고등학생들의 수학적 귀납법에 의한 증명능력 분석

Abstract

수학적 귀납법은 추상화된 자연수 개념을 이용한 증명방법으로 귀납 추론과 증명을 연습하고, 귀납적이고 연역적인 사고를 기르게 하여 수학적 사고력 향상과 문제 해결 능력 향상, 그리고 귀납적 추론 능력을 발달시킨다. 그런데, 고차원적인 사고활동을 요구하는 증명의 특성과 수학적 귀납법에 내포된 독특성으로 인해 학생들은 수학적 귀납법에 의한 증명을 매우 어려워한다. 지금까지의 여러 연구들은 이러한 사실을 지적하고 있지만, 학생들의 수학적 귀납법에 의한 증명능력을 깊이 있게 파악한 연구는 거의 없었다. 또, 어려움의 원인을 현행 교육과정 등의 외부적인 요인으로 볼 뿐 학생들이 경험하는 어려움에 대한 체계적인 연구가 이루어지지 않았다. 이에 본 연구는 고등학생들의 수학적 귀납법에 의한 증명능력과 수학적 귀납법에 대한 이해의 실태를 파악하고, 수학적 귀납법에 의한 증명에서 학생들이 경험하는 어려움의 특성과 원인을 분석하여 수학적 귀납법에 의한 증명능력을 향상시키기 위한 연구의 기초 자료를 제공하고 나아가, 교수-학습 과정을 계획하고 지도하는데 도움이 되고자 하였다. 이러한 연구의 목적을 달성하기 위해 다음 세 가지의 연구 문제를 설정하였다. 첫째, 고등학생들의 수학적 귀납법에 의한 증명능력은 어떠한가? 둘째, 고등학생들은 수학적 귀납법에 의한 증명을 이해하고 있는가? 셋째, 수학적 귀납법에 의한 증명에서 고등학생들이 경험하는 어려움은 무엇인가? 또, 이러한 어려움의 원인은 무엇인가? 연구를 수행하기 위하여 서울특별시에 소재하고 있는 학력수준이 중위권인 K고등학교를 선정하여 2학년 4개 반 123명(어문사회계열 58명, 이학공학계열 65명)의 남학생들을 대상으로 문항 검사와 면담 조사를 실시하였다. 문항 검사의 결과에 대한 1차 분석을 한 후 연구대상 학생 중 37명을 대상으로 학생들의 대답을 더 명확히 하고 상세화 하기 위하여 면담을 실시하였다. 면담 후 1차 분석 결과와 면담 자료를 통합하여 최종 분석을 하였다. 연구 문제 1을 위해 문항 검사의 결과를 점수로 나타내어 분석하였고, 연구 문제 2를 위해 절차적 지식과 개념적 지식의 두 가지 측면에서 이해의 정도를 살펴보았다. 연구 문제 3을 위해 수학적 귀납법에 의한 증명에서 학생들이 경험하는 어려움을 요인별로 범주화하여 그 특성과 원인을 살펴보았다. 이를 위해 먼저 문헌 연구를 통해 어려움의 요인을 - 절차적 지식, 개념적 지식, 논리적 지식, 수학적 내용 지식, 정의적 요인, 친숙성과 경험의 6가지로 범주화하였다. 본 연구에서 얻은 결과를 바탕으로 다음과 같은 결론을 내릴 수 있었다. 첫째, 고등학생들의 수학적 귀납법에 의한 증명능력은 매우 낮다. 1개의 증명 쓰기 문제와 4개의 증명 분석 문제 각각의 평균은 모두 2점 이하(평균 4점 만점 중)로 낮은 편이었고, 다섯 개 문제의 총 평균은 1.5512로 매우 낮은 편이었다. 또, 각 문제별로 0점을 받은 학생들이 현저히 많음을 알 수 있었다. 특히, 증명 쓰기 문제에서 전체학생의 29.27%는 증명 쓰기를 시작조차 하지 못했다. 증명 단계에 대한 절차적 지식, 귀납단계의 가설에 관한 논리적 지식, 대수적 내용 지식 등이 수학적 귀납법에 의한 증명능력의 중요한 선행요건으로 확인되었다. 특히, 대수적 내용 지식은 기호 조작 뿐 아니라 문제를 적절하게 이해하고 표현하는데 매우 중요하다는 것을 알 수 있었다. 둘째, 대부분의 학생들은 절차에 대한 이해가 개념에 대한 이해보다 더 발달하였다. 연구대상 학생의 86.98%가 수학적 귀납법의 개념을 거의 이해하지 못하고 있었다. 학생들은 수학적 귀납법에 대한 일반적인 개념과 증명의 절차적 구성요소에 혼란을 가졌다. 수학적 귀납법을 배우기 시작할 때 초기경우와 귀납단계의 절차가 강조된다는 점과 대부분의 문제에서 개념보다는 절차가 초점이 된다는 점이 원인으로 파악되었다. 한편, 많은 학생들이 절차적인 면을 이해하는데도 어려움을 겪는 것으로 나타났다. 많은 학생들이 절차를 서술하는 것을 어려워했고, 수학적 귀납법을 대수적인 용어로만 서술하거나 애매하게 설명했다. 학생들은 수학적 귀납법에 대한 절차적 지식과 개념적 지식을 잘 연결시키지 못하고 있었고, 이로 인한 인지적 과부하를 경험하고 있었다. 절차와 개념이 하나의 인지적 스키마로 녹아들고 결합될 때 학생들은 비로소 진정한 이해에 도달하게 되고, 인지적 부담은 감소될 것이다 셋째, 수학적 내용 지식과 개념적 지식이 수학적 귀납법에 의한 증명에서 학생들이 경험하는 어려움의 주요 요인으로 파악되었다. 또, 요인별로 어려움을 분석하여 각 요인별로 어려움의 특성과 원인을 알 수 있었다. 본 연구의 결과가 수학적 귀납법에 의한 증명 지도에 주는 시사점은 다음과 같다. 첫째, 성공적인 증명학습을 위해서는 충분한 수학적 내용 지식이 요구된다. 교사는 증명에 대한 지도와 평가에서 학생들이 수학적 내용 지식에 숙련되었다고 가정해서는 안 된다. 이것은 학생들에게 추가적인 인지적 부담을 줄 수 있다. 둘째, 학생들이 증명을 하는데 있어 예제는 중요한 역할을 하였다. 학생들은 유사한 증명을 하거나 증명에 대한 통찰을 얻기 위해서 예제를 사용하였다. 교사는 이러한 사실을 교수-학습에 활용할 방법을 모색해야 한다. 셋째, 증명 분석 문제는 증명의 중요한 특징을 나타내고 증명의 다음 단계에 해야 할 것과 개념에 대한 통찰력을 주기 때문에 교수에 도움이 될 수 있고 학생들의 증명능력을 향상시키는데 도움이 될 것이다. 넷째, 학생들은 수학적 귀납법에 의한 증명을 매우 어려워한다. 교사는 수학적 귀납법의 지도에 있어 학생들이 경험하는 어려움에 대해 정확히 알고 있어야 한다. 따라서 교사는 수업을 계획하고 실행할 때 학생들의 과정을 모니터해야 한다. ;Proof by mathematical induction uses abstract natural numbers. It helps exercise inductive reasoning and proof, develops inductive and deductive way of thinking ability and then finally improves mathematical thinking ability, problem solving ability and inductive reasoning ability. However, students have difficulties proving by mathematical induction because of characteristics of proof that requires highly sophisticated thinking activity and uniqueness of mathematical induction itself. On the other hand, studies done so far point out these facts but few studies seriously have looked students' proving ability of mathematical induction. In addition, most studies attribute students' difficulties to the external factors such as current mathematical curriculums and hardly pay attention to the difficulties that students might have. Therefore, this study aims to investigate high school students' proving ability of mathematical induction and their understanding level on mathematical induction and analyze the characteristics and causes of the difficulties that students have. And it finally intends to contribute to improving students' proving ability of mathematical induction and to help design teaching-learning process. To these aims, three research questions are developed. First, what is the current level of high school students' proving ability of mathematical induction? Second, do they understand proof by mathematical induction? Third, what are the difficulties that high school students experience in proof by mathematical induction? And, what are the causes of the difficulties? For the test and interviews, K high school's boy students are recruited as the subject. K high school, located in Seoul, represents a middle-level academic ability and 123 students are selected from four classes of second year's students (58 students from liberal arts and 65 students from science and engineering). After the test is completed, additional interviews were conducted for 37 students in order to clarify students' answers in the previous test. Final analysis was carried out by combining the results of test and interviews. For research question 1, scores were given to each answer and for research question 2, level of understanding was analyzed from two different aspects, procedural and conceptual knowledge. For research question 3, causes of difficulties that students experience are categorized and further analyzed. In advance, the causes of difficulties were categorized into 6 factors through literature review; procedural knowledge, conceptual knowledge, logical knowledge, mathematical content knowledge, affectivefactor, familiarity and experiences. Through the research, I come to the following results. First, high school students' proving ability of mathematical induction is very low. Average score of each problem of one proof-writing problem and four proof-analysis problemswas as low as less than 2 on 4 scale and average score of total problems was very low as 1.5512. Meanwhile, quite a lot students were given 0 score in each problem and especially, in case of proof-writing, 22.27 % students could not even start. Procedural knowledge on proving steps, logical knowledge on hypothesis of inductive step and algebraic content knowledge are confirmed as important advance conditions for the proving ability of mathematical induction. Especially, algebraic content knowledge is very important not only for symbol operation but also for the proper understanding and expression of problems. Second, most students understand procedure better than concept. 86.98% subject hardly understands the concept of mathematical induction. Students confused general concept with procedural construct factors of mathematical induction. The reason is that when most students begin to learn mathematical induction, the procedure of basic case and inductive steps is too emphasized and for most problems, procedure is regarded as more important than concept. On the other hand, most students didn't understand procedure well. That is they had difficulties describing procedure anddescribed mathematical induction just with algebraic terms or vaguely. Students don't link procedural knowledge with conceptual knowledge of mathematical induction, as a result, they experience cognitive difficulties. Procedureand concept need to be combined into cognitive schema together so that students come to fully understand proof by mathematical induction and their cognitive burden will be resolved. Third, mathematical content knowledge and conceptual knowledge are major causes of difficulties that students have in proof by mathematical induction. In addition, characteristic and cause of difficulty in each factor were discussed in the study. This research conclusion suggests some important points on how to instruct students in proof by mathematical induction. First, sufficient mathematical content knowledge is necessary. Teacher should not assume that students are good at mathematical content knowledge when instructing and evaluating. This will impose additional cognitive burden on students. Second, examples play an important role. Students use examples to prove similar problems or to get insight. Thus, instructors have to make efforts to find out how to utilize examples in teaching-learning process. Third, proof analytic problem is helpful for teachers in that it shows important characteristics of proof and gives insight on the next step and concept. It will finally help students to improve their proving ability. Fourth, students have difficulties in proving by mathematical induction. Teachers should find out fully why students have difficulties. Thus, teachers should monitor students closely when they design the class and instruct students.