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예비교사와 현직교사의 극한개념에 관한 교과 내용적 지식과 교수학적 지식

Title
예비교사와 현직교사의 극한개념에 관한 교과 내용적 지식과 교수학적 지식
Authors
박수정
Issue Date
2002
Department/Major
대학원 수학교육학과
Publisher
이화여자대학교 대학원
Degree
Master
Abstract
학생이 수학적 지식을 학습하도록 하는 것을 목표로 하는 교사, 학생, 환경 사이의 관계상황이라고 할 수 있는 수학교수학적 상황 속에서 교사가 학생의 잠재력이 최대한 발휘될 수 있도록 도와주는 안내자 역할을 하려면, 교사는 기본적으로 학교수학 지도에 필요한 내용적 지식을 충분히 갖추어야 한다. 더불어 학생에 대한 이해를 바탕으로 내용적 지식을 적절한 교수학적 변환 과정을 통해 학생의 수준에 맞게 표현할 수 있는 교수학적 지식도 갖추어야 한다. 일반적으로 수학을 전공한 교사들이 학교수학에 필요한 지식을 충분히 소유하고 있다고 가정되지만, 선행연구를 바탕으로 볼 때, 이는 섣불리 단정될 수 없다고 하겠다. 이에 본 연구에서는 현직·예비교사의 학교수학에 대한 이해도를 해석학의 기본개념인 극한을 소재로 확인하고자 하였다. 현직·예비교사들의 극한에 대한 내용적 지식과 교수학적 지식의 정도를 알아보고자 다음과 같은 연구문제를 세웠다. 1 . 현직교사와 예비교사들의 '극한개념의 내용적 지식'에 관한 연구문제 (1) 현직교사와 예비교사들은 극한의 직관적 정의(고교 수준)를 바르게 서술하 고, 그 정의 방식의 특징(의미)을 알고 있는가? (2) 현직교사와 예비교사들은 극한의 형식적 정의(대학수준)를 바르게 서술하 고, 그 정의 방식의 특징(의미)을 알고 있는가? (3) 현직교사와 예비교사들은 극한에 대한 문제를 바르게 해결하는가? (4) 현직교사와 예비교사들은 극한에 대해 어떤 개념이미지를 갖고 있는가? (5) 현직교사와 예비교사들은 무한급수(의 합)의 정의와 성질을 바르게 알고 있는가? (6) 현직교사와 예비교사들은 무한급수(의 합)의 대한 문제를 바르게 해결하는 가? 2. 현직교사들의 '극한개념의 교수학적 지식'에 관한 연구문제 (1) 현직 교사들은 '극한개념'을 어떤 방식으로 지도하고 있는가? - 수직선 모델, 그래프 모델, 기타 (2) 현직 교사들의 극한 개념 이미지는 교수 상황에서 어떻게 나타나는가? (3) 현직 교사들은 극한에 대한 학생들의 개념이미지와 오개념을 알고, 적절한 교수를 제공하는가? (4) 현직교사들은 무한급수(의 합)에 대한 학생들의 개념이미지와 오개념을 알 고 적절한 교수를 제공하는가? 위의 연구문제를 기본으로, 서울·경기도·전라도 소재의 9개 고등학교 수학교사 33명과 서울시내 대학 3곳의 수학교육과 3, 4학년 예비교사 52명을 대상으로 설문조사를 실시하였다. 설문지는 극한에 관한 선행연구들과 수학사, 수학I 교과서 등을 참고하여 수열의 극한과 무한급수에 대한 전반적 이해(내용적 지식)를 조사하는 문제와 극한과 무한급수에 대한 교수방식(교수학적 지식)을 확인할 수 있는 문제로 구성되었다. 먼저 내용적 지식에 관한 연구결과는 다음과 같다. 첫째, 교사들에게 극한의 직관적 정의와 형식적 정의를 서술해 보도록 했을 때, 예비교사들은 극한의 직관적 정의를 완벽하게 서술하지 못하는 경우가 많았고, 형식적 정의는 비교적 바르게 서술하였다. 그에 비해 현직교사들은 직관적 정의와 형식적 정의를 모두 양호한 비율로 바르게 서술하였다. 그러나 두 정의 방식의 차이에 대한 보다 심도 있는 이해여부를 확인하고자, 두 정의 방식의 관점의 차이 등을 서술하여 보도록 하는 했을 때는, 예비교사나 현직교사 모두 단순히 표현의 차이만을 지적할 뿐, 다양한 관점의 차이를 지적하지 못했다. 둘째, 극한과 관련한 문제 풀이에서는 예비교사와 현직교사가 모두 높은 정답률을 보였다. 셋째, 극한 개념에 대한 이해도를 확인한 결과, 예비교사와 현직교사들은 동적극한개념과 정적극한개념을 모두 바르게 인식하고 있었다. 그러나 동시에 극한을 한계값, 도달불능값, 마지막항, 근사값으로 이해하는 교사도 적지 않았다. 이들은 여러 가지 복잡하게 혼합된 극한개념모델을 형성하고 있는 것으로 보인다. 예비교사에게 자신의 극한 개념을 가장 잘 설명하는 극한모델로 '정적모델'을 꼽았고, 현직교사는 '정적모델'과 '동적모델'을 꼽았다. 넷째, 극한의 가장 직접적인 응용이라고 할 수 있는 무한급수(의 합)에 대한 이해를 조사해 본 결과, 예비교사의 절반 이상이, 현직교사는 대부분이 무한급수(의 합)의 정의를 알고 있었다. 그러나 예비교사와 현직교사 모두 무한급수 S=a₁+ a₂+ … +a_n + ‥는 n이 무한대로 향할 때, 부분합S_n을 항으로 하는 수열의 극한이라는 사실을 생략하여 표현한 것이라는 사실에 대한 이해는 부족한 것으로 드러났다. 다섯째, 예비교사들은 극한을 도달불능 값으로 인식하고 있는 오류를 보이듯이 무한급수의 합 또한 도달불능 값으로 생각하는 경우가 많았고, 무한합을 다루는 방법이 유한합과 구별되어야 함을 인식하는 예비교사들도 겨우 절반가량 뿐이었다. 현직 교사들도 절반가량이 도달불능값으로 무한급수의 합을 인식하고 있었고, 유한합과의 구분의 필요성에 대해서는 비교적 많은 교사가 인식하고 있었다. 여섯째, 무한급수의 정의와 성질을 직접 이용하는 문제상황에서는 예비교사와 현직교사 모두 무한급수의 정의와 성질을 문제 상황에 적절히 적용하지 못하였다. 교사의 교수학적 지식에 관한 연구결과는 다음과 같다. 첫째, 교사들이 '극한을 어떻게 가르치고 있는가'하는 교수학적 지식을 구체적으로 확인하기 전에, 먼저 극한을 동적관점(직관적 정의)으로만 지도하는 교사들과 동적관점(직관적 정의)에 정적관점(형식적 정의)를 보완하여 가르치는 교사들로 구분하여, 그 둘의 지도방식(극한의 표현방법)이 어떻게 다른가를 비교함으로써 교수학적 지식의 수준을 파악하고자 하였다. 어떤 필요를 느끼고 있든지, 느끼지 못하고 있든지 거의 대부분의 교사가 동적 관점에서만 극한을 지도하고 있다고 판단되었고, 지도방법상의 특별한 아이디어를 제공하지 못하였다. 둘째, 교사들은 수업설계 상황에서도 학생들의 극한 오개념에 대한 고려를 한다는 교사는 38%에 불과하였고, 극한의 개념지도 보다는 극한의 문제 풀이에 많은 시간을 소비하고 있었다. 학생의 오개념을 고려한 수업설계를 한다고 응답한 교사 중에 학생들의 오개념의 유형을 제대로 이해하지 못한 경우가 많았고, 오히려 교사가 오개념을 가진 경우가 있었다. 셋째, 무한급수에 관련한 오개념을 보이는 학생에게 적절한 교정지도를 하도록 했을 때는 학생의 오개념의 원인을 파악하는 것에서부터 적절한 교정지도를 위한 방법까지 특징적인 대답을 주는 교사는 거의 없었다. 학생들에 대한 이해는 미흡한 상태였고, 교정지도 또한 알고리즘적 풀이와 방식에 크게 벗어나지 못했다. 교사들의 학생에 대한 지식은 전반적으로 많이 부족한 것으로 나타났다. 이상의 연구결과로 볼 때, 현직교사와 예비교사들의 극한개념에 대한 내용적 지식과 교수학적 지식의 수준은 그리 높다고 볼 수 없겠다. 고등수학을 학습한 수학교사들도 실제 학교수학의 기본개념에 많은 오개념을 가질 수 있음이 확인되었고, 이러한 교사들의 극한 개념은 교수상황에서 학생들에게 그대로 전이될 확률이 높다고 하겠다. 전체 수업의 질 개념을 위해서는 위와 같은 이해 수준에 머물러 있는 교사에게 적절한 처치가 필요하다고 하겠다. 먼저, 예비교사들에게는 고등수학 학습과정에서 고등수학과 학교수학과의 연계성을 고려해 보도록 하는 수업기회를 많이 제공해야 할 것이다. 또한 현직교사의 수업을 관찰하는 간접경험의 기회와 실제 현장에서 학생을 지도하는 실습의 기회가 현재보다 다양하게 주어져서 현직교사가 되기 전에 보다 풍부한 현장경험을 할 수 있도록 해야 할 것이다. 현직교사에게는 교사연수를 통해 수업결손을 보완할 수 있는 재교육의 기회가 제공되어야 한다고 보여진다. 교사연수는 대학수준의 순수수학내용을 단순하게 복습하도록 하는 것이 아니라, 현행교과서 내용의 지도법, 고등수학과 학교수학의 연결성들을 고려해볼 수 있는 기회를 주는, 교사에게 현실적인 도움을 주는 교사연수가 될 수 있어야 하겠다. 또한 교사 스스로도 현장수학교육의 연구자가 되고자 자기계발에 부단한 노력을 기울일 필요가 있다. 학교별 또는 지역별로 세미나 팀을 구성하여 교재연구를 하고, 이를 바탕으로 학습지도안을 제작하여, 학생들은 지도해보고 각자의 경험을 공유하는 기회를 갖는 것도 좋은 방법이 될 수 있을 것이다.;To become a guide who helps students to display their potentiality as much as possible under mathematics pedagogical situations, teachers should have enough knowledge of contents needed for mathematics education in school. And they should have pedagogical subject-matter knowledge to express educational contents on the same level as students have through the pedagogical conversion progress based on their understanding of students. In this study, the understanding of teachers and prospective teachers on curricular mathematics was examined concerning the limit which is a basic concept of analytics. Below-stated study questions were prepared to find out the level of subject-matter knowledge and pedagogical content knowledge about the limit of teachers and prospective teachers. 1. Study questions on the subject-matter knowledge of limit concept of teachers and prospective teachers (1) Do teachers and prospective teachers explain the intuitive definition of limit (High school level) correctly and know the characteristic of its definition method or not? (2) Do teachers and prospective teachers explain the formal definition of limit (High school level) correctly and know the characteristic of its definition method or not? (3) Do teachers and prospective teachers solve problems related to the limit correctly or not? (4) What conceptual image about the limit do teachers and prospective teachers have? (5) Do teachers and prospective teachers know the definition and characteristics of the infinite series (and its sum) correctly or not? (6) Do teachers and prospective teachers solve the problems of infinite series (and its sum) correctly or not? 2. Study questions on the pedagogical content knowledge of the limit concept of teachers (1) How do teachers teach students the limit concept? - perpendicular line model, graph model, others (2) How is the image of limit concept of teachers displayed under pedagogical situations? (3) Do teachers know the conceptual image and misconception which students have on the limit and offer appropriate teachings to students or not? (4) Do incumbent teacher know the conceptual image and misconception which students have on the infinite series and supply appropriate teachings to students or not? This study are based on survey which is executed in 9 high schools where are in Seoul, Kyunggi-Do, Julla-Do. 33 teachers & 52 prospective teachers were partickpated in the survey. Questionnaires consisted of questions to examine the general understanding (subject-matter knowledge) on the limit of series and the infinite series and questions to confirm teaching method (pedagogical content knowledge) for the limit and the infinite series. The result of study on subject-matter knowledge is as follows: First, most of prospective teachers did not perfectly explain the intuitive definition of the limit and explained its formal definition comparatively in correct. In comparison with prospective teachers, teachers explained the intuitive and formal definition of limit almost correctly. Second, in the case of questions related to the limit, both of them presented the high percentage of correct answers. Third, prospective teachers and teachers understood the concept of dynamic limit and static limit, but many teachers misunderstood the limit as limit value, unreachable value, last term or approximate value. Forth, more than half of prospective teachers and most of teachers know the definition of infinite series (and its sum). But, it was presented that both of them did not fully understand that infinite series is expressed by omitting the fact that when n approaches to limit, the infinite series is the limit of series of which the S_n, a partial sum is its term. Fifth, most of prospective teachers considered the sum of the infinite series as unreachable value and just half of prospective teachers recognized that a method for the sum of infinite series should be different from a method for the sum of finite series. Half of teachers recognized the sum of infinite series as unreachable value and relatively many teachers recognized that the sum of infinite series should be distinguished from the sum of finite series. Sixth, in question case that they should directly use the definition and characteristics of infinite series, they could not appropriately apply the definition and characteristics to questions. By examining the direct teaching methods of teachers and the pedagogical content knowledge of teachers, the following result was drawn. First, it was presented that most of teachers were teaching students the limit at the dynamic viewpoint of the limit and they did not present any special idea for teaching methods. Second, just 38% of teachers said that they took the misconception of infinite series which students had into consideration when they designed their teaching plan and they spent more time for solving problems related to the limit than for teaching the concept of the limit. Third, when teachers were suggested to offer proper correction guidance to students who had misconception related to the infinite series, few teachers offered specific answers from helping students to understand the reason of misconception to offering proper correction guidance. According to this study result, the level of teachers subject-matter knowledge and pedagogical content knowledge about the concept of the limit was considered as low, and to increase the quality of overall teachings, proper dealings for teachers who have the above knowledge level are deemed necessary. First of all, many teaching opportunities should be offered for prospective teachers to consider a connection between advanced mathematics and school mathematics in the curriculum of high school mathematics. And abundant field experiences should be offered for prospective teachers to observe the lessons of teachers and to teach students directly in school before they become teachers. For teachers, the opportunity of re-education should be offered to complement their teaching defects. And teachers also should do their best to develop themselves to become a researcher for school mathematics education.
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