비판적 사고력과 증명능력과의 관계와 증명방법에 대한 분석

Abstract

최근 들어 사고력 교육의 필요성이 더욱 강조되면서 사고력 교육에 대한 논의도 활발히 전개되고 있다. 21C로 접어들면서, 현대사회는 지식기반, 정보화 기반 사회로 변화해 가고 있기 때문에(교육부, 1999) 정보에 대한 접근기회가 확대됨으로 인하여 정보를 기억하고 재생하는 능력보다는 정보를 합리적으로 선택하고 새로운 정보를 창출하여 문제를 창의적이고 비판적으로 해결할 수 있는 능력과 함께 다양한 규범들 속에서 일관된 행위기준들을 발견함으로써 올바르게 판단하고 사태에 대처하는 자질이 요구되기 때문에 비판적 사고력의 중요성이 강조되고있다. 수학교육의 중요한 목적 중의 하나는 귀납에 의한 개연적 추론 능력과 함께 강력한 정당화의 논리인 연역적 추론 능력을 개발하는 것이다. 전통적으로 수학 교육은 연역적 사고 경험, 증명의 본질 이해, 증명 능력 개발, 엄밀한 논리적 사고 능력과 태도의 함양을 통해 두뇌의 질서와 합리성의 개발에 기여하는 사고력 도야의 수단으로 인식되어왔다. Fawcett(1938)는 기하적 증명을 연구하는 목적을 "비판적이고 반성적인 생각을 신장하는데"있다고 이해했지만 그 때에도 지금에도 수학교육 단체는 이 목표를 달성하기 위해 교수 방법들을 가지고 고심했다. 그러나 수학적으로 사고하는 힘을 기를 수 있는 증명능력과 비판적 사고의 상관관계에 대한 연구가 이루어지지 않았기에 본 연구에서 알아보도록 한다. 본 연구에서는 현행 수학교과에서의 증명능력과 비판적 사고력의 상관관계를 밝히고자 한다. 그리고 학교수학에서의 증명은 연역적이고 형식적인 증명이지만 학생들의 증명활동에서 선호하는 증명이 무엇인지를 분석해보았다. 그리하여 본 연구자는 비판적 사고력과 증명능력의 관계와 증명방법에 대해 알아보고자 한다. 이를 위해 연구자는 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 연구문제 1. 수학 증명능력과 비판적 사고력은 상관관계가 있는가? 그리고 비판 적 사고력의 하위요인인 연역, 관찰에 대한 신뢰성 판단, 귀납, 가 정에 대한 평가 중 증명과 가장 상관관계가 있는 것은 어느 것인가? 연구문제2. 학생들이 선호하는 증명 방법과 최고 점수를 받을 수 있는 방법과의 차이는 어떠한가? 그리고 증명쓰기를 했을 때 학생들이 선호하 는 방법으로 증명을 했는가? 학교 수학에서의 증명은 학생들이 생각하는 증명과 어떻게 다른가? 이상의 연구문제에 대한 결과는 다음과 같다. 첫 번째 연구문제를 살펴보기 위해서 경기도에 소재한 중학교 학생 86명에 대해 비판적 사고력 검사와 증명능력 검사를 각각 7월 첫째주에 50분에 걸쳐 실시하였다. 증명 능력과 비판적 사고 능력은 서로 상관관계가 있었다. 그리고 증명과 비판적 사고력의 하위요인인 연역, 관찰에 대한 신뢰성 판단, 귀납, 가정에 대한 평가 각각과 상관관계를 가지고 있었다. 특히 연역과 높은 상관관계가 있는 것으로 나타났다. 두 번째 연구문제를 살펴보기 위해서 서울에 소재한 중학교에서 임의의 네 반을 선정하여 2002년 5월 9일 실시하였다. 대부분의 학생들이 이 대수영역과 기하영역에서 올바른 증명을 할 수 없다는 것을 보여줄 수 있었다. 덧붙여, 학생들이 경험적 논증을 사용하여 증명을 시도해도, 학생들은 또한 그들의 교사로부터 최고 점수를 받을 수 없다는 것을 인식하고 있었다. 대다수의 학생들은 경험적 논증이 최고 점수를 받을 수 없어도 교과서 외 문제에 접하게 되면 예를 드는 경험에 의해 증명을 하고 있었음을 알 수 있다. 학생들은 복잡한 대수적 표현을 사용하는 것이 그들의 선생님으로부터 최고 점수를 받을 것이라고 확신했다. 그리고 증명쓰기를 하였을 때 대다수의 학생들이 경험으로 증명을 하였으나, 적은 수의 학생이 대수로 증명을 하였고 더 적은 수의 학생이 이야기로 증명을 하였다. 그러나 이야기로 증명을 한 학생 대부분이 좋은 점수를 받을 수 있었다. 중학교 1학년까지 경험에 의해 기하를 배웠던 학생들에게 연역적으로 증명을 하는 중학교 2학년 과정의 증명을 매우 어려워하고 힘들어한다는 사실 역시 발견할 수 있었다. 그리고 학생들이 자신의 접근법으로는 경험적인 방법을 선택했으나 최고 점수를 받을 수 없다고 생각을 하고 교사가 최고의 점수를 줄 것 같은 것은 대수적인 방법을 선택하였다. 학생들의 선택이유에서 나타난 것은 어렵고 복잡해 보이는 것이 교사에게서 최고의 점수를 받을 수 있다고 생각하고 있었다. 학생들의 증명 쓰기에서 증명하는 방법은 경험적으로 증명을 하였고, 이야기나 대수로 증명하는 학생은 드물었고 증명쓰기의 점수는 매우 낮았다. 본 연구를 마감하면서 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 학생들에게만 자기 접근법과 교사가 많은 점수를 줄 것 같은 증명방법에 체크를 하라고 하는 문제에만 그칠 것이 아니라 교사에게도 자신의 접근법과 학생들이 접근할 것이라고 예언하는 것에 대해 조사하는 것도 의미가 있는 것 같다. 또한 교사와 학생의 입장에서 비교하여 또 다른 결론이 나올 수 있는지를 알아보는 것도 의미가 있을 것이다. 둘째, 비판적 사고와 증명이 상관관계가 있다면 증명을 통해 비판적 사고를 높일 수 있는 수업모형의 연구가 이루어져야 할 것이고, 현행 수학교과에 증명단원에 기초해서 비판적 사고력을 높일 수 있는 수업방안이 연구될 수 있을 것이다. ; This study ultimately identifies the relations between critical thinking and the proof ability and the way of demonstrations as well. The research questions of this study are as follows: Research questions 1. Is there any co-relations between the critical thinking and the ability of proof in mathematics? Which factor is most co-related with the proof ability among the subordinating factor of critical thinking such as the deduction, the judgement for reliance regarding observation, the induction and the evaluations for hypothesis? Research question 2. Is there any difference between the student s preferred proof style and those style in which they could get the best grade? Are students willing to prove based on their preferred style when they are asked to do the proof writing? In which way the school proof is different from what students really have? The main results and indications of this study are as follows: To investigate the first research question, the researcher carried out both critical thinking test and proof ability test on 86 middle school students in Kyung-gi province for 50 minutes at the first week of July. It s shown that the proof ability and critical thinking ability is closely co-related. In addition, the proof ability is shown to be co-related with the critical thinking s subordinating factors respectively such as deduction, induction, observation and evaluation. Especially, the deduction is found to have a higher co-relation with the proof ability. To investigate the second research question, the experiment was carried out for the four classes of middle school in Seoul province at May 9th of 2002. It s shown that most students could not prove correctly in the field of algebra and geometry. Moreover, students already recognized that they would not get the good grade from their teachers even though they try to solve the problems based on the empirical arguments. Most students, however, prove the problems empirically facing the extracurricular problems despite the fact that empirical argument could not lead the best grade. The students strongly believed the best grade could be led from the complicated algebraic representations. Regarding the proof writing, most students tried to solve empirically, but some of them tried algebraically. A few of students tried to approach the problem narratively and most of these few students could get the better grade. It is also found that those who have learned the algebra empirically for the first year of middle school have a lot difficulty in the proof process of second year of mathematics. Students are found to adhere to the empirical arguments as their own approach, but to choose the algebraical arguments in order to get the better grade since they think the more difficult and complicated arguments can make the better grade. They proved empirically in the proof writing and few of them tried to algebraically or narratively. It s found that the grades of proof writing test were very law.