교과서 분석을 통한 그래프 지도 방안에 대한 연구

Abstract

그래프는 다양한 정보와 변화 상황을 전체적으로 한눈에 알아보기 쉽게 나타낼 수 있는 중요한 표현도구로서, 수학에서뿐만 아니라 과학과 사회학, 의학, 경제학, 정치학 등 다양한 학문과, 신문, 잡지등 우리 일상 생활에서 다양하게 활용되고 있다. 그래프는 수학에서 단순히 정보를 전달하는 것 뿐 만 아니라, 다양한 상황을 모델화 하여 수학적인 개념 발달과 내용의 전이, 수학적 구조의 표현, 문제해결에 있어서 핵심적인 역할을 한다. 또한 수학 내에서 각 영역간의 연결, 수학과 타학문과의 연결과 의사소통에 있어서도 중요한 역할을 하고 있다. 역사적으로도 이런 그래프로 인해서 함수의 개념이 발달할 수 있었으며, 미적분학과 해석기하학 발달에서 원동력이 되기도 하였다. 하지만 학교 수학에서 그래프에 대한 학습은 형식·논리주의의 수리철학의 영향과, 그래프를 이해하는데 있어서 인지적인 요인, 그리고 교수학적 변환으로 인해서, 그래프 자체에 초점이 맞추어지기보다는 대수로 가기 위한 부수적인 수단 밖에 되지 못해왔다. 따라서 본 연구는 현재 학교 수학에서 다루어지는 그래프 내용을 분석하여 그래프 학습이 어떻게 이루어지고 있고, 그래프 내용 중 어떤 부분이 강조되어 학습되는지를 고찰하여 그래프 학습의 방향을 제시하고자 하였으며, 구체적으로 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 초등학교, 중학교, 고등학교의 교과서에서 그래프 과제는 어떤 비율로 다루어지고 있으며 내용의 계열화는 어떠한가? 2. 그래프 과제 내용을 해석과 구성, 양적 측면과 질적 측면, 국소적인 측면과 광의적인 측면으로 나누었을 때 그 비율은 각각 어떠한가? 3. 그래프 과제를 번역, 예측, 축척으로 나누었을 때 주로 어떤 측면이 강조되어 제시되었는가? 4. 위의 세 가지 관점에서 6차 교육과정과 7차 교육과정을 비교하였을 때 어떤 변화가 있는가? 이러한 연구 문제를 해결하고자 본 연구는 6차 교육과정의 교과서와 7차 교육과정의 교과서에서 전체 페이지 중 그래프와 관련있는 내용이 담긴 페이지를 비교하여 그 비율을 분석하였으며, 본문의 예제, 문제, 연습문제, 심화문제 등의 문제를 바탕으로 그래프 내용을 각 영역별로 나누어 그 비율을 분석하였다. 그 결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 그래프 내용은 초기에는 미비한 양만 다루어지다가 상위 학년으로 갈수록 그 비율이 높아져 고등학교 수학 II에 가서는 거의 전 영역에 걸쳐 다루어지고 있었다. 또한 초기에는 다양한 그래프가 다루어지다가 중학교, 고등학교에 가면서 주로 직교 좌표에서의 그래프가 다루어지고 있으며, 이전 학년에 학습했던 그래프는 거의 반복되어 나오지 않고 있다. 둘째, 그래프 내용은 초등학교에서는 그래프를 그리는 과제보다는 점에 초점을 맞추어 국소적으로 해석하는 과제가 대부분을 차지하고 있었고, 이들 대부분은 양적 측면이었다. 중학교에서는 주로 그래프를 그리는 구성 과제가 대부분을 차지하고 있었고, 그래프를 전체적으로 해석하거나 대략적인 변화를 질적으로 접근하는 과제는 거의 주어지지 않았다. 이 시기에도 초등학교와 마찬가지로 국소적인 측면이 대부분이었는데, 학년이 올라가면서 점차적으로 광의적인 측면이 증가되는 추세를 보이고 있다. 고등학교에서는 초등학교와 중학교와는 달리 주로 해석이 대부분을 차지하고 있고, 국소적인 측면보다는 그래프를 전체로 다루는 광의적인 측면이 대부분을 차지하고 있었다. 하지만 여기에서도 전학년과 마찬가지로 질적인 접근보다는 양적인 측면이 거의 대부분을 차지하고 있었다. 셋째, 그래프 과제는 초등학교, 중학교, 고등학교 모두가 번역에 치우쳐 있었다. 주로 대수식이나 표로부터 점을 찍고 그래프를 그리거나, 그래프로부터 점을 읽고 대수식이나 표로 나타내는 번역의 과제가 대부분일 뿐 예측 과제나 축척에 관한 과제는 거의 보이지 않고 있었다. 넷째, 7차 교육과정에서 그래프 내용은 6차 교육과정과는 약간의 차이를 보였는데, 해석과제와 구성과제가 골고루 나타나고 있고, 6차에 비해 광의적인 측면이 증가하여 국소적인 측면과의 차이가 점점 줄어들고 있음을 볼 수 있었다. 또한 7차 교육과정에서도 질적 접근이 그리 많이 다루어지지는 않았지만, 6차 교육과정에 비해 많이 증가된 것을 볼 수 있었고, 그래프 과제에 있어서도 6차와 마찬가지로 번역 과제가 대부분이었으나, 그래프를 통한 예측 과제의 비율이 증가하는 것으로 나타났다. 그리고 6차 교육과정과는 달리 그래프를 그릴 수 있는 엑셀이나 그래픽 계산기 등 다양한 테크놀러지 도구를 소개함으로써 좀 더 역동적인 그래프 학습을 도모하고 있다. 이런 연구 결과를 기반으로 학교 교육에서 그래프 학습의 방향을 살펴보면, 첫째, 그래프 학습은 좀 더 다양하게 강조될 필요가 있고, 그래프 활동에서 양적 측면과 국소적 측면의 지나친 강조에서 벗어나, 질적 접근이 좀 더 강조되어 모든 측면이 골고루 다루어질 수 있도록 해야만 한다. 둘째, 대수식과 표로부터 그래프를 그리거나, 또는 그래프로부터 대수식이나 표를 작성하는 번역 과제에 집중적으로 치우친 것에서 벗어나, 그래프에 기반하여 변화의 측면에 초점을 맞추어 앞으로의 경향을 예측하게 하는 예측 과제와, 다양한 축척에서 그래프를 관찰하게 하여 그래프에 대한 이해를 강화시키는 축척 과제를 다양하게 제시해야만 한다. 셋째, 그래프는 대수식으로 넘어가기 위한 수단으로 뿐만 아니라 그래프 내용에 좀 더 초점을 맞추어 그 특성들을 고찰하게 하고, 또 여러 영역의 수학과 타학문과 연결하여 그래프 학습을 다양하게 할 수 있도록 촉진해야만 한다.; The graph which is easy to recognize trends and comparisons of data at a glance is used in mathematics and in other school subjects such as science, social study, medicine, economics, and politics. This display appears in our daily life such as newspapers and magazines. In mathematics the graph conveys much information, develops mathematical concepts as modelling various situations, and also plays an important role in the transfer of learning and the problem solving. Also, it is very important in connecting each areas in mathematics, relating mathematics to other subject, and communicating complex concepts. Historically, the graphical representation is a key development in mathematics that has paved the way for other important discoveries including calculus, analytical geometry, and so on. But the learning of graph in school mathematics has dealt with the only extra subject to bridge to algebra, because of the effect on mathematics philosophy of formalism·logicism, the cognitive factor of understanding the graph, and the didactical transformation of knowledge. The purpose of this paper is to investigate how contents related graphing are learned in the current school mathematics and which areas of graphing contents are emphasized, and to suggest the better direction of graphing instruction. In so doing, I analyse textbooks which are using in the current school mathematics with following research questions: 1. How is the proportion of graphing contents and their sequencing in mathematics textbooks for elementary, middle and high school? 2. How is the proportion of each area when graphing activities are classified by interpretation vs. construction, quantitative vs. qualitative aspect, and local vs. global aspect? 3. How is the proportion of each area when graphing tasks are classified by prediction, translation, and scaling? 4. What is the difference between the sixth and the seventh curriculum? The analytical results are following. First, the graphical content in mathematics textbooks is increasing along the way from elementary school to high school. In other words, the graphical content is very minimally included in elementary school textbooks, but the high school textbooks, especially Mathematics II, use the graphical content in almost every area. Also, various kinds of graphs are dealt with in elementary school textbooks, but the rectangular coordinates-graphs generally prevail in middle and high school textbooks. Second, textbook activities involving graphs at the elementary school are almost local interpretations focusing on single point on graphs, rather than the construction of graphs. Further, these activities emphasize quantitative aspects which focus on numerical values. The graphing activities in the middle school textbook concentrate on the construction of graphs, and qualitative approaches such as the drawing or interpreting the graph whose shape is appropriate for the given event are rarely expected. Another point to note in this level is that, as the case of the elementary school s, local approaches are also widely involved. But the activities involved global approach increase for higher grade. The graphing activities in the high school textbook are dominated by interpretation activities and global approaches. Even in this case, however, quantitative approaches are more emphasized than qualitative approaches. Third, graphing tasks are lopsided toward translation throughout the entire grades from the 1st to 12th. In specific, usually plotting points and drawing graphs based equations or numerical data, or making equations or numerical tables from graphs are the dominant forms of graphing tasks. On the contrary, prediction tasks and scaling tasks rarely appear. Lastly, there are some differences between the seventh and the sixth educational curriculum. The current seventh curriculum includes interpretation activities and construction activities with a proper level of balance in comparison with, and has more global interpretation activities than the sixth. And, in the seventh, students are asked to draw useful, realistic graphs from the data they collected on their own and to solve various problems based on these graphs. From the point of view of the qualitative vs. quantitative approach, the portion of the qualitative approach has significantly increased than the sixth. In addition, for the graphing task, the translation task is still prevalent in the seventh curriculum; however, the importance of the prediction tasks based on graphs has increased compared with the sixth. Further, the seventh is designed to stimulate more dynamic graphing education by introducing new tools such as a graphic calculator and computer-aided software including Excel. Based on the above analyses, the paper concludes with the following suggestions regarding the directions of the graphing instruction. First, various aspects of graphing, not narrowly focused aspects, should be emphasized. Especially, the current curriculum, which disproportionately emphasizes the quantitative and local approach, should be amended to reflect more qualitative aspect. Second, more prediction tasks and scaling tasks should be adopted to improve the current curriculum, which excessively focuses on the translation tasks. Third, the graph instruction should be carried out not just as an extra tool to understanding an algebraic representation, but as an essential part focusing on the graph itself, and be prompted to connect each domains of mathematics and other academic subjects.