Computer Algebra System이 대수 도입에 미치는 영향에 관한 사례연구

Abstract

As the epistemology of mathematical knowledge changes from a view of absolute knowledge to that of relative knowledge, there is a growing need for overall reform in mathematics teaching and learning as well as fundamental changes in the objective and nature of school mathematics. As a practice toward the reform movement in mathematics education, a number of attempts have been made to introduce technology into the classrooms. Recently, the technology principle of Principles and Standards (NCTM, 2000) claims that technology is essential to teaching and learning mathematics and influences what mathematics is taught. Algebra is one of the important area in school mathematics. Algebra learning begins with the use of letters and the conceptual understanding of variables. However most students attach importance to symbolic manipulation without the conceptual understanding of the use of letters and variables. Then, they have obstacles to further studies such as equations and functions. In this context, it is clear that we need to reconsider how to introduce algebra. This study builds the following research problems in order to consider an educational potential of Computer Algebra System(CAS) for introducing algebra. 1. In manipulating algebraic expressions in CAS environment, is it possible for students who have never experienced algebra to construct the meaning for algebraic expressions and to perform algebraic manipulation? 2. What kinds of obstacles and errors do the students who study algebraic expressions by using CAS go through? 3. How do the students who learned algebraic manipulation in CAS environment recognize letters? 4. What does CAS effect students on symbolizing the rules of algebraic manipulation? The review of related literature regarding the use of CAS for school mathematics and the cognitive obstacles of students in beginning algebra was performed as a theoretical study. I used a case study approach, since I was studying the cognitive process of students. The participants have never experienced algebra. In order to observe and collect data on students and to keep track of their cognitive process, the activities-oriented clinical interviews were used. In the process of this study, CAS offered the students opportunities to explore patterns in algebraic expressions and the results of algebraic manipulation automatically. Thus the students concentrated on the meaning and the principles governing algebraic manipulation. They were able to have the opportunities to correct their errors as well as recognize their errors by means of the results of CAS. Through the series of the learning activities, they could solve cognitive obstacles and state the rules of algebraic manipulation by their own words. Besides, they could recognize letters in algebra as generalized numbers and symbolize the conventions of algebraic manipulation on the basis of this concept of letters. However I have discovered that CAS environment was not meaningful learning environment to all students. A student participating in my experiment performed algebraic manipulation by using CAS without understanding mathematical patterns and contents. Consequently, the student went through trial and error repeatedly. Such a problem may be resolved by the changes of the mathematics teaching and learning methods. In conclusion, the students who have never experienced algebra could study algebraic expressions, recognize letters as generalized numbers, and symbolize the rules of algebraic manipulation. I was convinced that CAS could be used as an educational tool for introducing algebra.; 세계화·정보화 시대에 발맞추어 수학 학습-지도의 내용과 방법에서의 변화가 요구되고 있으며, 이에 대한 하나의 실천으로 테크놀러지의 도입이 시도되고 있다. 테크놀러지의 도입은 불가피하며, 이제는 어떤 형태의 테크놀러지를 언제 어떻게 활용해야 하는지, 테크놀러지가 학생들의 인지발달에 어떠한 영향을 미치는지에 대해 고민해야 할 때이다. 대수는 학교수학교육과정에서 중요한 영역이며, 대수학습은 문자의 사용과 변수에 대한 개념적 이해에서 출발한다. 그러나 학생들은 변수와 문자식에 대한 개념적 이해 없이 문자에 대한 형식적인 기호조작을 행하고 있어 그 이후에 전개되는 수학학습에서 장애를 겪고 있다. 이러한 맥락에서 학교수학에서 대수를 도입하는 방법에 대한 재평가가 필요한 실정이다. 본 연구에서는 테크놀러지 중 Computer Algebra System(CAS)의 대수 도입에서의 잠재력에 대해 알아보고자 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 첫째, 대수를 접하지 않은 학생들이 CAS를 사용하여 문자식에 대한 연산을 조작해보는 과정에서 문자식의 연산 규칙을 인지하고 연산을 의미 있게 수행해 나가는 것이 가능한가? 둘째, CAS를 활용하여 문자식을 학습하는 학생들에게 어떠한 인지적 장애와 오류가 나타나는가? 셋째, CAS를 활용하여 문자식을 학습한 학생들이 문자를 어떻게 인식하게 되는가? 넷째, CAS가 문자식의 연산 규칙을 기호화하는데 어떠한 영향을 미치는가? 위의 네 가지 연구 문제를 해결하기 위해 수학교육에서의 CAS의 역할과 수학 학습-지도에 미치는 CAS의 영향을 고찰해보고, 학생들이 대수 학습에서 겪는 인지적 장애와 오류의 유형들에 대한 선행연구를 검토하였다. 이를 토대로 학생들의 인지적 사고과정에 대한 통찰을 얻기 위해 대수를 접하지 않는 두 명의 학생을 대상으로, 그들의 활동지에 기반한 활동을 주의 깊게 관찰하고 분석하였다. 학생들의 활동을 분석한 결과, 다음과 같은 연구 결과를 얻을 수 있었다. 학생들은 연구 과정 전체에 걸쳐 CAS가 제공해주는 문자식 연산 결과들을 관찰하고 탐구하여 그 결과가 나타내는 의미를 토대로 다음 문제를 해결할 수 있었고, CAS가 제시하는 결과를 통해 자신의 오류를 인지하였으며 그 오류를 수정할 수 있는 기회를 가질 수 있었다. 따라서 이러한 일련의 학습활동을 통해 문자식에 대한 인지적 장애가 해결되었으며, 문자식의 연산 규칙을 자신의 말로 기술할 수 있었다. 이 과정에서 문자를 수를 대표하는 것으로 볼 수 있었고, 수를 대표하는 것으로서의 변수 개념을 바탕으로 이전에 발견한 연산 규칙들을 기호화할 수 있었다. 그러나 연구를 통해 CAS가 모든 학생들에게 의미 있는 수학 학습환경을 제공해주는 것은 아니라는 사실이 발견되었다. 탐구적·발견술적·구성주의적 학습 방법에 익숙하지 않은 학생은 자신의 조작 활동과 CAS의 결과에 의미를 부여하지 못했으며, 이로 인해 계속적인 시행착오를 반복해야 하는 어려움도 나타났다. 이는 지금까지의 학교수학의 학습 방법과 학습 태도로부터 비롯된 문제이며 수학 학습-지도 방법의 변화로 해결 될 수 있을 것이다. 연구 결과로부터 CAS 활용을 통해 대수를 접하지 않은 학생들이 문자식 연산 규칙을 학습하고 문자를 일반화된 수로 볼 수 있었으며, 수를 대표하는 것으로서의 변수 개념을 토대로 문자식 연산 규칙에 대한 기호화가 가능하게 되었다. 대수 도입 과정에서 CAS는 학생들의 대수적 사고와 기호감각을 발달시켜 대수학습을 의미 있게 진행시킬 수 있다는 결론을 얻었다.