 보는 것으로써 대상에 대한 속성을 파악하고 수학적 문제 상황에 대한 이해의 폭을 넓힐 수 있었으며, 자신이 만든 문제를 다시 풀어 보며 확인 하는 과정에서 사용된 발견술과 계획의 요소 또한 문제 해결로 연결시킬 수 있는 부분이었다. 문제 만들기 활동 과정 중 학생들은 잘못된 오개념에 대해서는 교사의 도움, 즉 과제조직요소로서 확인하고 수정을 하는 모습을 보였는데, 이것 또한 수학 개념을 명확하게 하는 부분이며, 교사의 역할에 대해 시사하는 바로 볼 수 있다. 또한 과제 1,2,3에 대한 총 11개의 만들어낸 문제 결과물은 과제의 유형에 따라 7가지의 요소 비중이 달랐으며, 학생 6명 각각의 요소 활용 빈도에도 차이가 있으므로, 이것은 학생의 수학적 특성이 될 수 있으며, 이러한 학생 개개인의 특성을 반영하여 문제 만들기 활동을 지도 할 수 있다. 이렇게 7가지의 요소가 복합적으로 영향을 미쳐 문제 만들기의 최종적인 결과물을 만들어 내었으며, 7가지의 요소를 더 세부적으로 구분하거나 다른 요인을 추가할 수 있을 것이다. 둘째, 본 연구에서 나타난 수학 문제 만들기 활동 과정에 영향을 미치는 주요 전략 및 특성은, 과정을 검사하고 확인하는 단계를 거치는 것, 대상의 속성에 대한 목록을 만들어 보는 것, 변형속성 자체를 이용하여 문제를 만든다는 것, 변형 속성에 대해 다시 질문함으로써 문제를 만든다는 것 등이다. 이 결과는 Brown & Walter(1983)의 전략을 중심으로 구분하여 분류한 것이며, Brown & Walter(1983)가 제시한 전략으로 분류하였을 경우, 1단계 ‘ 수용하기 ’의 전략 중 ‘ 정확한 탐구 대 근사적 탐구 ’ 는 학생들이 문제를 만드는 과정에서 혹은 문제를 만든 후 답을 확인해 보는 과정에서 활용하는 모습을 보였으나, ‘ 내적 탐구 대 외적탐구’ , ‘ 실제적 탐구 대 가설적 탐구 ’의 모습은 발견할 수 없었다. 2단계 ' What-If-Not ' 전략에서는 수준Ⅰ(속성 목록 만들기) , 수준Ⅱ(변형 속성 만들기) , 수준Ⅲ(변형 속성에 대해 질문하기 또는 문제 제기하기) 3가지의 형태가 보였는데, 수준Ⅳ(질문이나 문제 분석하기)의 수준까지는 보이지 않았다. 고등학교 학생들이 문제 만들기 활동을 하는 동안 사용한 전략은 주어진 과제의 유형과 관계없이 공통적으로 나타나는 전략이 있었다. Brown & Walter(1983)의 1단계 중 정확한 탐구 대 근사적 탐구로, 문제를 만드는 동안 근사적 탐구, 즉 대략적인 수치로 계산해 보고 문제를 만들었고, 그 후 답을 확인 하는 정확한 탐구를 통해 처음 만들었던 수치를 조정하는 모습을 보였다. 고등학교 학생들이 문제 만들기 활동을 하는 동안 주어진 과제의 유형에 따라 사용하는 데에 차이를 보이는 전략의 종류 또한 있었다. 먼저, 과제 1의 문제 생성하기 유형에서는 어떠한 상황만을 제시하고 그 상황에 맞는 문제를 스스로 만들어 내는 유형이므로 그 특성상 상황에 제시되어있는 것에 새로운 정보를 추가하려는 전략을 주로 보였다. 과제 2의 경우, 문제 변형하기 유형에서는 이미 ‘ ~에 대한 답을 구하시오 ’ 라는 문제가 주어진 상태이므로 이 발문에서 제시된 사물이나 값 자체를 변형하여 문제를 만드는 전략이 그 특성으로 보였다. 과제 3의 경우, 상황제시형 문제 만들기로, 제시된 상황(사물)에 대해 그 속성을 파악하여 나열해 보거나, 그보다 한 단계 더 발전하여 그 속성을 변형하여 문제를 만드는 전략을 사용하는 것, 그리고 변형 속성에 대해 다시 질문해 보는 전략이 주였다. 본 연구의 결과는 수학 문제 만들기 활동 과정에 미치는 요소를 알아봄으로써 수학 학습에 긍정적인 영향을 주는 이유를 확인할 수 있었으며, 교수학습 측면에서 수학 문제 만들기 활동의 지도 방법에 도움을 줄 수 있다. 또한 유형별로 사용하는 전략의 종류에 차이가 있으므로 나타났으므로, 유형별 문제 만들기 지도 방안에 대해 그리고 문제 만들기 활동 지도시에 사용빈도가 적은 전략에 대해 지도하는 것에 대해 참고자료가 될 수 있을 것이다.;Mathematical problem posing is an activity which gives an opportunity for students to create a problem themselves and enables them to clarify the meaning of given situations and view them in a new perspective. The studies on problem posing until now focused on analyzing the result and effect of problem posing activities. Studies on the process of problem posing, however, is scarce and there is no study which examined the elements that have influence on the process except the study by Kontorovich et al(2012). Therefore, the purpose of this study is to conduct in-depth research on mathematical problem posing activities of Korean highschool students and analyze the elements and strategies that have influence on such process. Following research questions were set up in order to achieve the purpose of this study. Research Question 1. Do Korean highschool students also reflect 5 elements of Kontorovich et al(2012) in mathematical problem-posing activities? Research Question 2. Do strategies of Korean highschool students used in mathematical problem-posing activities have traits different from those mentioned in preceding studies? This study was conducted as following in order to attain above research questions. 7 types of elements that have influence on the problem posing activities were selected through the analysis on preceding studies and literature review. The questionnaires to be used in an interview were prepared and total 3 tasks to be presented to the students were selected through the preliminary examination. Above tasks include 'problem posing from mathematical situation', 'problem variation from real world situation', and 'situation-based mathematical problem-posing activities' and problem posing activities were conducted in a small group with 6 high school students in 10th grade of D high school located in Seongdong-gu, Seoul-si as its subject. By conducting an interview based on the contents of small group activities, the strategies used in the problem-posing activities, namely Research Question 2, were analyzed. The result of study is as following. First, Korean highschool students created the outcomes of mathematical problem posing activities by reflecting 5 elements proposed by Kontorovich et al(2012) that are 'knowledge base', 'heuristics & schemes', 'group dynamics & interactions', 'individual considerations of aptness', and 'task organization' in mathematical problem posing activities. In regards to 3 tasks, 5, 2, and 4 questions were made respectively and the ratio of 2 elements including 'group dynamics & interactions' and 'heuristics & schemes' was relatively high considering total frequency. Other than 5 elements proposed by Kontorovich et al(2012), the influence of 'control' and 'belief system' of Schoenfeld(1985), namely 2 elements in affective domain , was examined and it was revealed to have relatively low ratio of use as they were presented in 3 out of 11 questions. There was relative difference in the frequency of elements in use based on the type as each of task 1, 2, and 3 has different traits. The use of 'knowledge base' element was relatively high in Task 1 as it is 'problem posing from mathematical situation' type and deals with internal problems of mathematics, 'task organization' and 'heuristics & schemes' in Task 2 as it is 'problem variation from real world situation' and deals with external problems of mathematics, and 'problem-posing heuristics & schemes' and 'knowledge base' in Task 3 as it is 'situation based problem-posing activities' type and deals with internal problems of mathematics. As a result of analyzing the elements that have influence on the process of mathematical problem posing, the reason why problem posing activities have positive influence on the learning of mathematics could be identified. In the process of problem posing activities, the students could clarify the mathematical concepts through 'knowledge base', 'group dynamics & interactions', and 'task organization'. Namely, the students could clarify the mathematical concepts in possession which can be considered as 'knowledge base' as a result of using them in problem posing activities. Also, in regards to the misconceptions in mathematics, it was revised based on the counter-arguments of group members through the element of 'group dynamics & interactions'. The accurate meaning of the concepts was grasped by asking questions whether or not mathematical concepts in possession were right to the teacher and acquiring the answers on them. The students presented the aspect of problem solving activities by solving the problems created by themselves once again and undergoing the process of judging its aptness in the problem posing activities based on 'individual considerations on aptness'. It illustrates that the mathematical problem posing activities are important means to assist the problem solving. The element of 'heuristics & schemes' used in the problem posing process is to control the situation in problems and it enabled students to broaden the scope of understanding on the situations of mathematical problems. Also, it was revealed that the element of 'heuristics & schemes' applied to the process of solving and examining the problems created by themselves once again can be linked to the resolution of the problem. The students examined and revised the misconceptions in mathematics with the assistance of teachers, namely the element of 'task organization', during the problem posing activities and it also can be considered as the process to clarify the mathematical concepts and suggest the role of teachers. In addition, there was a difference in the ratio of 7 elements based on the type of tasks for the outcomes of total 11 problems regarding task 1, 2, and 3. Also, as there was a difference in the frequency of element use among 6 students, it can be considered as the mathematical trait of the students and the teachers would be able to proceed with the problem posing activities based on such traits of each student. Final outcomes of problem posing activities were acquired under the influence of above 7 elements in combination. In addition, more detailed division of 7 elements or the addition of other elements would be possible. Second, as the main strategies and traits that have influence on the mathematical problem posing activities, the examination and verification of the process, listing of target's attributes, problem posing with the use of variation attribute itself, problem posing by re-questioning the variation attributes, and others were presented in this study. This is the result of division and classification based on the strategies of Brown & Walter(1983). When the classification is conducted with the strategies proposed by Brown & Walter(1983), the aspect of 'internal exploration vs external exploration' and 'practical exploration vs hypothetical exploration' could not be seen although 'accurate exploration vs approximate exploration' among strategies of Stage 1 'Acceptance' was applied to the process of problem posing or verification of answer after the problem posing. In Stage 2 'What-If-Not' strategy, 3 types including Level Ⅰ (Listing of Attributes), Level Ⅱ (Creation of Variation Attributes), Level Ⅲ (Questioning and Problem-Posing on Variation Attributes) were presented but the aspect of Level Ⅳ(Questioning or Problem Analysis) could not be seen. Among strategies that highschool students used in problem posing activities, there was a common strategy regardless of the type of given tasks. It was 'accurate exploration vs approximate exploration' among Stage 1 of Brown & Walter(1983) and the students presented the aspect of approximate exploration during the problem posing, namely the problem posing after calculating with approximate value, and adjusted primarily acquired value through accurate exploration that verifies the answer. There also was the type of strategies that differs in usage based on the type of tasks given during the problem posing activities of highschool students. First, for Task 1 'problem posing from mathematical situations' type, it is a type which proposes certain situation and demands the problem posing based on the situation thus the strategy to add new information to proposed situation was mainly used due to its trait. For Task 2 'problem variation from real world situations' type, the problem such as 'find the value of ~.' is already given thus the strategy of problem posing to change the object or value in the problem was presented as its trait. For Task 3 'situation-based mathematical problem posing activities', the strategies to list the attributes of proposed situation (object), problem posing with the variation on such attributes, and re-questioning of variation attributes were mainly presented. The significance of this study lies in revealing the reason why mathematical problem posing activities have positive influence on the learning of mathematics through the examination on the elements that have influence on them and improving the instruction method of mathematical problem posing activities in aspect of teaching and learning. In addition, since there was a difference in the type of strategies used for each task, it would become a reference data in instructing the strategy with less frequency in use during the problem posing activities.