관계적 이해를 위한 수업 도구로서의 소프트웨어 활용에 관한 사례 연구 : 고등학교 1학년 함수단원을 중심으로

Abstract

‘수학을 이해하도록 하는 것’이 수학 교육의 중요한 목표임에도 대부분의 학생들은 수학 지식이나 개념을 이해하는 관계적 이해가 아닌, 암기하고 기계적으로 문제 상황에 적용하는 도구적 이해를 하고 있는 것이 현실이다. 본 연구는 관계적 이해를 도울 수 있는 교재나 수업 도구가 부족한 현 교육 상황의 한 해결 방안으로서, 사회 전반에서 널리 쓰이고 있는 컴퓨터가 학생들의 이해를 위해 유용하게 사용될 수 있는지 그 가능성을 조사하는 것을 목적으로 하였고 구체적으로 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 컴퓨터를 활용한 활동 수업을 하기 전에 학생들의 함수에 대한 이해는 어떠한가? 2. 컴퓨터를 활용한 활동 수업을 하는 과정에서 학생들은 함수 단원에서 함수의 식과 그래프에 관련된 개념을 관계적으로 이해하는가? 3. 컴퓨터를 활용한 활동 수업에서 세 학생의 이해의 방식에 차이가 있는가? 있다면 어떤 것인가? 이를 위하여 질적 사례 연구 방법을 택하여 이화여자대학교 부속 고등학교 1학년에 재학중인 세 학생을 선정하여 약 4주에 걸쳐서 7회에 걸친 활동 수업을 실시하였다. 학생들의 이해의 양상을 관찰하고 분석하기 위하여 공식 면담, 비공식 면담을 실시하였고, 학생들의 수업 내용은 연구자에 의해 관찰되었다. 본 연구를 통하여 다음과 같은 연구 결과를 얻을 수 있었다. 첫째, 함수 단원은 이차함수나 삼차함수의 이해나 그 그래프의 특성에 있어서 그래프를 그리고, 해석하고, 관찰하는 경험이 있어야 함에도 불구하고, 학생들은 정확한 그래프와 많은 예들을 접할 기회가 적었으며, 칠판에 제시된 그래프들을 자유롭게 변화시킬 수도 없었다. 그들은 학교에서 그들 스스로 무엇인가를 해 볼 수 있는 기회가 적었던 것 같다. 따라서, 학생 B의 경우 단순히 공식만을 기억하여 도구적으로 적용하는 면이 많았고, 학생 C의 경우, 배운 지식을 기억하지 못하는 면이 있었다. 이는 비단 이 두 학생의 경우만은 아니라고 생각된다. 학생들로 하여금 구체물이나 시각적으로 사고할 수 있는 기회가 없이, 상상 속에서, 또는 정확하지 않은 몇 개의 그래프만으로 일반화하여 공식 이면에 대한 이해를 한다는 것은 학생 A처럼 수학을 즐기는 학생이 아닌 보통의 학생에게는 어려운 일임에 틀림없다. 이 학생들에게는 자신이 직접 무언가를 해보고, 깨닫는 경험이 필요하였다. 둘째, 세 학생은 그래프와 함수 식간의 연결성을 풍부히 해주고, 학생들로 하여금 직접 계획하고, 실행하고, 검사할 수 있는 기회를 제공하는 두 가지 소프트웨어를 활용한 수업의 결과로서 스스로 식을 입력하고 검사하는 시행 착오를 겪었고, 공식이나 규칙을 깊이 이해하게 되었으며, 자신의 오류도 수정할 수 있었다. 또한, 이들은 단순히 답을 구하는 ‘찍기’가 아닌 의심하고, 다른 방법으로 생각해 보는 다양한 사고 또한 하게 되었고 그 결과 수학에 대하여 전과 달리 자신감과 즐거움을 얻게 되기도 하였다. 즉, 컴퓨터를 활용한 수업은 학생들로 하여금 수학을 단순히 공식을 기억하여 적용하는 도구적 이해로서가 아니라 공식이나 규칙의 원리를 알고 그 결과를 능동적으로 사용하고 적용하는 관계적 이해로서 바라보게 하는데 도움이 되었다. 특히, 학생 B의 경우 선생님이 설명해주는 것을 듣기만 했던 것을 생각해 볼 때, 자신이 직접 실행하면서 규칙을 발견하고, 그 자신이 단편적으로 적용했던 것의 오류를 깨달을 수 있게 되었다. 셋째, 활동 수업의 관찰 결과로서 나타난 학생들의 이해의 양상은 다소 차이점이 있었는데, 수학을 매우 잘하고 성적은 비교적 상위권인 학생 A가 가장 관계적으로 이해하였으며, 성적이 매우 우수한 학생 B는 오히려 평행이동의 개념이나 방정식과 그래프의 관계에 있어서 도구적으로 이해하여 문제가 조금만 바뀌면 자신이 알고 있는 지식을 적용하지 못하였다. 또, 성적이 중위권인 학생 C는 수학적 지식이 부족하기는 했지만, 다른 두 학생과 비하여 매우 창조적이고 발전적으로 사고하는 모습을 볼 수 있었다. 즉, 성적과 이해는 서로 별개의 것이며, 성적에 상관없이 관계적으로 생각하고 이해할 수 있는 학습의 기회가 필요하다는 결론이 유출되었다. 결국, 학생들의 관계적 이해를 돕도록 하는 수업 도구나 교재가 부족한 이 시점에서, 현재 사회 전반에서 널리 쓰이고 있는 컴퓨터가 그를 위해 유용하게 사용될 수 있는지 그 가능성을 조사하는 것을 목적으로 한 본 연구의 결과로서 함수 단원에서 이차함수와 삼차함수의 그래프에 대한 이해, 방정식과 함수의 관계에 대한 이해에 있어서 컴퓨터 소프트웨어를 활용한 수업이 매우 긍정적인 효과를 줄 것으로 기대할 수 있다. ; Although `To make understand mathematics is an important educational purpose, most student do not have a relational understanding of the basic concept of mathematics, but have a Instrumental Understanding; just memorizing formula and solve with that routinely. Instructional tool which can help student for relational understanding is limited and not enough. So, this paper will investigate the capability that computer can be used for enhancing relational understanding. Entirely, these research questions are settled. 1. Before the activity with a computer, how about is the understanding of each student on the unit of function? 2. Do they understand the function concepts relationally during the activity using a computer? 3. In this activity, is there any differency between three students understanding? If there is, what is it? With the `Qualitative case study . I took seven activities with three students who are first grade in Highschool of Ewha Womans University for about four weeks. I also carried out interview and informal discussion and observations in order to analyze understanding of students. This is the result of this study. First, the learning of function especially needs experience of drawing, analyzing and examining graphs. But students have never had enough opportunity for the exact graphs and many examples. Also, they couldn t easily transform graphs on a blackboard. They didn t have a opportunity to do something by themselves in school. Therefore, student B just applied formula which she had memorized, and student C used to forget them occasionally. I didn t think that these two are only the case. If they are common student who doesn t enjoy mathematics unlike student A, without any concrete and graphic example, just in imagination with a few of indefinite graphs, reading between the lines of formula is a absolutely very difficult. These common student needed experience to do and understand something by themselves. Second, as the result of activity using two software which richen connection between graphs and function, and gave opportunity to plan, practice and test by themselves, they understood formula and rules more deeply through the their own trial and error, and could correct it. They would rather considered their way one more time and thought another one than just appling formula. They got a multiple thinking about mathematics and also had a pleasure and confidence. Namely, activity using computer helps a student understand relationally and study actively. Especially, before this activity student B just listen lecture of teacher, after activities she can find a rule and comprehends her misconception which she had apply. The third, the understanding type of students was slightly different. The student A who gets high score understood the most relationally, the student B who gets very high score understood instrumentally at the concept of translation and connection of equation and graph, so couldn t apply her knowledge, the student C who gets middle score was lack of a knowledge of mathematics, but thought more creatively and developmentally. That is to say, the understanding have nothing to do with the score. The result is that students need an opportunity to think relationally in regardless of score. In current education, instructional tool which can help student for relational understanding is limited and not enough . So, this paper investigated the capability that computer can be used for relational understanding. As the result, I expect that instruction with a computer software will give a positive effect for relational understanding in the unit of equation and function.