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중학교 1학년 학생들의 일반화 능력 및 탐구 유형 분석

Title
중학교 1학년 학생들의 일반화 능력 및 탐구 유형 분석
Authors
강지윤
Issue Date
2004
Department/Major
대학원 수학교육학과
Publisher
이화여자대학교 대학원
Degree
Master
Abstract
전통적인 대수 학습은 기호를 형식적으로 제시하는 도입 방법을 쓰고 있으나, 새로운 대수 교육과정 개선 노력은 사고 중심 대수 교육을 강조하고 있으며 이와 함께 다양한 대수 도입 접근 방안에 대한 연구도 이루어지고 있다. 대수 도입의 대안적인 접근 방법으로는 문제 해결을 통한 도입, 모델링을 통한 도입, 함수적인 상황을 이용한 도입, 그리고 일반화를 통한 도입 등을 들 수 있다. 대안적인 대수 도입 방법 중 일반화는 산술에서 대수로 전이되는 시기에 있는 학생들에게 양들 사이의 관계를 파악하고 그 관계에서 나타나는 규칙성을 표현하면서 자연스러운 기호 사용을 유도할 수 있다. 또한 일반화는 학생들이 오랜 기간에 걸쳐 학습해 온 산술적인 경험을 고려하면서 대수적 사고를 이끌어 낼 수 있는 중요한 수학적 사고 중의 하나이기도 하다. 일반화를 통한 대수 학습 지도를 위한 기초 자료를 제공 하고 학생들의 사고에 대한 이해를 돕고자 본 연구자는 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 연구 문제 1. 중학교 1학년 학생들의 일반화 능력은 어떠한가? 연구 문제 2. 중학교 1학년 학생들의 일반화 탐구유형은 어떠한가? 본 연구를 수행하기 위하여 서울시 소재 두 곳의 중학교에서 각각 1학년 5개 반을 선정하였고 '문자와 식' 단원을 학습하기 직전의 중학교 1학년 학생 362명을 대상으로 하였다. 그리고 중학교 1학년 학생들의 일반화 능력과 일반화 탐구유형을 분석하기 위해 현행 교과서를 참고하여 본 연구자가 제작한 검사 문제로 검사를 실시하였다. 학생들의 일반화 능력을 분석하기 위하여 선행연구를 바탕으로 하여 일반화 능력 요소를 도출하였고, 학생들의 일반화 능력을 분석하였다. 그리고 학생들의 사고에 대한 이해를 돕고자 서술형 문항에서 나타난 학생들의 반응을 분석하여 일반화 탐구 유형을 살펴보았다. 일반화 능력 평가 요소에 근거하여 학생들의 일반화 능력을 정답률로 분석해 본 결과는 다음과 같다. 수학적인 사실에서 규칙을 발견하는 것에는 80.3%를 나타냈고, 이것을 명확히 인식하고 언어로 표현할 수 있는 학생들은 40.33%로 나타났다. 두 문제나 상황사이에서 공통적인 사실(유사성)이나 차이점을 인식하는 학생들은 40.05%였고, 일반화된 결과를 구체적인 상황에 적용할 수 있는 학생은 43.92%로 나타났다. 또한 N번째 수가 얼마인지 문자를 사용하여 나타낼 수 있는가에 대해서는 22.91%의 학생들이, 이러한 일반화된 결과를 설명할 수 있는가에 대해서는 4.69%의 학생들이 정답으로 인정되었다. 이러한 결과에서 일반화를 통한 대수 학습에서 주어진 양들 사이를 관계를 파악하여 여기서 파악한 규칙성에서 문자가 자연스럽게 학생들에게서 도입될 수 있는 가능성을 확인하였다. 반면 일반화 평가 요소5와 요소6에서 문항Ⅰ-6에서 기호로 일반화된 식을 나타낸 학생이 33.14% 임에 비해 이를 설명할 수 있는 학생이 4.69%였고, 문항Ⅱ-2에서는 28.4%인데 반해 6.9% 그리고 문항Ⅳ-1-2에서 7.18%의 학생이 답을 내었고 이를 설명할 수 있는 학생은 4.86%였다. 이러한 결과에서 대수 학습 이전의 중학교 1학년 학생들은 일반화된 결과를 기호를 사용하여 나타내는 것 보다 일반화된 식에서 학생들이 자신의 답을 설명하는 것에 더욱 어려움을 느끼고 있음을 알 수 있다. 또한 표나 기호를 사용하여 규칙성을 표현할 때 보다 문제에서 파악한 규칙성을 말로 나타내면서 변하는 양을 인식하고 있음을 확인할 수 있다. Lannin의 연구에서 나타난 학생들의 탐구유형을 근거한 분류에서 전후관계에서 규칙을 구성하여 일반화 하는 학생들이 각각 33.42%와 35.64%로 공통적으로 높은 것으로 나타났다. Lannin은 학생들의 대수적 추론의 전략은 교사들로 하여금 학생들의 공통적인 오류(error)를 확인하여 유용한 일반화를 구성하도록 도울 수 있다고 하였다. 또한 전후관계에서 규칙을 구성하기(Contextual)는 문제에서 일반화를 구성할 수 있는 가장 바람직한 방법이라고 하였는데 일반화 탐구 유형의 분류 결과에서 문항Ⅰ-5와 문항Ⅱ-3의 각 탐구 유형의 학생들 비율에서 일반화 탐구 유형4외의 학생들은 문제가 좀 더 복잡해지자 다른 탐구 방법을 시도하였음을 알 수 있다. 이것은 보다 복잡한 문제의 경우라도 전후 관계에서 규칙을 파악하여 일반화하는 것이 유용한 방법임을 나타내 준다. 전체 정답률에서 문항Ⅰ과 문항Ⅱ, 그리고 문항Ⅲ에 비해서 문항Ⅳ의 정답률이 저조한 것은 문항Ⅳ가 문항Ⅰ과 문항Ⅱ에 비해 규칙을 찾는 과정에 대한 유도가 적다는 것과 문항Ⅰ과 문항Ⅱ가 유사하여 학생들이 규칙을 예상하기가 더욱 쉬웠다는 것이 한 원인이 될 수 있다. 아울러 학생들이 초등학교 때부터 다루어 온 문항에 대하여 일반화를 유도함이 정답률에 영향을 준다고 생각해 볼 수 도 있다. 이상에서 살펴본 연구 결과를 토대로 다음과 같은 제언을 하고자한다. 첫째, 본 연구는 주관식 단답형과 서술형을 혼합한 지필검사의 형태로 설계되었다. 그러나 지필 검사만으로는 학생들의 사고과정을 면밀히 분석하는 데에는 어느 정도 한계가 있다. 그러므로 학생들의 사고에 대한 이해를 돕기 위해 심층 면담을 실시하여 학생들의 답안 이면에 포함되어 있는 다양한 사고에 대한 분석이 필요하다고 여겨진다. 둘째, 지필 검사만으로는 학생들의 사고과정을 면밀히 분석하는 데에는 어느정도 한계가 있다. 하지만 40%의 학생들이 문항에서 파악한 규칙성을 언어로 명확하게 기술하면서 변하는 양을 인식하고 있음을 알 수 있는데, 이러한 과정에서 변하는 양을 나타내기 위한 지도로서 자연스러운 변수 개념을 도입해 볼 수 있다. 셋째, 일반화 능력 분석에서 학생들은 일반화된 결과를 기호를 사용하여 나타내 는 것 보다 일반화한 식을 설명하는 것에 더욱 어려움을 느끼고 있음을 알 수 있는데, 일반화를 통한 대수지도에서 문항을 해결한 뒤에 자신의 답을 다른 학생들에게도 설명해 보게 하는 습관을 기를 수 있도록 할 필요가 있다. 이는 Lannin의 일반화 탐구 유형에서도 확인할 수 있었는데 공식을 추측하지만 자신의 답을 설명하지 못하는 학생들에게는 좋은 지도가 될 것이라 생각한다. ;Traditional algebra study takes formal approaching, but new attempt to improve algebra curriculum considers reasoning most importantly. And, with this attempt, various researches on approaching concerning the introduction of algebra are currently on going. There are problem-solving perspective on the introduction of algebra, modeling perspective on the introduction of algebra and generalization perspective on the introduction of algebra concerning alternative ways of introduction of algebra. Generalization could induce students who are at the period of studying between arithmetic and algebra to recognize relation between quantities, to use symbols naturally expressing the regularity appearing in the relation. Also, generalization is one of the important ways to induce students to have algebraical thinking considering arithmetical experience that has been learned for a long time by them. I have conducted researches on approaching algebra through generalization perspective with assuming that generalization is able to be acquired by regularity which is derived from reasoning the relation between the quantities and figuring out the quantitative condition and the pattern of them. To provide fundamental data for algebra instructions through generalization, and to help understanding about reasoning of the students, I've set following questions. First, How is ability for generalization of Middles School Freshmen? Second, How are the types of investigation for generalization of Middles School Freshmen? To conduct these researches, I selected 362 middle school freshmen, those are before stepping into the course of □□character and formula', from 5 classes among 2 middle schools in Seoul. And, to analysis for generalization of Middles School Freshmen and their types of investigation, I made survey paper by myself and used it to examine them based on current textbook. To analysis the students' ability for generalization, I pulled out elements of generalization ability based on previous studies, and analyzed their generalization ability. And to help understanding about their thinking , I have checked the types of investigation for generalization. Results of analysing students' generalization ability based on its elements at the rate of correct answers are like following statements. Among entire students, 80.3% of them is able to find rules from mathematic facts and 40.33% of them is able of apparent understanding the rules and expressing them in language. Students who can figure out common facts(similarities) or differences between two questions or situations take 40.05% and those able to apply generalized results to a specific situation take 43.92% among entire students. And 22.91% of them answered correctly to the question; How would it be written in symbols to express Nth number and 4.69% of them answered correctly to the question; Can you explain these generalized results From these results, I have confirmed possibility of that students naturally accept characters acquired from recognizing relation between given quantities and rules derived from that relation. While, students who expressed generalized formula by symbols at generalization element 5 and 6, question I-6 were 33.14%, but only 4.69% was able to explain it. Likewise, students who expressed generalized formula by symbols at question II-2 are 28.4% but only 6.9% is able to explain it. To question IV-1-2, 7.18% answered and 4.86% was able to explain it. From this result, we can know that middle school freshmen who are before learning algebra yet, have more difficulties using expressions than using symbols to express generalized results in explaining their answer. Also, we can know that they are rather to express regularity in verbal language than do it by using charts or symbols. That proportion of students who makes generalization by contextual was about each 46.4% and 35% on category of students' types found in Lannin's study, means it takes high proportion on both types. Lannin said that student's strategy using algebraic reasoning could be helpful for teachers to construct available algebraic generalization by confirming errors commonly made by students. He also said that contextual is the most desirable method to make a generalization dealing with question. Seeing the rate of each type's students of question I-5 and II-3 at classification of investigation types for generalization, we can know that students, except those of type 4, tried to use other ways to solve the problem when it became more complicated. This shows us that contextual is also an useful way, when it comes with more complicated problems. That question IV require less inducement to process for searching regularity than question I and II, and that students easily expect regularity because question I and II are similar could be the factors of that rate of correct answers to question IV was prominently low than to question I, II and III. Students using contextual take about 40% in the result of categorization of investigation for generalization. Also, it could be said that students' inducement for generalization to the questions with which they have dealt has effects on the rate of correct answers. At the end of this research, I would like to make following suggestions. First of all, survey demanding students to write both an essay and a simple answer to question is used in this research. There are some bounds, however, on analysing the student's process of thinking when writing is demanded only. Therefore, it is considered that analysing students' diverse thinking is needed by using thorough interview to understand their thinking. Secondly, paper test is a limited way to analyze students' process of thinking thoroughly, but knowing that describing regularity in language evidently which they figured out from the questions, 40% of students recognize changing quantities, we could accept a natural concept of the fluent as a guidance to show the changing quantities. Thirdly, knowing that students feel difficult more to explain generalized expression than to express generalized results by using symbols , it needs to make them have a habit to explain their answer to others after solving the problem at the time of algebra instruction through generalization.
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