수열의 극한의 형식적 정의 도입 활동을 통한 개념이미지의 변화에 관한 연구

Abstract

교실 상황에서 학생들에게 있어 교사의 영향은 매우 큼은 부정할 수 없는 사실이다. 일반적으로, 수학을 전공한 교사는 학교에서 가르칠 때 매우 정확한 수학적 지식을 지니고 있을 것이라 기대하지만 이는 섣불리 단정 지을 수 없는 부분이라 할 수 있다. 교사가 되기 위해 사범대학에 진학하여 준비하고 있는 예비교사에 대한 연구는 교사의 질의 향상을 위해 필수적이다. Shulman(1986)은 특정 내용을 특정 학생들의 이해를 촉진할 수 있도록 가르치는 방법에 대한 교사의 지식의 개념으로 PCK(Pedagogical Content Knowledge)를 설명하고 있다. 교사는 개인에게 고유화된 PCK로 학생들을 지도하기 때문에 Tall & Vinner(1981)가 언급했던 교사 개인이 가지고 있는 올바르거나, 올바르지 않은 “개념정의(concept definition)”와 “개념이미지(concept image)”가 학생들에게 전달될 수 있는 가능성이 있다. 그러므로 예비교사에 대한 수학적 지식의 “개념정의”와 “개념이미지”에 대한 연구는 필요하다. 그리고 Tall(1992)은 미적분학을 넘어 발전된 수학을 이해하는데 있어서 기초적인 아이디어중 하나가 극한의 개념이라고 지적했다. 이에 근거하여 본 연구에서는 예비교사들의 수열의 극한에 대한 직관적 정의에서 형식적 정의로의 다양한 도입활동을 통해 개념이미지가 어떠한 변화를 보이는지 확인하기 위해 다음과 같은 연구문제를 세웠다. 1. 미적분학 수업을 듣는 대학 신입생들의 수열의 극한(수렴, 발산)의 직관적 정의와 형식적 정의에 대한 개인의 개념정의와 개념이미지는 어떠한가? 2. ε-strip과 공학도구(GSP, EXCEL)를 활용한 극한의 형식적 정의의 도입을 위한 활동은 개념이미지에 어떠한 변화를 주는가? 3. 수열의 극한의 지도에 대한 예비교사들의 지도전략은 어떠한가? 위의 세 가지의 연구문제를 기본으로, 서울 소재 1개 대학 사범대학 수학교육을 전공중인 예비교사 1학년 학생 중 미적분학 강의를 수강하고 있는 42명을 대상으로 본 설문지를 통해 설문조사를 실시하였다. 본 설문지는 예비교사들의 수열의 극한에 대한 개념정의와 개념이미지를 확인하고 인터뷰 대상자를 선정하는 문항들로 구성되어 있다. 본 설문지를 바탕으로 6명의 학생을 선정하여 과제기반 활동 및 인터뷰 검사를 실시하였다. 6명의 학생들은 수열의 극한의 형식적 정의의 도입을 위해 ε-strip과 공학도구(GSP, EXCEL)를 통해 활동을 하였고 이 후 설문검사를 통해 학생들의 수열의 극한에 대한 개념정의와 개념이미지의 변화를 확인하였다. 더불어 MPCK의 분석틀(Tatto et al., 2008)을 바탕으로 예비교사들의 수열의 극한의 형식적 정의를 지도하기 위한 지도 전략도 확인하여 분석하였다. 연구문제에 대한 연구결과는 다음과 같다. 첫째, 학생들의 수렴하는 수열에 대한 개념정의는 대부분 직관적 정의를 가지고 있음을 알 수 있었다. 그리고 개념이미지는 대부분의 학생이 동적인 관점을 가지고 있음을 확인 할 수 있었다. 발산에 대한 개념정의는 크게 ‘수렴하지 않는다’와 ‘n이 한없이 커질 때 수열 의 극한값이 양의 무한대, 음의 무한대, 진동하는 경우이다’라고 서술한 두 그룹으로 분류할 수 있었다. 처음 접하는 형식적 정의에 대한 개념정의나 개념이미지는 학생들 중 28.6%에 해당되는 학생이 거리, 차이, 구간 등의 정적인 의미로 서술한 학생들이고 11.9%의 학생은 직관적 정의와 형식적 정의가 혼재되어 있는 학생들이었다. 이를 통해 보면 전체 학생의 40.5%에 해당되는 학생들은 형식적 정의의 정적인 관점을 받아들일 준비가 되어 있음을 확인할 수 있었다. 둘째, ε-strip과 공학도구(GSP, EXCEL)를 활용한 극한의 형식적 정의의 도입을 위한 활동을 통해 알아본 학생들의 개념이미지의 변화에 대해 살펴보면, 학생들의 수열의 극한에 대한 이전의 개념이미지는 대부분 동적이미지였다. 그러나 ε-strip과 GSP와 EXCEL의 활동을 통하여 학생들의 개념이미지가 정적 이미지로 조금 더 다가갔음을 확인 할 수 있었다. 또, 학생들의 발산에 대한 개념이미지의 변화도 확인할 수 있었다. 이를 바탕으로 앞으로 수열의 극한을 지도할 때 수렴하는 수열뿐 아니라 발산하는 수열에 대해서도 관심을 가지고 지도해야하며, 학생들의 형식적 정의의 도입에 있어 바른 개념이미지 정립을 위하여 다양한 도입활동 또한 필요하다 본다. 셋째, 수열의 극한의 지도에 대한 예비교사들의 지도전략은 어떠한가를 알아보기 위해 MPCK의 분석틀을 바탕으로 6명의 학생들의 응답을 분석하였다. 인터뷰를 통해 면담한 학생 6명은 사범대학 1학년 학생들이다. 이 학생들은 현재 직관적 정의에서 형식적 정의의 수준으로 이행하는 단계에 있다고 볼 수 있다. 이러한 단계에 있는 예비교사들의 MPCK를 살펴보면 6명의 학생 중 대부분이 시각적인 활동을 통해 직관적인 방식으로 형식적 정의를 도입해야한다는 MPCK가 대다수임을 파악할 수 있었다. 이러한 점을 바탕으로 생각해볼 때 예비교사들이 AP Class 학생들을 대상으로 수열의 극한의 형식적 정의를 지도한다는 가정아래 도입하는 방식에 있어 시각적 활동을 통해 형식적 도입을 해야한다는 필요성을 예비교사들이 생각하고 있음을 알 수 있었다. 본 연구는 예비교사들의 수열의 극한의 직관적 정의에서 형식적 정의로의 올바를 이행을 위한 도입 활동을 통해 개념이미지의 변화가 어떠한가를 알아보는 연구였다. 도입 활동 이전의 학생들의 대부분은 수렴하는 수열에 대해 동적인 개념이미지를 가지고 있었으나 도입 활동 이후 개념이미지가 정적인 개념이미지로 변화했음을 확인 할 수 있었으며, 예비교사들의 발산의 정의에 대한 다양한 개념정의와 개념이미지의 확인을 통해 고등학교 학생들에게 수열의 극한을 지도할 때 발산의 정의와 그래프를 다양하게 지도할 필요성이 있음을 확인했다. 또한, 수열의 극한의 직관적 정의를 학습한 학생들에게 형식적 정의를 도입할 때 시각적인 활동을 통해 도입하여 형식적인 정의로의 이행하는 방향에 대해 예비교사들의 MPCK를 통해 확인하였다. 본 연구는 한 학교의 42명의 1학년 학생만을 대상으로 본 설문지 연구를 하였고 그 중 6명의 학생을 대상으로 인터뷰검사를 실시하였다. 일반화를 위해 다른 대학에 대한 연구로의 확장이 필요할 것으로 보이며, 발산의 정의에 대한 개념이미지의 좀 더 심도 깊은 연구 또한 이뤄지면 좋을 것이라 생각한다. 그리고 수열의 극한의 형식적 정의를 AP Class에 지도한다 가정할 때 예비교사나 교사가 가지게 되는 MPCK의 좀 더 많은 측면에 대한 연구가 이뤄진다면 좋을 것이라 본다.;It is an undeniable fact that the impact of teachers is very big for students in classroom situation. In general, the teacher who is majored in mathematics is expected to have very accurate mathematical knowledge when teaching in school, however, this cannot be judged rashly. It is thought that research regarding preservice teachers who are preparing by entering education university to become a teacher is necessary for improvement of teacher’s quality. Shulman(1986) explains PCK (Pedagogical Content Knowledge) with the concept of teacher’s knowledge about method of teaching certain contents, in order to promote understanding of certain students. Because teacher teaches students with PCK that is innate to individual, the fact kept by individual teacher, that there is possibility that can deliver “concept definition” and “concept image” which are either right or wrong, mentioned by Tall & Vinner (1981) cannot be deniable. Therefore, it can be seen that the research regarding “concept definition” and “concept image” of mathematical knowledge for preservice teachers are required. Also, Tall(1992) pointed out that, in order to understand developed mathematics beyond calculus, one of basic ideas is the concept of limit. Based on this, through various introduction activities of preservice teachers regarding limit of sequences from intuitive definition to formal definition, the following research problems were established in order to check what changes are shown by concept image. 1. What are individual’s concept definition and concept image like, regarding intuitive and formal definition of limit of sequences (convergence, divergence) for college freshmen who take calculus courses? 2. What change does activity for introducing formal definition of limit applying ε-strip and engineering tool(GSP, EXCEL) bring to the concept image? 3. What are strategies of preservice teachers like, regarding teaching limit of sequences? On the basis of three types of the above research problems, survey was conducted targeting 42 people who are taking calculus courses among preservice teachers freshmen who are majored in mathematics education in education college located in Seoul. This survey was composed of questions that confirm concept definition and concept image about limit of sequences for preservice teachers and selects interviewers. Based on this survey, activities based on assignment and interview test were performed by selecting six students. Six students were involved in activities through ε-strip and engineering tools (GSP, EXCEL) for introducing formal definition of limit of sequences, and later changes in concept definition and concept image about students’ limit of sequences were confirmed through this survey. Moreover, based on analysis frame of MPCK, teaching strategy for teaching formal definition of limit of sequences for preservice teachers were confirmed and analyzed. Research results about research problems are as follows. First, it can be known that concept definition about series that converges is mostly staying at intuitive definition. Also, concept image could be confirmed that most of students have kinetic point of view. Concept definition of divergence can be classified into two groups, which are described as ‘not converging’ and ‘when n is getting larger infinitely, limit value of sequences is positive infinity, negative infinity, and case of oscillation.’ For the concept definition or concept image about formal definition that was encountered first, 28.6% of students described it as the static meaning including distance, difference, and section, and 11.9% of students were mixed with intuitive and formal definition. By looking at this, it can be confirmed that 40.5% of total students are ready to accept static point of view for formal definition. Secondly, when looking at changes in concept image examined by students through activities of introducing formal definition of limit applying ε-strip and engineering tools (GSP, EXCEL), previous concept images regarding students’ limit of sequences were mostly kinetic images. However, through activities of ε-strip, and GSP and EXCEL, it can be confirmed that students’ concept images are approaching to static images a little bit. Also, changes in student’s concept images about divergence could be confirmed. Based on this, when teaching limit of sequences in the future, not only converging sequences but also diverging sequences should be paid attention and taught, and in terms of introducing formal definition for students, it can be seen that various introduction activities are also required for correcting right concept image. Third, responses of six students based on analysis frame of MPCK were analyzed in order to examine what the teaching strategies of preservice teachers are like, regarding teaching limit of sequences. Six students of interviewed students were first year students in education college. It can be seen that these students are currently in a stage carrying out the levels from intuitive definition to formal definition. Looking at MPCK of preservice teachers who are in such stage, most students among six students can understand that MPCK that formal definition should be introduced using intuitive method through visual activities, was the majority. When thinking based on such point, it can be known that preservice teachers are thinking about necessities of formal introduction through visual activities in terms of introducing method under the assumption that preservice teachers teach formal definition of limit of sequences, targeting AP Class students. This research was to examine what the changes in concept image are like, through introduction activities for preservice teachers’ proper performance from intuitive definition to formal definition of limit of sequences. Most of students before introduction activities had kinetic concept image about converging sequences, but after introduction activities, it was confirmed that concept image was changed into static concept image. When teaching limit of sequences to high school students through confirmation of various concept definition and concept image regarding preservice teachers’ definition of divergence, it was confirmed that there is necessity of teaching definition and graph of divergence variously. Also, when introducing formal definition to students who learned about intuitive definition of limit of sequences, it was confirmed by preservice teachers’ MPCK regarding direction of performing as formal definition by introducing through visual activities. This research performed survey research aiming only for 42 first-year students in one college, and among them only six students were targeted for interview test. Expansion into research regarding other universities is required for generalization, and it will be better if in-depth research of concept image about definition of divergence is performing. Also, when assuming formal definition of limit of sequences is taught in AP Class, it would be better if research about all aspects of MPCK that preservice teachers or teachers get, can be performed.