중학교 3학년과 고등학교 1학년 학생들의 방정식과 함수의 관계에 대한 이해유형 분석

Abstract

The academic achievement of Korean students on equation and function appeared as very high in the comparison with students in other nations at the results of an international student assessment, TIMSS 2007. However, according to the results of investigating the students’class activities among the relation between the mathematics achievement and contextual variables, for practice activities to perform calculations, the Korean average appeared as extremely high compared to the international average, but for writing activities of equations and functions and thoughts on data analysis activities at tables, charts and graphs were investigated as lower than the international average. Accordingly, it was investigated that Korean students thought the majority of mathematics class activities were practicing calculations. Thus, this research intends to figure out the abilities of students who understand the relation between equations and functions beyond the calculation of equations and functions, and their types. By investigating and analyzing the development content on the relation between equations and functions at the textbooks of the 2nd and 3rd grade in middle school and the 1st grade in high school, this research presents its purpose in figuring out the differences and the characteristics of the 3rd grade students in middle school and 1stgrade students in high school through case studies based on the analysis, and selects the following study subjects. 1. How is the relation between equations and functions being suggested at the textbooks of the 2nd and 3rdgrade in middle school and the 1st grade in high school? 2. What differences exist between the type of understanding on equations and functions of the 3rd grade students and that of the 1stgrade students in high school? 3. What are the characteristics of the understanding type on the relation between equations and functions of the 3rd grade students in middle school and the 1stgrade students in high school? For this research, the 8-Ga and the 9-Ga textbook and the high school mathematics textbook for the seventh national mathematics were analyzed, and 91 students in the 3rdgrade of middle school and 110 students in the 1stgrade of high school were selected and the understanding type of students were analyzed through an assessment test. The assessment test was consisted of a total of 8 problems that were translation assignments and analysis assignments on the relation between equations and functions, and the types of understanding on the relation between equations and functions were classified into three types and the differences between the understanding types of the 3rdgrade students in middle school and the 1st grade students in high school. Also, three from each understanding type of each grade were selected among the research subjects; their case studies through interview were conducted and the characteristics of understanding types were analyzed. At the result of the first study problem, the relation between equations and functions was suggested for the 2ndgrade in middle school and the 1st grade in high school but not for the 3rd grade in middle school. At the result of the second study problem, many students from the 3rd grade in middle school were included at type 1 and 2, and especially type 2.1, indicating that they wereaware of the contents of linear equations and linear functions, among type 2. Majority of 1st grade in high school were included at type 2 and 3. For the result of the third study problem, the 3rd grade middle school students of type 2.1 separately understood the concept of equation and function at the problems about the relation between equations and functions and failed in connecting the two, but gradually figured out the relation between equations and function with the assistance of the researcher. Also, it was found that the 1stgrade high school students of type 3.2 were memorizing the relation between equations and functions as formulas and directly applied them at the problem solving, rather than understanding the relation between equations and functions by expressing the solutions of equations at the coordinates. The conclusion drawn from these results is that since the relation between the first equations and functions is already studied at the 2nd grade as well as the 3rdgrade of middle school, when studying the concepts of second degree equations and functions, it is advised to guide the students to maintain the relation between equations and functions studied at the 2nd grade and flexibly accept the relation between equations and functions suggested again at the 1stgrade of high school, by mentioning the relation between equations and functions at the textbooks or classes not to put any limits on connecting the two concepts and understanding the relation between the two and avoiding the direct training of problem solving only. Also, the teaching on the relation between equations and functions must be accompanied along with the teaching on the connection between structure of equations and function and its meaning, rather than the teaching on the relation between equations and functions with formulas. As the understanding types on the relation of equations and functions were re-organized through a precedent study by the researcher and analyzed according to the results, the outcomes can differ depending on the research purposes and it has a limit in selecting more concrete understanding types as configuring the understanding types as only two types. Therefore, the understanding types of students must be more specified and discussed based not only on translation and analysis assignments but also on other various types of assignments.;우리나라 학생들의 방정식과 함수 영역에서의 성취도는 국제 학업성취도 평가인 TIMSS 2007의 결과에서 다른 국가들에 비해 매우 높은 것으로 나타났다. 그러나 수학 성취도와 교육맥락 변인의 관계 가운데 계산하는 연습 활동은 우리나라 학생들의 평균이 국제 평균보다 높은 것으로 나타났으나 방정식과 함수 쓰기 활동과 표, 차트, 그래프에서 자료 해석 활동에 대한 생각은 국제평균보다 더 낮게 조사되었다. 그에 따라 한국 학생들은 수학수업시간에 하는 활동에 대하여 계산을 연습하는 활동이 대부분이라고 생각하는 것으로 조사되었다. 이로써 본 연구에서는 학생들이 방정식과 함수의 계산 능력을 뛰어 넘어 방정식과 함수 사이의 관계를 이해하고 있는 학생의 능력과 그 유형에 대해 알아보고자 한다. 본 연구에서는 중학교 2~3학년과 고등학교 1학년 교과서에서의 방정식과 함수 사이의 관계의 전개 내용을 조사, 분석하고 이를 바탕으로 사례연구를 통하여 중학교 3학년과 고등학교 1학년 학생들의 이해유형의 차이와 그 특징을 알아보는데 목적을 두고 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 중학교 2~3학년과 고등학교 1학년 교과서에서 방정식과 함수의 관계는 어떻게 제시되고 있는가? 2. 중학교 3학년 학생과 고등학교 1학년 학생들의 방정식과 함수의 관계에 대한 이해유형은 어떠한 차이가 있는가? 3. 중학교 3학년 학생과 고등학교 1학년 학생들의 방정식과 함수의 관계에 대한 이해유형의 특징은 어떠한가? 본 연구를 위하여 7차 수학과 교육과정의 8-가, 9-가 교과서와 2007 개정 수학과 교육과정의 고등학교 수학 교과서를 분석하였고, 중학교 3학년 91명과 고등학교 1학년 110명을 연구대상으로 선정하여 검사지를 통해 학생들의 이해유형을 분석하였다. 검사지는 총 8문제로 방정식과 함수의 관계에 관한 번역과제와 해석과제로 구성하였고 응답 결과를 바탕으로 방정식과 함수의 관계에 대한 이해유형을 세 유형으로 분류하여 중학교 3학년과 고등학교 1학년의 이해유형의 차이를 보았다. 또한 이 연구대상자 중 각 학년에서 이해유형별로 3명씩 선정하여 면담을 통한 사례연구를 실시하여 이해유형의 특징을 분석하였다. 첫 번째 연구문제의 결과는 중학교 2학년과 고등학교 1학년에서는 방정식과 함수의 관계에 관한 내용이 나오지만 중학교 3학년에서는 제시되지 않았다. 두 번째 연구문제의 결과는 중학교 3학년은 많은 학생이 유형 1과 유형 2에 포함되고 유형 2에서도 일차방정식과 일차함수의 내용을 알고 있는 유형 2.1에 포함되었다. 고등학교 1학년은 대부분이 유형 2와 유형 3에 포함되었다. 세 번째 연구문제의 결과는 중학교 3학년의 유형 2.1의 학생은 방정식과 함수의 관계 문제에서 방정식과 함수의 개념을 분리시켜서 서로 연결 짓지 못하였으나 연구자의 도움으로 점차 방정식과 함수의 관계를 알아갔고 고등학교 1학년의 유형 3.2의 학생은 방정식의 해를 좌표로 나타내어 방정식과 함수의 관계를 이해하기 보다는 공식처럼 기억하고 적용하는 것을 발견하였다. 이러한 결과로 내린 결론은 중학교 3학년에서도 2학년에서 이미 일차방정식과 일차함수와의 관계를 학습하였으므로 이차방정식과 이차함수의 개념을 학습할 때 문제 풀이에만 치우진 훈련보다는 두 내용을 서로 연결하여 방정식과 함수의 개념을 이해하는데 제한을 두지 않도록 교과서나 학교 수업에서 방정식과 함수의 관계를 언급해주어 2학년 때 학습했던 방정식과 함수의 관계를 유지하면서 고등학교 1학년 때 다시 제시되는 방정식과 함수의 관계를 유연하게 받아들일 수 있도록 해야 하겠다. 그리고 방정식과 함수의 관계를 공식처럼 지도하는 것이 아닌 방정식의 구조와 함수의 구조 사이의 연결과 그에 의미와 함께 방정식과 함수의 관계의 지도가 이루어져야 하겠다. 방정식과 함수의 관계에 관한 이해유형에 대해 본 연구자가 선행연구를 통해 이해유형을 재구성하여 그 결과에 따라 분석한 것이므로 연구의 목적에 따라 그 결과가 다르게 나올 수 있고, 과제의 유형을 두 가지 유형으로만 구성하여 좀 더 구체적인 이해유형을 설정하는데 한계가 있었다. 이로써 번역과제와 해석과제뿐만 아닌 다양한 유형의 과제를 중심으로 학생들의 이해유형을 더욱 세분화하여 보다 다양한 논의가 이루어져야 하겠다.