대수 문장제 해결과정에서의 유추적 전이 효과와 추상적 도식설의 검증

Abstract

유추(analogy)는 다양한 개념, 상황, 영역사이의 지식을 전이시키는데 중요한 역할을 하며, 문제해결과 추론 뿐 만이 아니라 새로운 영역을 이해하는데 사용된다. 더 나아가 창의적인 사고, 의사소통과 설득을 위한 수단이 되며 단어의 의미이해와 개념형성 등과 같은 인지적 처리과정에 기초가 된다. 또한, 유추는 유사성을 바탕으로 어떤 대상에 대하여 성립하는 성질로부터 그와 유사한 대상의 성질을 추측하는 것으로 상황사이의 관계적 성질에 주목하여 패턴이나 법칙을 다루는 수학 학습에 매우 필요한 강력한 사고 도구가 된다. 이와 같이 유추는 인간의 인지활동에서 특히 중요한 역할을 하므로, 수학 학습에서 중요한 함의를 갖는다. 우리는 유추를 이용해 어떤 개념을 이해하고 개념을 확장시키며 문제를 해결할 수 있다. 본 연구에서는 대수 문장제를 사용하여 힌트 조건, 그림·도표 조건, 원학습의 양을 조작하였을 때, 학습문제와 검사문제의 유사성에 따른 동치, 동형, 유사문제 해결에서 유추적 전이의 효과와 추상적 도식설을 검증하고자 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 문제 구조가 시각적으로 제시되지 않은 경우, 힌트 유무와 동치/동형문제에 할당된 그룹조건에 따라 동치/동형문제와 유사문제 해결에 차이가 있는가? 2. 문제 구조가 시각적으로 제시된 경우, 힌트 유무와 동치/동형문제에 할당된 그룹조건에 따라 동치/동형문제와 유사문제 해결에 차이가 있는가? 3. 힌트가 주어지지 않은 경우, 그림·도표 유무와 동치/동형문제에 할당된 그룹조건에 따라 동치/동형문제와 유사문제 해결에 차이가 있는가? 4. 힌트가 주어진 경우, 그림·도표 유무와 동치/동형문제에 할당된 그룹조건에 따라 동치/동형문제와 유사문제 해결에 차이가 있는가? 5. 문제 구조가 시각적으로 제시되고 힌트가 있는 경우, 학습량과 동치/동형문제에 할당된 그룹조건에 따라 동치/동형문제와 유사문제 해결에 차이가 있는가? 또한, 이 결과로 추상적 도식설을 설명할 수 있는가? 이 연구문제를 해결하기 위해, 서울 시내에 소재한 S중학교와 G중학교 1학년 학생 354명을 연구대상으로 하였다. 유추적 전이 효과를 검증하기 위한 검사도구는 학습문제와 검사문제의 유사성에 따라 동치문제, 동형문제, 유사문제로 분류하였고, 문제 유형은 혼합물 문제와 일 문제이다. 자료처리는 SPSS 10.0 프로그램을 사용하여 다변량분석을 실시하였다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 힌트 유무에 관계없이 그룹간에 유의한 차이가 있었다. 즉, 동치문제를 동형문제보다 더 잘 해결하였고, 유사문제 해결에 있어서도 동치그룹이 동형그룹보다 유사문제를 더 잘 해결하였다. 또한, 동치/동형문제 해결에 비해 유사문제 해결에 있어서 수행이 상당히 저조하였다. 이는 힌트(참고허용)가 주어졌는데도 문제해결에 유의한 차이를 보이지 않은 것은 기억요인보다는 개념적 이해가 중요함을 알 수 있고 해결절차를 변형시켜야 하는 유사문제를 대부분의 학생들이 어려워함을 알 수 있다. 둘째, 그림·도표의 영향은 힌트가 없을 때 동치/동형문제와 유사문제 해결에 향상을 가져왔고, 힌트(참고허용)가 있을 때는 그림·도표의 영향이 없었다. 따라서, 그림·도표의 제공은 힌트가 없을 때 개념적 이해를 돕는다고 할 수 있다. 셋째, 힌트 유무에 따라 유사문제 해결에 유의한 차이가 있었다. 즉, 그림·도표 조건과는 상관없이 힌트(참고허용)가 있을 때 학생들은 유사문제를 더 잘 해결하였다. 넷째, 학습량이 증가된 경우, 그룹에 따라 동치/동형문제와 유사문제 해결에서 동치그룹이 동형그룹보다 더 잘 해결하였다. 또한, 동치그룹 내에서 학습량에 따라 유추적 전이에 유의한 차이가 있었고, 동형그룹 내에서도 학습량에 따라 유추적 전이에 유의한 차이가 있었다. 이는 학습량이 증가함에 따라 표면적인 내용보다는 구조적인 유사성을 더 주목하게 됨으로써 어떤 새로운 지식 구조가 생성됨을 알 수 있다. 따라서 충분한 학습이 이루어지면 추상적 도식이 유도된다고 말할 수 있다. 이상의 연구에서 학습문제와 검사문제의 유사성에 따른 유추적 전이 수행에 있어서 대부분의 학생들이 동형문제와 유사문제 해결에 어려움을 보였다. 이는 학생들이 유추적 문제해결의 경험이 적어 문제의 구조적 유사성을 주목하는데 어려움을 보였기 때문으로 볼 수 있다. 힌트조건, 그림·도표조건은 전이를 촉진시키지 못하였고, 학습량을 증가시킨 조건에서 전이가 촉진되었다. 이는 학교 현장에서 다양한 보기 문제의 제시를 통해 충분한 개념적 이해뿐 만 아니라, 유추적 추론 능력을 향상시키기 위한 교수 프로그램 개발을 통하여 유추적 문제해결 경험을 증가시킬 필요가 있음을 시사한다. 따라서, 본 연구를 토대로 보다 나은 후속 연구를 위해 다음과 같이 제언하고자 한다. 첫째, 수학 문장제를 해결할 때 구조적 분석을 증가시키기 위해 문제 분류 과제와 유추 문제 구성 과제 등을 포함하는 수업 프로그램을 개발하여 유추적 전이가 촉진되는지 연구될 필요가 있다. 둘째, 유추적 전이과정에서의 구체적인 인지과정을 알아보기 위해 소리내어 말하는 과제나 유사성을 쓰게 하는 과제 또는 비슷한 문제들의 개념을 짝짓는 과제를 사용하는 등 좀 더 세밀한 실험 연구가 필요하다. 셋째, 유추적 전이에 있어서 배경지식, 작업기억용량, 과제의 난이도 등의 영향을 고려한 실험과제와 극복방안이 연구될 필요가 있다. 넷째, 유추적 전이과정에서 사상과 적합 과정을 따로 분리하여 사상과정보다는 적합 과정이 유추전이의 성공과 더 많은 관련이 있다는 연구(Novick & Holyoak, 1991; Chen, 1996)에 대한 관심이 증가하고 있다. 따라서, 이에 대한 실험 연구가 필요하다. 끝으로, 추상적 도식설에 관한 연구에서 성공적인 유추전이는 새로운 지식 구조인 도식을 유도한다는 주장에 대해 반대 결과를 보이는 연구도 있다(Reed, 1989; Donnelly & McDaniel, 1993). 이를 검증하기 위한 연구가 좀 더 구체적이고 정교하게 구성된 과제를 통해 실험 연구될 필요가 있다. ; Analogy, based on a similarity, is to infer the properties to similar objects from ones to an object. It can be a very useful thinking tool for learning mathematical patterns and laws, noticing on relational properties among various situations. The purpose of this study, when manipulating hint conditions, figure and table conditions and the amount of original learning by using algebra word problems, to verify the analogical transfer effects and schema abstraction in solving equivalent, isomorphic and similar problems according to the similarity of source problems and target ones. Following study questions are set up for the above purpose. 1. If problematic structure is not given visually, are there any differences in solving equivalent/isomorphic problems and similar ones according to hints and conditions allocated to equivalent/isomorphic problem group? 2. If problematic structure is given visually, are there any differences in solving equivalent/isomorphic problems and similar ones according to hints and conditions allocated to equivalent/isomorphic problem group? 3. If the hint is not given, are there any differences in solving equivalent/isomorphic problems and similar ones according to the condition of figures and tables in each group and the condition allocated to equivalent/isomorphic problem group? 4. If the hint is given, are there any differences in solving equivalent/isomorphic problems and similar ones according to the condition of figures and tables in each group and the condition allocated to equivalent/isomorphic problem group? 5. If problematic structure is given visually, are there any differences in solving equivalent/isomorphic and similar problems according to conditions allocated to equivalent/isomorphic problem groups and amount of original learning? And could this result explain the schema abstraction? It was 354 first year students of S and G middle schools in Seoul that were experimented for this study. In order to testify analogical transfer effects in the process of problem-solving, the problems were classified with three types such as equivalent, isomorphic and similar problems according to similarity of source problems and target ones. There are mixture and work problems in each type. The data was processed by MANOVA analysis of statistic program, SPSS 10.0. Followings are the result of the study. First, there were meaningful differences among groups regardless of hints. In other words, the subjects could solve equivalent problems more correctly than isomorphic ones. And in solving similar problems, the students (equivalent group) that solved firstly equivalent problems and then did similar problems were more correct than the students (isomorphic group) that solved firstly isomorphic problems and then did similar problems. Second, figures and tables have an effect on solving equivalent/isomorphic and similar problems when there is no hint. Third, the existence of hint resulted in some meaningful differences in solving similar problems. Fourth, when the amount of learning was increased, the equivalent group could perform better than isomorphic group in solving equivalent/isomorphic and similar problems. And there were meaningful differences in analogical transfer according to the amount of learning within not only equivalent group but isomorphic one. Therefore, it is said that sufficient learning could induct schema abstraction. These results would indicate that most students would be poor at solving isomorphic and similar problems in the performance of analogical transfer according to the similarity of source and target problems. Hints, figure and table conditions did not facilitate the analogical transfer. Merely, on the condition that amount of learning was increased, analogical transfer of the students was facilitated. Therefore, it is necessary for students to have opportunities to experience much more analogical problem-solving through the mathematics instruction program development to improve the analogical reasoning ability of the students in the educational fields.