고등학생들의 유리함수와 점근선의 개념에 대한 이해 실태 분석

Abstract

The purpose of this research is to identify the level of understanding of students on the concepts of rational function and asymptote, by investigating the degree of understanding of the second year of high school students(11th grade) on the concept of the rational function and asymptote, and on the relation between the rational function and asymptote. For this purpose, following research questions had been established. 1. What are student conception of rational functions? 2. What are student conception of asymptotes? 3 What are student conception of relation between the rational function and asymptote? In order to address the above research questions, 108 students of P girls' high school in Seoul were chosen for this research . Inspection tools have been developed by the basis of Nair's research(2010) and current textbooks (7th revised education system) which have been modified and supplemented for this research. Developed inspection tools were reviewed by math teachers and professionals for enhancing reliability and validity, and preliminary inspections were made to correct inappropriate questions for the research. For analysis of the result of the research on the questions of the study, inspection data on 85 students out of 108 high school students were finally selected for analysis. Collected data were analyzed by using SPSS program through frequency analysis and cross analysis according to the questions of the study, thereby calculating frequencies and percentages. From the study, following conclusions were drawn. First, when rational functions and their graphs are used in describing the definition of the rational function, most students presented functional form of y=(ax+b)/(cx+d), or drew its graph. It can be inferred that the students understood the mathematical concepts through examples or graphs on which they studied in the class rather than formal concept definition. Some students wrongly described the definition of the rational function, many of these students describing the rational function as ‘the function composed of rational numbers’, which means that many students associated the term 'rational function' with rational numbers rather than rational expression. Many students regarded the expression including root square expression as not a rational function in the question of selecting rational functions and other functions, which confirmed the fact that students tend to confuse rational functions with rational numbers. Also, some students didn't recognize that rational functions include polynomial functions and fractional functions. Also, in determining rational functions, some students recognized only the function in the form of y=(ax+b)/(cx+d) as rational functions, which implies that the students had their own recognition and definition of the rational function based on the examples in the textbook containing these types of rational functions. Second, further inspections were made on the students who described the definition of asymptote through the function and its graph. Most students explained the definition by presenting the examples they studied while learning the rational function, and a few students explained the asymptote by drawing the graphs of exponential functions or tangent function. This showed that students have not accepted the concept of the asymptote as in the definition in the textbook, but memorized the concept through examples. Especially, many students recognized the asymptote as lines that do not cross the graph of the function. This may results from the fact that the rational function, exponential function and logarithmic function, which have been covered in the textbook in connection with the asymptote, show that the functions have the property that the graph of its function and asymptote do not meet. Especially when finding the horizontal asymptote, students were mechanically looking for the x value satisfying Q(x)=0 in y=(P(x))/(Q(x)), and had a difficulty in finding the vertical asymptote. Third, in order to investigate student conceptions of the relation between the rational function and asymptote, the function y=(-2x+3)/(x-2) is presented to the students. Some students found all asymptotes, but some of them drew wrong graphs since they didn't know that the graph of the function y=(ax+b)/(cx+d) is drawn in two kinds of shapes. It can be seen that these students used the asymptote as a means of drawing the graph of the rational function. Meanwhile, some students found the vertical asymptote only or and others the horizontal asymptote only, with the number of students who found the vertical asymptote was much larger. The reason seems that students, when looking for the vertical asymptote, mechanically solved the equation of the function to find the x value that makes the denominator zero, which made it much easier to find the vertical asymptote. Also, this research has been made on potential ability of the students to associate asymptotes with the concept of limits, although not covered in formal education system. The result showed that 29.41% of the students expressed the concept associating horizontal asymptotes with the concept of limits, and 18.8% of the students associating vertical asymptotes with the concept of limits. This result has a significant implication in that students can interpret the concept of asymptotes as limits if the students have a good understanding on the concept of the asymptotes and limits, although the formal definition of asymptotes, which can be explained in terms of limits, is not officially supposed to be taught in the class.;본 연구의 목적은 고등학교 2학년 학생들의 유리함수의 개념, 점근선의 개념, 유리함수와 점근선 사이의 관계에 대한 이해를 조사함으로써 학생들이 유리함수와 점근선의 개념에 대한 이해 정도를 알아보기 위한 것이다. 이를 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 연구 문제 1. 유리함수 개념에 대한 이해 정도는 어떠한가? - 유리함수의 정의를 어느 정도 진술하며 어떻게 인식하고 있는가? - 유리함수인 예와 아닌 예를 올바르게 구별할 수 있는가? 연구 문제 2. 점근선 개념에 대한 이해 정도는 어떠한가? - 점근선의 정의를 어느 정도 진술하며 어떻게 인식하고 있는가? - 함수와 그 그래프를 통해 점근선의 존재를 판단하고, 점근선의 방정식을 구할 수 있는가? 연구 문제 3 : 유리함수와 점근선 사이의 관계에 대한 이해는 어떠한가? - 유리함수와 점근선의 관계를 얼마나 이해하고 있는가? - 점근선과 함수의 극한의 개념을 연결하는 잠재적인 능력이 있는가? 이와 같은 연구 문제를 해결하기 위하여 서울시에 소재하고 있는 P여자 고등학교 2학년 학생을 대상으로 실시하였고, 자연계열에 해당하는 3개 학급의 학생 108명을 대상으로 선정하여 조사 연구하였다. 검사 도구는 Nair(2010)의 연구와 현행 제7차 개정교육과정의 교과서를 기초하여 제작되었고, 개발한 검사 도구의 신뢰도 및 내용타당도를 높이기 위해 현장 교사 2인과 전문가 3인의 검토를 받았고, 1명의 학생을 대상으로 예비검사를 실시하여 수정이 필요한 문항을 최종 수정하여 본 검사를 실시하였다. 연구 문제의 결과 분석은 고등학교 2학년 학생 108명을 대상으로 실시한 검사지에 대해서 총 85명을 최종 분석하였다. 수집된 자료는 SPSS프로그램을 사용하여 연구 문제에 따라 빈도분석, 교차분석을 실시하여 빈도수 및 백분율을 계산하였다. 본 연구를 통하여 얻은 결론은 다음과 같다. 첫째, 학생들이 유리함수의 정의에 대해서 기술할 때, 유리함수와 그 그래프를 통해 설명한 경우, 대부분의 학생들이 y=(ax+b)/(cx+d) 형태의 함수식을 제시하거나 그 그래프를 그렸다. 이를 통해 학생들이 수학적 개념에 대해 정확히 이해하고 있다기보다는 수학적 개념을 학습했던 단원에서 다루었던 예나 그래프를 통해서 그 개념을 이해하고 있다고 할 수 있다. 유리함수의 정의에 대해서 잘못 기술한 학생들 중 많은 학생들이 ‘유리수로 이루어진 함수’라고 기술하였는데, 이를 통해 학생들은 용어에 의해 개념을 형성하고 있음을 알 수 있고, ‘유리수’와 ‘유리식’의 차이에 대해서 구별하지 못하는 학생들도 있을 수 있음을 보여준다. 이렇게 학생들이 유리함수와 유리수를 관련지어 잘못 인식하고 있다는 사실이 유리함수인 예와 아닌 예를 구별하는 문항에서 뚜렷하게 나타났는데, 많은 학생들이 근호를 포함하면 유리함수가 아니라고 잘못 판단하였다. 즉, 많은 학생들이 유리함수라는 용어에서 유리식과 연결하지 못하고 유리수와 연결하고 있음을 알 수 있다. 그리고 ‘미지수가 분모에 있는 함수’라고 진술하거나 ‘미지수가 분자에 있는 함수’라고 진술한 경우, 전자는 학생들이 유리함수를 분수함수라고 인식하고 있고, 후자는 유리함수를 다항함수라고 인식하고 있는 것으로 유리함수가 다항함수와 분수함수를 통틀어 일컫는다는 것을 알지 못한다고 할 수 있다. 또한, 유리함수를 판단할 때 y=(ax+b)/(cx+d) 형태만 유리함수라고 인식하는 경우도 있었으며, 이 학생들은 유리함수를 학습하면서 교과서에서 다루었던 예를 통해서 유리함수의 정의를 스스로 개념화하여 인식하고 있는 것으로 보인다. 이를 통해 많은 학생들이 유리함수에 대한 정확한 개념을 모르고, 유리함수를 ‘유리수’와 관련하여 인식하거나 다항함수와 분수함수를 모두 일컫는 것임을 알지 못하였으며, 교과서에서 많이 다루었던 유리함수와 그 그래프에 의해서 영향을 받고 있음을 알 수 있었다. 둘째, 학생들이 점근선의 정의에 대해서도 정확한 정의를 기술하기보다는 교과서에서 보았던 그래프를 통해서 점근선의 의미를 이해하고, 학생 스스로가 개념을 형성한 경우가 있었다. 함수와 그 그래프를 통해서 점근선의 정의에 대해 기술한 학생들을 살펴보면, 대부분의 학생들이 유리함수를 학습할 때 다루었던 예를 제시하여 설명하였고, 드물게 지수함수의 그래프를 그리거나 탄젠트함수의 그래프를 그려서 점근선에 대해서 설명하였다. 이를 통해서 학생들은 점근선에 대한 개념을 교과서의 정의대로 습득하는 것이 아니라 예를 통해서 개념을 기억하고 있음을 알 수 있다. 특히 많은 학생들이 점근선과 함수의 그래프는 ‘만나지 않는다’라는 인식을 두드러지게 하고 있기 때문에 점근선에 대한 정의를 할 때 ‘무한히 가까워지지만 만나지는 않는 선’이라고 쓰거나 ‘만나지 않는 선’이라고 적었다. 이는 점근선과 관련하여 교과서에서 다루었던 유리함수, 지수함수, 로그함수 등의 점근선을 갖는 함수가 모두 함수의 그래프와 점근선은 만나지는 않았기 때문에 이러한 인식을 하고 있는 것으로 보인다. 또한 점근선의 존재 유무를 판단하고 점근선의 방정식을 올바르게 찾을 수 있는 지 확인하는 문항에서 함수의 그래프가 무한히 진동하지만 y=0(x축)에 한없이 가까워지는 함수를 제시하였을 때, 많은 학생들이 점근선이 없다고 잘못 판단하였다. 그렇게 판단한 이유로 몇몇 학생들이 함수의 그래프가 한없이 가까워지는 선이 있으나 만나기 때문에 점근선이 없다고 진술함으로써, 학생들이 점근선과 함수의 그래프는 만나면 안 된다는 인식을 하고 있음을 알 수 있었다. 이를 통해 많은 학생들이 점근선의 개념을 함수의 그래프와 만나지 않는 선이라고 인식하고 있으며, 특히 수평점근선을 찾을 때, y=(P(x))/(Q(x))에서 Q(x)=0을 만족하는 x의 값을 기계적으로 찾고 있었고, 수직점근선은 쉽게 찾지 못한다는 것을 알 수 있었다. 셋째, 유리함수와 점근선의 관계에 이해 정도를 살펴본 결과, 학생들에게 함수 y=(-2x+3)/(x-2)을 제시했을 때, 점근선을 모두 찾은 학생의 경우 y=(ax+b)/(cx+d) 의 그래프가 두 가지 개형으로 그려진다는 것을 생각하지 못하여 정답과는 다른 그래프를 그린 학생들이 있었다. 이 학생들은 유리함수의 그래프를 그릴 때, 점근선을 그래프를 그리기 위한 수단으로 이용하고 있다고 볼 수 있다. 그리고 점근선의 방정식을 수직점근선만 찾거나 수평점근선만 찾은 학생도 있으며, 이때 수직점근선을 찾는 비율이 훨씬 높다는 것을 알 수 있었다. 이는 학생들이 수직점근선을 찾을 때, 기계적으로 함수식에서 분모가 0이 되는 x값을 찾기 때문에 수직점근선은 쉽게 찾은 것으로 보인다. 이를 통해 학생들은 교과서에서 많이 다루었던 함수 y=(ax+b)/(cx+d)에 대해서도 정의되지 않는 실숫값으로 수직점근선을 찾음을 알 수 있었고, 수평점근선을 쉽게 찾지 못하였다. 또한, 교과서에 제시된 내용은 아니지만 학생들 스스로 점근선과 함수의 극한의 개념을 연결하는 잠재적인 능력을 지니고 있는 지 살펴본 결과, 29.41%의 학생들이 수평점근선과 극한 개념을 연결하여 표현하였고, 18.8%가 수직점근선과 극한 개념을 연결하였다. 이는 점근선에 관한 공식적인 정의는 함수의 극한으로 설명되는데, 이 내용을 교육과정에서 지도하도록 명시하지 않았더라도 학생이 점근선의 개념과 함수의 극한에 대해 잘 이해하고 있다면 점근선의 개념을 함수의 극한으로 해석할 수 있다는 것에 큰 의의가 있다. 이를 통해 학생들이 개념을 확실히 이해하고 있다면 교육과정 내의 학습내용이 아니더라도 서로 밀접하게 연결되어 있는 개념들을 스스로가 형성할 수 있는 잠재적인 능력이 있음을 보여준다.