엑셀을 활용한 수학학습부진아의 변수 및 함수 개념 지도에 대한 연구

Abstract

평생 학습을 실현할 수 있는 사회의 건설을 위하여 다각적인 노력이 시도되고 있는 가운데, 계속적으로 강조되어지고 있는 것은 학생 중심 교육의 시행 과 21세기형 정보화를 통한 교육으로의 전환 으로 요약할 수 있다. 인간에게는 매우 현저한 개인차가 존재하기 마련인데, 획일적인 교육과정에 따라 일률적으로 지도되고 있는 학교 교육은 이러한 개인차를 더 심화시킬 수 있으며, 이로 인해 학교 교육에 잘 적응하지 못하는 학생들 즉, 학습부진아가 발생할 수 있는 것이다. 개개인의 능력과 수준에 맞는 교수-학습 경험을 통해 결과의 평등 에 이를 수 있도록 하는 것이 바로 교육이 추구해 나아가야 할 방향이라고 할 때, 우리는 배워야 할 것을 제대로 배우지 못해서 생기는 학생들에게 더 많은 관심을 쏟을 필요가 있으며, 이것이 학생으로부터 출발되어 나아갈 때, 바로 학생 중심 교육을 실현해가는 한가지 방법이 될 수 있는 것이다. 21세기 정보화 사회에서 나타나는 컴퓨터 리터러시 에 대한 요구와 교육적 측면에서 컴퓨터 활용의 증가 추세와 함께 제 7차 교육과정에서는 다양한 교육기자재의 활용을 제안하고, 가능하면 계산기나 컴퓨터를 적극 활용하도록 명시하고 있다. 수학학습부진아들의 지도에서 가장 강조되고 있는 것으로 그들의 동기유발이 지적되고 있으며, 이것은 기존의 교수-학습 환경에서는 쉽게 발휘되지 않는 것이므로, 교수-학습 방법에 변화를 주려는 의도에서 새로운 환경으로 스프레드쉬트를 제공하고자 한다. 이에 본 연구는 중학교 2학년 수학학습부진아를 대상으로, 스프레드쉬트라는 치료적 환경을 제공하여, 그들의 중학교 1학년 시기에서의 학습 결손의 보충과 오개념의 치유를 목적으로 하고자 한다. II장에서 수학학습부진아의 개념과 요인 및 특성, 스프레드쉬트의 수학교육에서의 활용 가능성, 대수에서의 변수 및 함수의 개념 등에 대해 이론적 고찰과 선행연구를 바탕으로, III장에서는 수학학습부진아를 대상으로 엑셀 환경에서의 변수 및 함수 개념의 형성 과정을 실제적으로 알아보고자 하는 사례연구를 수행하였다. 교육에 있어서 인간의 행동을 예측하고 결정하기 어려운 이유는 개인차 때문이고, 수학학습부진아의 경우 개인차로 인해 부진의 문제가 발생되며, 그 요인이나 특성, 부진을 보이는 영역 또한 개인에 따라 다를 수 있으므로, 학생과 연구자가 교실의 교수-학습 과정에서 그들의 행위에 부여하는 의미를 서술하고, 해석하는 질적 연구를 선택하게 되었다. 학습부진아에 대한 연구는 예방적인 차원에서 이루어져야 하겠지만, 이미 발생한 부진이라면 부진율이 높게 나타나는 중학교 1학년, 고등학교 1학년 가운데, 조기 발견의 중요성으로부터 중학교 1학년에서의 학습 결손의 보충과 오개념의 치유를 목적으로 하기 위해 중학교 2학년 수학학습부진아를 대상으로 한다. 이들은 이미 수학에 대해 어느 정도의 어려움을 갖고 있으므로, 수학과 컴퓨터에서의 이중적인 부담을 덜기 위해 컴퓨터에 대해서는 사전지식을 갖추고 있는 학생들로 제한하여 6명으로 선정하였다. 중학교 1학년 시기는 산술에서 대수로의 이행과정에서 중요시되고 있는 변수개념과 형식적인 정의가 처음으로 제시되는 함수개념이 다른 어떤 영역보다 특히 어려운 것으로 지적되고 있으므로, 방과후 보충 수업의 형태로 엑셀환경에서의 변수 및 함수 개념의 형성을 위한 구체적인 활동들이 진행되어졌다. 본 연구에 참여한 연구대상의 특성과 수준을 분석하고, 수학적인 내용과 영역을 확인한 후, 수학학습부진아 교수-학습 모형을 구안하였으며, 변수 및 함수 개념에 대한 교수-학습 과정에서의 변화를 알아보기 위해, 설문지, 사전검사지, 활동지, 형성평가지, 사후검사지, 함수 프로젝트과제, 그래프 과제, 현장 기록문, 인터뷰 녹취록 등을 근거로 하였다. 그 과정에서 다룬 연구 문제는 다음과 같다. 첫째, 엑셀을 활용한 변수 및 함수 개념의 교수-학습 과정에서 수학학습부진아들의 인지적 측면은 어떻게 작용하는가? 둘째, 엑셀을 활용한 변수 및 함수 개념의 교수-학습 과정에서 수학학습부진아들의 정의적 측면은 어떻게 나타나는가? 중학교 2학년 수학학습부진아를 대상으로 엑셀 환경에서 변수 및 함수 개념의 형성과 오개념 치유를 위한 연구로부터 나타난 결론은 다음과 같이 정리되어질 수 있다. 첫째, 수학학습부진아의 인지적 측면에서 나타나는 결과들을 살펴보면 표현상의 어려움과 전이의 문제로 정리되어질 수 있다. 표현상의 어려움은 주로 관련된 개념이 제대로 형성되어 있지 않는 경우로, 문제에 대한 이해를 할 수 없고, 나아가 그것에 대한 답을 구해낼 수 없는 수학적 개념의 결손으로부터 비롯된 것으로 볼 수 있다. 전이의 문제는 수학학습부진아들의 부족한 계산 기술과 제한된 사고패턴으로부터 발생하는 것으로, 의미가 빠진 형식만을 암기하고, 그 과정에서 취하는 방법이 자기 나름대로의 편리한 방법이라는 데에서 비롯된 요인으로 해석되어진다. 따라서 수학학습부진아들은 이러한 표현상의 어려움과 전이의 문제로 하나의 개념에 대한 여러 측면으로의 접근이 시도되지 않았다. 둘째, 수학학습부진아의 정의적 측면에서 나타나는 결과들을 살펴보면 학습된 무력감 으로부터의 태도 변화와 동기유발의 측면에서 정리되어질 수 있다. 수학학습부진아들이 아는 것에 대해 표현하기 힘들다면 자신이 알고 있는 사실에 대해 확신이 없으므로, 틀릴 것에 대한 예상으로부터 비롯된 부정적인 신념이 요인이라 할 수 있다. 이에 대해, 학습의 출발점을 그들에게 친숙한 것으로부터 시작하려는 의도에서 컴퓨터를 다루는 것에 긍정적인 반응을 보이는 학생들로 제한하여, 컴퓨터를 매개로 수학에 대한 접근을 시도하였다. 이 학생들은 컴퓨터를 다루는 것을 좋아하기 때문에 컴퓨터를 활용한 수학 수업에 대해 적극적인 태도를 보였다. 엑셀의 계산 기능의 활용은 계산을 하는데 어려움을 느끼는 수학학습부진아에게 매력적인 요소로 작용할 수 있었고, 엑셀에서 프로그램을 만들어 제시된 그래프에서의 탐구활동은 학생 스스로의 발견과 확인 작업을 통해 간단한 마우스 조작으로 변화에 초점을 맞추어 개념형성을 위한 과정에 집중할 수 있도록 하였다. 학생들은 먼저 생각하고 나중에 엑셀로 확인하는 추측확인 작업을 통해 성취감을 맛볼 수 있었으며, 이것은 학습된 무력감 에서 다소 벗어나 자신감을 회복시키는 기회를 제공했다. 수학을 보다 구체적으로 접근할 수 있도록 하였고, 수학의 다른 영역에 대해서도 컴퓨터의 활용에 대한 호기심을 나타내기도 하였는데, 본 연구에 참여한 수학학습부진아들이 전통적인 교수-학습 상황에 잘 적응하지 못하는 상태에서 평소 즐겨 다루는 컴퓨터를 활용한다는 것은 동기 유발 면에서 도움을 준 것으로 보여진다. 수학학습부진아의 사례연구를 통하여 기초학습부진아와 기본학습부진아의 뚜렷한 차이를 관찰할 수 있었다. 기초학습부진아의 경우, 동기유발이 안 되어 수학에 대한 학습에 의욕이 없거나, 열심히 하는데도 불구하고 학습하는 방법을 몰라서 선수 지식이 거의 형성되어 있지 않으므로, 이러한 점을 고려한 새로운 개념의 형성이 중요시된다. 기본학습부진아는 기존의 선수 지식이 오개념의 형태를 띠어 나타나고, 표현하는 과정에서 잦은 실수를 보이게 되는데 효과적인 발문을 통한 피드백으로 오개념의 치유에 강조점을 두어야 하며, 이를 위해서는 반복적이고 계속적인 의식화 과정이 요구되어진다. 연구가 진행되는 전 과정을 통하여 이루어진 개념 형성과 형성된 개념을 확인해보고자 하는 결과에 대한 호기심은 그 다음 학습을 위해서 또 다른 동기유발을 일으키는 요소로 작용할 수 있을 것이라 판단된다. 위 결론을 통하여 후속 연구에서는 다음과 같은 것을 고려해 볼 수 있다. 첫째, 부진율이 높게 발생하는 시기는 학교급이 바뀌는 시점인 중학교 1학년, 고등학교 1학년으로 나타나며, 본 연구는 중학교 1학년에서의 학습결손에 대한 보충과 오개념의 치유를 목적으로 이루어졌으므로, 후속연구에서는 고등학교 1학년에서 발생할 수 있는 부진의 요인을 분석하여 그 시기에 발생할 수 있는 부진 문제를 예방하기 위한 차원에서의 교육적 연구가 요구된다. 둘째, 본 연구는 부진아의 동기유발 측면에서 새로운 환경을 제공하고자 엑셀을 활용하여 시도하였으나, 수학학습부진아를 위하여 엑셀 이외의 다른 방법적인 시도가 요구된다. 셋째, 수학 학습을 하는데 있어서 학생들의 어려움이 많이 지적되는 변수 및 함수 개념 이외에 도형이나 증명 등과 관련된 영역에 대하여 어려움의 근원이 수학의 내용적인 측면인지, 학생에서 비롯된 인지적 정의적 측면인지에 대한 연구가 요구된다. 이상의 결론으로부터 교수 학습 상황에서의 지도와 관련해서 고려할 수 있는 제언은 다음과 같다. 첫째, 수학학습부진아에 대한 지도는 그 조기 발견이 중요하고, 부진에 대한 정확 한 파악이 이루어질 수 있도록 학년별, 내용별, 영역별 차원에서의 수학 학습 부진아 판별을 위한 검사도구의 제작이 요구되어진다. 둘째, 선수 지식이 없는 기초학습부진아는 새로운 개념의 형성을, 잘못 형성된 지식을 갖고 있는 기본학습부진아는 오개념의 수정을 교수 학습 과정에서 강조해야 하는 각기 목표가 다르므로, 이들에 대하여 구분하여 각기 적합한 지도법의 개발이 진행되어져야 할 것이다. 셋째, 수학학습부진아들은 개념 형성에 대한 교수-학습이 이루어진 후, 조금의 변화에도 배운 것을 전이시키는데 어려워한다. 이것으로부터 개념 형성에 대한 지도는 계산기술에 대한 지도와 동시에 이루어지도록 하는 것이 개념을 형성하는데 있어서 또 배운 것을 표현하는데 있어서도 더 효과적일 수 있다. 넷째, 수학학습부진아들의 수학적 개념의 도입에 있어서, 논리적이기보다는 직관적, 교사의 설명보다는 학생 스스로의 탐구 활동, 이론적인 원리·원칙보다는 구체적인 상황 등 학생으로부터 출발해야 할 필요성이 있다. 다섯째, 수학학습부진아를 대상으로 한 엑셀의 활용에서는 수학적 표현에 대하여 수학에서와 컴퓨터에서의 차이, 즉 대수에서와 엑셀에서의 여러 가지 표현의 차이가 고려되어져야 한다.; The enforcement of student-centered education and the conversion to information education for the 21st century have been continuously emphasized through various endeavors and attempts for continuing education in our society. However, it might be said that the school education composed of uniform curriculum has increased the individual gap and caused the problem of low achievers. Considering the pursuit of education to reach the equality of result through teaching and learning experience which is suitable to the ability and level of each student, we need to be concerned about these low achievers. It should be started by these students and this is a way to realize student-centered education. The 7th curriculum suggests the use of various educational tools and equipment as well as the need for computer literacy in the information society in the 21st century and the increasing use of computer in the field of education. It also insists on the active use of calculator and computer. The encouragement of motivation is emphasized in teaching low achievers but this is not easily achieved in the previous and present teaching and learning environment. Thus, the spreadsheet will be offered as a new environment to change the teaching and learning method. This study will be focused on the second grade low achievers in the middle school in the curative environment of the spreadsheet in order to sup pliment the study deficiency and cure the misconcept in the first grade. In the second chapter, the concept cause and characteristics of low achievers in the possibility of the spreadsheet in mathematics education and the concept of variable and function in algebra will be examined on the basis of theoretical investigation on the previous study. The case study has been carried out in order to examine the understanding process of variable and function concept in excel environment for low achievers in the third chapter. To predict and decide human behavior is not easy in the education due to individual gap. In the case of low achievers, the problem of inactivity will be caused by this individual gap and the cause, characteristics and the area of inactivity seem to be different according to individual gap. Due to these reasons, the qualitative research has been chosen to describe and interpret the meaning of activity between students and researcher in the teaching and learning process in the classroom. The study on low achievers has to be carried out on the level of preventive measures, but, in fact, inactivity rate has been higher in the first grade of middle school and high school. In order to supplement study deficiency and cure misconcept in the first grade of middle school, this study will be focused on low achievers in mathematics in the second grade of middle school. They already have some difficulties in mathematics and so six of them with basic knowledge on computer has been selected to decrease the double burden of mathematics and computer. In the first grade of middle school, the variable concept which is important in the fulfillment process from arithmetic to algebra and the function concept, in which formal definition is first presented, are acknowledged as more difficult than any other area. This specific activity has been carried out to understand the variable and function concept in excel environment as an extra-activity after school. After analyzing the characteristics and level of students, and checking the content and area of mathematics, the teaching and learning model for low achievers in mathematics has been designed and questionnaire sheet, pre test, activities, formative evaluation, post test, function project, field report, interview transcripts have been used to check the change in the teaching and learning process for variable and function concept. The research topics of this study are as following. First, how does the cognitive aspect of low achievers in mathematics work in the teaching and learning process of variable and function concept using excel? Second, how does the emotion and will aspect of low achievers in mathematics work in the teaching and learning process of variable and function concept using excel? The conclusion drawn from the study on understanding variable and function concept and misconcept treatment in excel environment for low achievers in mathematics in the second grade of middle school is as following. First, when we examine the result in the cognitive aspect of low achievers in mathematics, there are the difficulty of the representation and the problem of transition. The difficulty of the representation is mainly the case which the concept is not properly formed and it makes the student not understand and answer the question properly from the loss of the mathematical concept. The problem of transition has been caused by insufficient computational skill and limited thinking pattern and the student memorizes only the form without meaning and takes conveniently the method of their own in the process. Thus, low achievers in mathematics have not been approached from various aspect on one concept due to the representational difficulty and the transitional problem. Second, when we consider the result in emotion and will aspect of low achievers in mathematics, attitude change from learned helplessness and motive incouragement will be concerned. If low achievers in mathematics feel hard to represent in spite of their knowledge, it is because they are not sure their knowledge in negative faith. For the starting point of learning this study has limited the students who have positive responses on using computer as medium. The students were active in their mathematics class using computer because they like using computer. Computational use of excel was attractive to low achievers in mathematics who had difficulty in computation. Investigation activity in graph excel program made students focus on the process of concept formation through simple click for students own discovery and check. In guess and check process, the students have accomplished the recovery of self-confidence from learned helplessness. This opportunity has made the students approach the mathematics more c oncretely and show their curiosity on using computer in the other area of mathematics as well. From the conclusion, the follow-up research might be considered as following. First, the research might be required on the preventive level of inactivity problem in the first grade of high school. Second, other methods except excel might be required for low achievers in mathematics. Third, it is necessary that the research related with geometry, proof and so on in which students have difficulty to study mathematics should be continued. The propositions are as following considering instruction in teaching and learning environment. First, it is required to make test tools to judge low achievers in mathematics on the level of grade, content, area in order to grasp clearly the situation of inactivity. Second, the suitable instruction method should be developed for general low achievers with basic knowledge and specific low achievers with misconcept. Third, the instruction on concept and computational skill should be carried out at the same time considering the problem of transition because it is more effective to represent what they have learned. Fourth, in the introduction of mathematical concept for low achievers, it is necessary to start from the side of student, such as intuition rather than logic, investigation activity of student themselves rather than teachers explanation, concrete situation rather than theoretical principles. Fifth, various differences on mathematical representation should be considered in algebra and in excel.