수학학습에서의 오류의 활용 효과

Abstract

수학적인 결과들은 절대적이고 운명적인 것이 아니라, 인간활동의 다른 생산물들처럼 사회적으로 구성되는 것이기 때문에 오류가 뒤따른다. 따라서 수학학습과 오류 또한 밀접한 관계가 있고, 이러한 이유에서 학습에 있어서의 오류를 진단하고 치료하기 위한 연구는 계속 되고 있다. 그러나 진단하고 치료하는 목적은 오류를 없애기 위한 것이 대부분이며, 오류를 더 긍정적인 방향으로 사용하려는 노력은 미흡한 실정이다. 또한 최근의 수학교육이 수학적 사고의 교육을 지향하고 있는 바, 오류를 치료의 대상이 아닌 사고의 자극제로 사용할 수 있는 방안들이 모색되어야 할 것이다. 이에 본 연구에서는 오류의 긍정적인 역할을 강조하며 오류를 새로운 학습의 출발점으로 보는 Borasi의 관점을 받아들여 오류를 사고의 자극제로 사용할 수 있는 가능성을 모색하고자 하였다. 이를 위하여 문헌 연구를 통하여 오류에 대한 새로운 관점과 오류의 역할 및 활용 방안에 대하여 고찰하였으며, 원·다각형· 짝수· 여러 가지 사각형 등의 개념을 중심으로, 정의에서의 오류를 사고의 자극제로 사용하는 실험연구를 실시하였는 바, 연구문제는 다음과 같다. 첫째, 원의 정의에 대한 오류활동을 통해 정의의 조건을 인식할 수 있는가? 둘째, 교수학적으로 변형된 다각형의 정의에 대한 오류 활동을 통해 정의가 만 들어지는 과정을 경험할 수 있는가? 셋째, 짝수와 홀수의 정의에 대한 오류활동을 통해 정의의 외포를 확장시키는 사고를 할 수 있는가? 넷째, 여러 가지 사각형의 정의에 대한 오류활동을 통해 학생들은 개념에 대하여 학습할 수 있는가? 다섯째, 교사는 학생들이 오류를 사고의 자극제로 사용하게 하는데 어떠한 환경을 만들어 주어야 하는가? 연구대상은 서울에 위치한 S 중학교 학생 2명을 대상으로 사례연구를 하였으며, 이 학생들을 선정하기 위해 30명의 학생들을 대상으로 여러 가지 개념에 대한 초벌 질문을 하였다. 그리고 자신의 생각을 표현하는데 조금은 익숙하며, 오류에 대한 감정정도가 오류활동을 하는데 지장을 줄 만큼 부정적이지 않은 학생들을 선정하였다. 실험결과 정의에 대해 그다지 생각해 본 적이 없으며, 정확한 정의가 아니어도 개념을 대략 인식했던 학생들은 점차 정의를 정확히 하려고 노력하는 모습을 보여주었고, 교수학적으로 변환된 정의를 만족하지 않는 예를 통해 조금 더 엄밀한 정의가 이루어지는 과정을 경험하였으며, 익숙한 개념의 정의를 분석해봄으로써 외포를 확장시키는 사고를 할 수 있었다. 그리고 자신의 정의를 분석하는 활동을 통해 대상을 자세히 탐구하는 경험을 하고, 스스로 개념의 예인 것과 아닌 것을 구분하려는 사고를 함으로써 개념에 대하여 학습할 수 있었다. 이렇게 오류를 사고의 자극제로 사용하기 위해서 교사는 우선 학생들로 하여금 오류에 대하여 긍정적인 생각을 가질 수 있도록 해 주어야 하며, 두 번째로 학생들의 사고를 자극하기 위한 적절한 환경을 만들어 주기 위해서는 그들의 사고과정을 알 수 있어야 하기 때문에, 학생들이 그들의 수학적 아이디어를 말로 나타낼 수 있도록 도와야 한다. 세 번째로 학생들에게 수학적 문제들 중 하나이상의 답을 가지고 있는 경우가 많다는 것을 보여주어야 한다. 마지막으로 교사는 오류를 분석하는 작업을 해야 한다. 어떤 것이 오류인지 아닌지의 결정이 오류를 발생시키는 인간과 문맥에 의존한다고 했을 때, 오류를 사고의 자극제로 사용할 수 있는지 아닌지의 판단과 어떤 오류활동이 필요한지에 대한 판단은 학생들이 아니라 교사가 할 일이다. 이러한 결과를 바탕으로 본 연구는 정의 분석을 통해 오류를 사고의 자극제로 사용하기 위해 교사에게 정의에 대해 가지고 있어야 할 지식의 준비와 수학교육과정 내에서의 다양한 오류의 분석, 그리고 다수를 대상을 한 오류분석 활동의 가능성의 탐색등을 제시하였다.;Mathematical consequences are followed by errors, as they are not destined nor definite, but they are made up socially just like other fruit of human behavior. That means, learning mathematics is closely related to an error, and that's why the study on diagnosis and treatment for the error in learning are going on. However, the purpose for the diagnosis and treatment is mostly for determinating errors with little effort to use the errors more positively. Besides, since teaching mathematics is for learning of mathematical thinking, error should be searched as a stimulus to thought, not an object which needs treatment. Therefore this study accepts Borasi's opinion who emphasized positive roles of an error, that an error is a beginning of a new learning, and searches the possibility of using errors as stimuli to thought. For that the role of errors as well as new opinions on errors, the usage of them are considered through literature inquiry on the subject. And following is the experiment for using an error as a stimulus to thought, with a notion of a circle, a polygon, even and odd numbers. The inquiries are the following; First, could the terms of definition be recognized through making errors on the definition of a circle? Second, could the process of forming definition be experienced through making errors on the definitions of polygons which are modified pedagogically. Third, could the modification of definition take place through making errors on the definition of an even number and an odd number? Fourth, can learners acquire the notions through making errors on the definitions of various quadrangles? Fifth, what environment or atmosphere should a teacher make up for learners to use errors as stimuli to thought? For this, case study is carried out with two students, who are selected out of 30 students, who were asked of various questions about notions, attending S middle school in Seoul. Also they are proud enough to express themselves fluently, and they don't have a serious emotional filter, that is the feeling about errors do not disturb the activities. As a result, the students who got the rough idea, not an precise definition before get to try to create a definition, and they experience the process of forming more accurate definition, with an example of discontent with pedagogically transformed definition. In addition, they analyze the definition of familiar notions, and doing this they think to expend their range of thought. Analysing their own definitions, they go through careful examination and they can learn the notion for themselves distinguishing proper and improper examples of notions. The first to use a error as a stimulus to thought is that a teacher let learners get a positive idea about errors. Second, help them to express their mathematical ideas as a teacher should know the process of learners' thinking in order to make up relevant environment for spurring learners' idea. Third, a teacher ought to show the learners that a mathematical problem often has more than one right answer. Finally a teacher must analyse errors. The decision whether something is a error or not depends on a human who makes the error and the context, that teachers, not learners must decide if an error can be used as a stimulus to thinking and what kind of error-making is necessary. Based on the result, this study provides teachers with preparation for knowledge about definition in order to use an error as a stimulus to thinking by means of definition analysis, diverse error analysis within mathematical curriculum, quest for possibility to error analysis for the great part.