변수개념과 규칙성 이해에 대한 연구

Abstract

본 연구는 대수를 그 여러 의미 중 규칙성(pattern)을 일반화하는 것으로 제한하고 있다. 따라서 이 연구의 목적은 학생들이 규칙성을 일반화하는 도구로서 변수를 사용할 수 있도록 변수개념과 수·산술 규칙성(pattern) 이해에 대한 기초자료를 얻는 것이었다. 연구의 궁극적인 목적은 학생들의 대수에 대한 이해를 향상시키는 것이다. 연구문제는 다음과 같다. 첫째, 우리 나라 중학교 학생들의 변수 개념의 이해 수준은 어떠한가? 둘째, 우리 나라 중학교 학생들이 인식하는 수와 산술에 관한 규칙성의 종류와 인식된 규칙성을 말과 문자로 표현하는 능력은 어떠한가? 셋째, 학생들의 변수개념 이해 수준과 수와 산술에 관한 규칙성 이해 능력의 상관관계는 어떠한가? 현행 교육과정에서는 중학교 1학년 시기에 변수에 대한 개념 정의가 도입되어서 고등학교 시기에 이르면 변수가 대신하는 대상의 범위가 확장되고 형식적 조작의 대상이 된다. 따라서 본 연구에서는 문자와 식을 본격적으로 학습하는 중학교 1·2·3학년 학생들을 대상으로 하였다. 서울시 소재 2개의 중학교에서 각 학년별로 4개 반을 선정하여 조사의 표본으로 하여 변수 개념 이해와 수와 산술에 관한 규칙성이해 능력을 알아보기 위해 모두 두 종류의 검사지가 사용한 양적 연구를 실시하였다. 검사지에 나타난 정오 반응을 통해 학생들이 이해하는 변수개념과 수·산술 규칙성에 관한 위계와 상관관계를 확인한다. 양적 연구의 약점을 보완하기 위하여 주관식 서술형 검사를 이용하여 학생들의 사고 과정을 분석하고 변수개념과 수·산술 규칙성에 나타난 오류의 유형과 원인에 대해 고찰하였다. 검사된 학생들의 반응을 각 문항별로 분석하고 그것을 기초로 하여 변수개념과 수·산술 규칙성 이해에 대한 상관관계를 분석하였다. 나타난 결과는 다음과 같다. 우리나라 중학교 학생들의 변수 개념 이해는 다음과 같이 나타났다. 변수 개념 검사는 <문항 가 군> 문자의 이해 수준, <문항 나 군> 변수 기호의 임의성, <문항 다 군> 완전성 결여의 수용, <문항 라 군> 대수적 표현의 이해, <문항 마 군> 수학적 관계의 대수적 표현 등 모두 6개의 영역으로 이루어졌다. 첫째, 6개의 영역 중 우리나라 중학생들은 산술과 대수 사이의 병렬 규칙의 차이를 가장 잘 이해하는 것으로 보인다. 반면, 변수가 포함된 대수식의 이해에서는 낮은 이해를 보였다. 둘째, 본 연구에서 학생들이 가장 많이 보이는 오답유형은 변수를 양의 정수로 한정하여 생각하는 경향이 있다는 것이다. 검사지 1의 5(1)번 문항의 경우라고 답해야 할 것을 를 양의 정수 개념으로 한정하여, 이라 답하였다. 다시 말하면 변수가 임의의 실수를 나타낼 수도 있다는 생각을 하지 못한다는 것이다. 이런 경우가 전체 응답자의 47%로 가장 많았다. 셋째, 두 번째로 학생들이 많이 보이는 오류 유형은 문자식이 나타내고 있는 이차 관계를 파악하지 못한다는 것이다. 검사지 1의 6(1)번 문항의 경우 과 의 상대적인 크기가 의 값에 달려있다는 것을 인식하여 이면 가 더 크고, 이면 같고, 이 3이상이면 이 더 크다 라고 답해야 한다. 그러나 n이 정수이므로 곱한 것이 더 크다 라고 직관적으로 답한 경우가 전체 응답자의 33%에서 나타났다. 본 연구에서는 일반화의 대상으로 수와 산술법칙에 관한 규칙성을 제공할 생각이다. 수·산술법칙 규칙성에 관한 학생들의 이해 분석을 통해 알아낸 것은 다음과 같다. 먼저, 수 규칙성에 관한 이해를 보면 검사에서 분석된 규칙성 이해의 단계는 규칙성인식의 단계, 언어화의 단계, 기호화의 단계로 이루어졌다. 첫째, 수 규칙성(pattern)에 따라 학생들의 기호화 능력은 차이를 보인다. 정답율에 의하면, 학생들이 가장 높은 기호화 능력을 보이는 수 규칙성(pattern)은 (47%),(33%), (28%), (24%),(16%)의 순이다. 둘째, 본 연구의 결과에 의하면 규칙성(pattern)인식과 기호화의 발달위계에 차이가 있음을 알 수 있다. 검사지 2의 2번 문항의 경우에 가장 두드러지게 나타나는데, 규칙성(pattern)인식 단계에서는 각각 93%와 88%, 그리고 언어화 단계에서는 86%의 정답율을 보이던 반응이 기호화 단계에서는 16%로 급격히 하강하고 있다. 이 수 규칙성(pattern)에서는 규칙성(pattern)인식이 용이한 경우라도 기호화가 어려울 수도 있음을 보여준다. 셋째, 규칙성(pattern)을 언어화하는 능력과 기호화하는 능력 사이에 인지적인 간격이 있음을 발견할 수 있었다. 문항 나 군에서 기호화 단계에서의 올바른 반응은 이다. 많은 학생들이 a_(n+1)=10a_n의 관계를 인식하여 언어화 단계에서 다음수=앞에있는수×10 또는 □×10 , 10을 계속 곱한다 라는 반응을 보인다. 그러나 n번째 수를 묻는 기호화 단계에서 이라고 답을 보이는 경우가 많았다. 문항 다 군 기호화 단계에서의 저조한 정답율의 가장 큰 원인은 언어화 단계의 표현인 의 관계를 그대로 기호화단계로 옮겨 각각 , , 이라고 해야 할 것을 모두라고 반응하는 것이었다. 즉, 앞의 수로부터 뒤의 수를 만드는 방법을 인식하고는 있지만 일반항의 형태로 표현하는데는 실패했다. 그러므로 기호화 능력을 향상시키는 교수학적 방법을 고안해 내야 한다. 넷째, 언어화 단계에서 학생들은 다양한 규칙성(pattern)인지 유형을 보여주었다. 이는 같은 형태의 수 규칙성(pattern)에 대해서 학생들이 그 규칙성(pattern)을 인식하는 유형은 다양하다는 사실을 말해 준다. 또한 규칙성(pattern)인지 양식에 따라 기호화 단계의 정답율이 다르다. 이는 대수적으로 유용한 규칙성(pattern)인지 양식과 그렇지 않은 양식이 있음을 나타내는 것이다. 또한, 수 규칙성(pattern)이 대수적 도입에 있어서 중요한 점은 다양한 형태의 인식에 정당성을 부여하는 수단으로 대수를 도입할 수 있다는 것이다. 따라서 다양한 방식으로 인식된 규칙성(pattern)이 동치임을 보이는 것을 지도하는 일도 중요하다. 문항 나 군의 언어화 단계에서 다음 수=전의 수×10 이라는 반응대신 0이 늘어남 또는 n-1개의 0이 생김 과 같은 표면적인 규칙성(pattern)인지 유형을 보인다. 그러나 이런 규칙성(pattern)인지 유형을 갖는 학생들은 ,라고 답한 학생들보다 기호화 단계에서 규칙성(pattern)을 문자로 표현하는데 실패하는 비율이 더 컸다. 문항 다 군에 대해 일관성 있게 의 관계가 아닌 1을 제외한 홀수(3번 문제의 경우), 홀수(4번 문제의 경우), 짝수(5번 문제의 경우)로 반응하는 학생들이 있었다. 기호화 단계에서 좀 더 높은 성공률을 보이는 것은 다음 수= 전의 수 +2 로 언어화를 했던 학생들이다. 문항 마 군의 경우 언어화 단계에서 +3, +5, +7 또는 1을 제외한 홀수를 차례대로 계속 더한다 라는 반응을 보이는 학생들이 있었다. 그러나 계차수열을 문자로 표현하는 것은 어려운 일이므로 기호화 단계에서 이라는 정반응을 보이는 학생의 비율이 더 낮았다. 다섯째, 예상대로 어느 학년에서건 규칙성(pattern)인식 1단계에 해당하는 능력(85%)이 가장 높고 그 다음은 언어화하는 능력(74%), 규칙성(pattern)인식 2(69%)에 해당하는 능력이 높고 기호화하는 능력(30%)이 가장 낮다는 것을 알 수 있었다. 여섯째, 산술법칙에 관한 규칙성(pattern) 이해에서는 비교적 높은 정답율을 보이기는 하나 정수, 분수, 문자와 같은 표면적인 성질에 주목하는 학생들도 있었다. 수와 산술법칙의 규칙성을 변수개념의 이해에 도입하기 위해 변수개념의 이해와 수와 산술법칙에 관한 규칙성 인지 간의 다음과 같은 상관관계를 조사하였다. 첫째, 전체적으로 변수개념 이해 검사지와 수와 산술 법칙에 관한 규칙성 이해 능력에 관한 검사지의 총점간의 상관관계는 상관계수 r=0.548로 높은 편이다. 둘째, 수 규칙성 인지 능력 중 기호화단계와 변수개념의 상관관계에 의하면, 가장 상관이 강한 문항군은 문자의 이해수준이며, 다음은 변수가 포함된 대수적 표현 이해능력, 세 번째는 완전성 결여의 수용능력이다. 즉, 학생들에게 수 규칙성의 일반화를 지도할 때, 고려해야 할 변수개념의 순서는 문자의 이해수준, 대수적 표현 이해능력, 완전성 결여의 수용능력의 순이다. 세째, 산술법칙의 규칙성과 변수개념의 상관관계에 의하면, 가장 상관이 강한 문항은 완전성 결여의 수용능력이며, 다음은 수학적 관계를 문자식으로 표현하는 능력, 세 번째는 변수가 포함된 대수적 표현의 이해 능력이다. 즉, 학생들에게 산술법칙의 규칙성을 지도할 때, 고려해야 할 변수개념의 순서는 완전성 결여의 수용능력, 수학적 관계를 문자식으로 표현하는 능력, 변수가 포함된 대수적 표현의 이해 능력의 순이다.; This study is limited in generalizing the pattern among the many meanings of algebra. Therefore the purpose of this study is to obtain the basic data on understanding variable concept and number and arithmetic pattern so that students can use variable as a tool to generalize pattern. The final purpose of the study is to improve students understanding on algebra. The subject of the study are summarized as follows: First, what is the middle school students understanding level on variable concept? Second, what are the types of number and arithmetic pattern that middle school students recognize and what is the ability level of expressing the recognized pattern in speech and letters Third, what is the correlation between the understanding level of variable concept and the ability of understanding pattern on number and arithmetic? According to the present education system the students start to learn about variable concept when they are in 1st grade of middle school and when they advance to high school the extent of object that variable substitutes is extended and it becomes the object of formal operation. Therefore in this study the subjects are 1st, 2nd and 3rd grade middle school students who starts to learn about characters and expressions. The samples are 4 classes in each grade of 2 middle schools in Seoul. To test the understanding of variable concept and understanding ability on number and arithmetic pattern, quantitative test was executed with two kinds of questionnaires. Through the correction of errors response the study confirmed correlation between the variable concept which students understand and the rank of variable concept and number and arithmetic pattern. Descriptive questions were used to supplement the weakness of quantitative test. With those questions the study analyzed the students thinking process and investig ated the error types and the reason from variable concept and number and arithmetic pattern. The students responses were analyzed in each questions and with that, correlation between variable concept and number and arithmetic pattern was analyzed. Middle school students understanding on variable concept are as follows. The test of variable concept s six fields are understanding level of letters, flexibility of variable symbol, accetance of lack of closure, understanding of algebra expression, algebra expression of mathematical relation. First, among six fields middle school students understand the difference of parallel pattern between arithmetic and algebra the most. On the other hand, they showed lack of understanding on algebra expressions that includes variable. Second, most students think of the variable as a positive number and this was the most frequent error. In case of question 5(1) of questionnaire 1, they should have answered c<5. Instead they limited c as positive number and answered c=1,2,3,4. In other words they can t think that c can be a real number. This case was 47% of the respondent. Third, the second error which students showed the most was that they don t understand the second relation of what the symbolic expression is representing. In case of question 6(1) of questionnaire 1, they must recognize the relative magnitude of 2n and n+2 is determined by n, so that they should answer if n=1, n+2 is bigger, if n=2, they are same and if n≥3, 2n is bigger. However, 33% of the respondent answered since n is integer multiplied expression is bigger. with insight. In this study, pattern on number and arithmetic law will be provided as the object of generalization. Followings are discovered through the analysis of students understanding on number and arithmetic law pattern. Above all, analyzed pattern understanding steps were stage of recognizing pattern, stage of verbalization, stage of symblization. First, depends on the pattern students symbolizing ability showed difference. According to the correct answer rate, the order of pattern which students showed high symbolizing ability was 2n(47%), 2n+1(33%), 2n-1(28%), n2(24%), 10n-1(16%). Second, according to the result of this study, there was difference in recognition of pattern and development rank of symbolization. This was prominent in 10n-1 of question 2 of questionnaire 2. It showed 93% and 88% of correct answer rate in stage of recognizing pattern and 86% in stage of verbalization but it fell to 16% in stage of symbolization. This shows that in this number pattern, symbolization can be difficult even though recognition of pattern is easy. Third, there is a cognitive gap between ability of verbalizing pattern and ability of symbolization. The correct response of question group 나 is 10n-1 in the stage of symbolization. Many students recognize the relation of an+1=10an and in the stage of verbalization they respond next number=fore number×10 or □×10 , multiply 10 continuously. However in the stage of symbolization asking what is the n th number, most respondent answered 10n. The biggest reason of low correct answer rate in the stage of symbolization of question group 다 is because they applied the relation an+1=an+2 which is the expression of the stage of verbalization to the stage of symbolization and responded n+2 which they should of had responded 2n-1, 2n+1, 2n. In other words, they know how to make next number from fore number but they can not make nth expression. Fourth, students showed various types of recognizing pattern in the stage of verbalization. This tells us that students recognizing pattern types are various from the same type of number pattern. Also the stage of symbolization s correct answer rate is different depending on the format of recognizing pattern. This shows that there is useful algebraic format of recognizing pattern. The important point in introducing number pattern in algebra is that you can introduce algebra as a tool to justify the recognition of various types. Therefore it is important to direct that patterns which is recognized in various formula are equivalent. In stage of verbalization of question group 나 , instead of responding next number = fore number × 10 they show superficial pattern recognition type such as 0 is increasing , n-1 0 is formed . However, students who has this kind of pattern recognition type had higher failure rate in expressing pattern into letter in the stage of symbolization compared to students who answered □×10 . There were students who responded consistently odd number(question 3), odd number(question 4), even number(question 5) except 1 to the relation an+1=an+2 in question group 다 . Students who showed a bit higher success rate in stage of symbolization were students who verbalized next number = fore number + 2 . In case of question group 마 there were students who responded +3, +5, +7 or add the odd numbers continuously except 1 in stage of verbalization. However expressing descent series into letter is difficult so that students who answered n2, the correct response, showed less rate. Fifth, as expected, in any grade ability related to 1st step of pattern recognition was the highest(85%). 2nd was verbalizing ability(74%) next was 2nd step of pattern recognition and symbolizing ability was the lowest(30%). Sixth, in understanding pattern about arithmetic law it showed relatively high correct answer rate but, there were students who paid attention on superficious feature such as fixed number, fraction and letter. To introduce number and arithmetic pattern to understanding variable concept correlation was examined between understanding variable concept and pattern recognition on number and arithmetic law. First, generally correlation coefficient between total score of questionnaire on understanding variable concept and total score of questionnaire on pattern understanding ability on number and arithmetic law was r=0.548, and this is quite high. Second, among the number pattern recognition understanding ability, question group that showed the strongest correlation was understanding level of letter, the second was understanding ability of algebraic expression including variable, and the third was ability of accetance of lack of closure. In other words, when directing generalizaton of number pattern to students, variable concept which should be considered the most is understanding letter, next is understanding ability of algebraic expression and the last is ability of accetance of lack of closure. Third, according to the correlation between pattern of arithmetic law and variable concept, question which showed strong correlation was ability of accetance of lack of closure, the second was expressing ability of mathematic relation into letter and the third was understanding ability of algebraic expression including variable. In other words, when directing pattern on arithmetic law to students, variable concept which should be considered the most is ability of accetance of lack of closure, the second is expressing ability of mathematic relation into letter and the last is understanding ability of algebraic expression including variable.