메타표현능력에 근거한 그래프 발견 학습

Abstract

최근의 수학교육은 자신의 사고를 어떻게 표현하는가를 매우 중요하게 여기고 있다. 수학적 표현은 수학적 문제해결에 있어 필수적인 전략이다. 따라서 수학 용어, 기호, 표, 그래프 등의 다양한 수학적 표현을 이해하고 정확히 사용할 수 있는 능력이 신장되어야만 한다. 특히, 수학적 표현 중에 그래프는 다양한 정보와 상황을 한눈에 알아보기 쉽게 나타내는 중요한 도구이다. 수학적 표현의 중요성, 특히 그래프 표현의 중요성에도 불구하고, 그래프를 이해하여 그리는 활동 과정보다는 대수를 위한 수단으로 사용되어지는 형식적인 학교 수학의 영향으로 인해, 학생들은 그래프 표현을 해석하고, 그래프를 적용하고 발견해내는 것을 어려워하며, 또한 함수의 표현에서 어려움을 겪고 있다. 따라서 교사는 학생들이 표현의 중요성, 그래프의 중요성을 인식할 수 있도록 지도해야 하고, 학생들이 의미 있는 표현을 할 수 있도록 다양한 지도를 해야 한다. 그리고 교사는 수학적 개념을 구성하는데 도움이 되는 다양한 수학적 표현을 사용하는 수업 방안을 모색하고, 학생들이 표현을 정확히 이해하고 사용할 수 있도록 하며, 다양한 표현을 연결시킬 수 있도록 안내하여야 한다. 그러므로 본 연구에서는 학생들이 다양한 수학적 표현을 생성하고, 수학적 표현의 중요성을 인식할 수 있는 방안을 모색하고자 표현에 관한 연구에 관심을 갖고 “메타표현능력”에 초점을 두어 본 연구를 설계하였다. 본 연구에서는 자신의 사고를 수학적 표현으로 생성하고, 수학적 표현을 이해하고, 다양한 표현을 사용하는 것을 돕기 위해 메타표현능력을 신장시켜줄 수 있는 교수-학습 설계에서 학생들이 생성해낸 표현에는 어떤 것이 있으며, 사용된 구성적 자원의 종류로는 무엇이 있는지 알아보고, 학생들은 움직임(motion) 과제를 그래프로 추측 · 발견할 수 있는지, 설계된 학습을 통해 그래프 표현 능력이 형성되어 학생들이 그래프 과제의 맥락을 이해하여 그래프로 나타낼 수 있는지 알아보고자 다음과 같은 세 가지 연구문제를 설정하였다. 첫째, 학생들이 움직임(motion) 과제를 어떻게 표현하며, 학생들의 표현 결과물에서 나타난 메타표현능력의 구성적 자원은 무엇인가? 둘째, 학생들이 움직임 과제를 어떻게 그래프로 추측하고 발견하는가? 셋째, 학생들은 그래프 과제의 맥락을 이해하여 그래프로 어떻게 표현하는가? 이들 연구문제를 해결하기 위해, 본 연구에서는 학생들의 메타표현능력과 그래프 표현을 생성새내는 단계를 관찰하기 위해 질적 사례연구방법을 사용하였고, 2009년 8월 함수 단원과 그래프에 대해 학습하지 않은 초등학교 6학년 3명을 대상으로 수업 4차시에 걸쳐 관찰하였다. 4차시 동안 학생들이 탐구한 활동지와 사전 검사지는 선행연구를 바탕으로 하여 본 연구자가 재편성하고 개발한 것으로 하였다. 그에 따른 결과를 살펴보면, 첫째, 학생들은 움직임 과제를 만화 형태의 그림이나 그 상황을 대표할 수 있는 대상물이나 상징적 표현으로 나타내었다. 그리고 과제 상황을 서술적으로 기술하거나 자신의 표현을 보다 상세히 하기 위한 부가적인 설명으로 글자를 이용하여 표현하였다. 또한 학생들이 많이 사용한 표현이 화살표 표현인데, 화살표의 방향이나 길이, 간격, 기울기, 선분의 개수를 달리하여 속도의 변화를 나타내었다. 그리고 속력이 빠른 구간은 좀 더 짙은 색으로 나타내어 시각적으로 속도의 변화를 알아볼 수 있도록 표현을 생성하였다. 그리고 점의 간격, 표, 그래프 형태의 표현 등의 다양한 표현을 이용하여 과제를 해결하였다. 학생들은 과제를 이해하여 표현을 생성하고, 학생들은 서로 생성한 표현 결과에 대한 장 · 단점을 토의하는 비평 과정을 거치고, 이를 통해 자신의 표현에 대한 반성하고 난 뒤 표현을 수정·보완하는 단계를 거쳐 자신의 표현을 정교화하였다. 학생들의 표현 결과물에서 나타난 메타표현능력의 구성적 자원으로는 그림그리기(만화 형태의 그림, 대상물), 글자(비유적 표현, 주석), 시간의 연속, 선분의 특징(방향, 길이, 선분의 기울기, 크기, 두께, 선분의 개수, 선분의 촘촘함), 곡선(진동의 폭, 스프링 모양의 곡선), 색, 점, 그래프 형태의 표현, 표가 사용되었다. 둘째, 학생들은 시간에 흐름에 따른 속도의 변화를 사고실험으로 추측해보고 대략적인 그래프 개형을 추측해본 뒤에 변화를 설명하였고, CBR을 활용한 활동과 실제적인 측정 활동을 통해 그래프를 그리고 결과그래프를 확인하였다. 학생들은 그래프 개형을 올바로 추측하였고, 그런 추측을 하게 된 이유도 명확히 설명하였다. 이를 통해 그래프나 함수를 모르던 학생들이 본 학습 과정을 통해 ‘움직임’ 과제가 주어졌을 때, 속력 · 시간 · 거리 요소를 고려하여 이때의 표준적인 그래프를 추측하고 그릴 수 있는 능력이 형성되었음을 알 수 있다. 셋째, ‘토끼와 거북이’ 과제 해결 시 학생들은 토끼와 거북이의 시간에 흐름에 따라 위치와 속력의 변화를 파악하여, 토끼와 거북이의 움직임을 시간-거리 그래프로 나타내었다. 학생들은 토끼의 움직임의 그래프와 거북이의 움직임의 그래프, 두 가지 그래프를 동시에 추측하여 나타내었고, 토끼와 거북이의 속력의 변화, 위치 관계 등을 분석하여 그래프를 그려내고, 그래프에 대한 설명을 하였다. ‘사막 움직임’ 과제는 ‘토끼와 거북이’처럼 과제의 문장 속에 속도에 관한 언급이 되어 있지 않았으나 세 학생 모두 그래프 과제의 상황을 파악하여 과제의 맥락 요소인 시간, 속력, 거리를 인식하고 이를 고려하여 속도의 변화를 올바른 그래프 개형으로 그려냈다. 학생들의 다양한 메타표현능력을 생성하는 활동을 통해 그래프에 대한 능력 및 태도에 긍정적인 영향을 가져왔으며, 그래프 발달 단계에서 메타표현능력은 보다 효과적인 그래프 발견을 위한 요소였다. 그리고 그래프를 직접 발견하는 과정이 학생들의 표준적인 그래프 학습의 향상을 가져왔다. 따라서 형식적인 함수 도입 전에 이러한 그래프 발견 경험과 메타표현능력을 촉진시켜 주는 환경이 필요하다. 또한 학생들간의 의사소통을 통해 메타표현능력의 비평, 수정, 정교화 과정이 이루어졌고, 이에 따라 수학적 표현 능력의 신장과 의사소통 능력의 신장이 이루어졌을 것으로 기대된다. 학생들은 과제를 해결하는 동안 개념 지식을 점차 증가시키고 구조화해 나갔고, 본 학습 과정을 통해 학생들은 최종적으로 속력, 시간, 거리 사이의 관계에 대한 스키마를 스스로 형성해냈다. 이상에서 살펴본 연구 결과를 토대로 제한점을 밝히고, 제언 및 후속 연구 제안을 하고자 한다. 본 연구의 제한점은 다음과 같다. 첫째, 연구가 너무 짧은 시간에 이루어졌고 보다 더 다양한 과제를 제시하지 않아 다른 표현 유형들을 살필 수 없었다. 둘째, 짧은 연구 기간으로 인하여 학생들이 교사나 다른 학생들과의 상호작용에서 나타나는 표현 발견 학습의 효과를 살펴볼 수 없었다. 셋째, 연구 기간이 짧아 본 학습 과정에 참여한 학생들이 이후 함수 단원을 배우고 나서의 학업 성취를 살펴볼 수 없었다. 마지막으로 연구 결과 및 제한점에 근거한 제언 및 후속 연구 제안은 다음과 같다. 첫째, 메타표현능력에 근거한 표준적인 그래프 발견 학습에 참여한 학생과 참여하지 않은 학생의 함수 단원을 배우고 나서의 학업 성취도의 비교가 후속 연구로 필요하다. 둘째, 학생들이 움직임 과제를 해결하면서 흥미를 갖고 학습에 참여하고, 소극적이었던 학생이 적극적인 태도로 변함을 볼 수 있었다. 이런 정의적 영역에서의 학생들의 흥미와 태도 변화의 분석이 후속 연구로 이루어져야 할 것이다. 셋째, 메타표현능력에 근거한 다양한 활동을 통해 학생 스스로 이차함수, 삼각함수 등의 다양한 함수를 이해하고 그래프를 발견하는 연구가 필요하다. 넷째, 메타표현능력과 함수 영역이 아닌 다른 영역과의 연계학습을 개발하여 실시되는 연구가 필요하다.;Recent mathematical education makes much of the thing how to express one's idea. Mathematical representations are essential strategy in mathematical problem-solving. So, it's required to expand a competence to understand & use exactly various mathematical representations including terms, signs, diagrams & graphs. Especially, among the mathematical representations, a graph is an important tool to show the diverse info & situations easily to see. Despite the importance of the Mathematical representations, especially the importance of the graphic representations, students are in difficulties with representation the graphs and functions, due to the formal teaching at school which makes the graphs used as a tool of formal algebra rather than understandable for students makes students understood. Therefore, teachers must give students a variety of guidance in order for them to recognize importance of the representations & graphs and make a significant representations. And, teachers have to plan an instructional method to use the various mathematical representations helpful for composing the mathematical concepts. Also they must guide students to understand-use representations properly and connect a diversity of representations together. Therefore, in order to grope for a method students can generate various mathematical representations and recognize importance of it, this study was designed focused on "Meta-Representation Competence" with interest in studies on the representations. The ultimate aim of this study is to help students with generating their idea into the mathematical representations, understanding it and using it diversely. And in instruction-learning design to expand Meta-Representation Competence, its object is to inspect what representations there are students generate, what kind of the used constructive resources there are. And, to inspect whether students can guess-discover motion task through graphs, and whether they can understand context of the graph task & express it through graphs from the improved graph representation competence through the designed learning. So, 3 research topics were set like followings. First, how students represent a motion task and what's the constructive resources of meta-representation competence shown from students' representation results? Second, how students guess & discover a motion task through graphs? Third, how students understand the context of the graph task and represent it through graphs? For solving such research topics, this study used qualitative case study to observe students' meta-representation competence and steps generating graph representation. And, observation was done for 3 elementary school students of the 6th grade who hadn't learned unit of function & graphs for 4 sessions on Aug. 2009. I reorganized and developed a worksheet & pretest sheet which students explored for 4 sessions based on the precedent studies. As the result, first, students represented a motion task as the comic pictures, objects or symbolic expressions to represent a situation at that time. And they described a task descriptively, or expressed it using letters as the additional explanation for their detail representation. Furthermore, students used representation of an arrow frequently. Also they represented change of the speed through differentiating direction, length, interval, gradient of an arrow or number of a segment. To know change of speed visually, representation was generated by expressing sections of rapid velocity as the deep color. And, using the various representations like intervals of a point, diagrams & graphs, a task was performed. Students generated representations through understanding the task and discussed strong-weak points of the representations they generated. And, after reflecting on their representations, they corrected-complemented and finally performed refining of them. The constructive resources of meta-representation competence shown from students' representation results contained Drawing(comic pictures, objects), Letters(figurative expressions, annotations), Temporal sequences, Features of a line segment(direction, length, gradient, size, thickness, number, density), A curve line(oscillation range, spring-shaped circles), Color, Dot, Graph-like representation, Table. Second, students guessed change of speed according to the passage of time through the thought experiment, and explained changes after guessing rough graph shape. And they drew a graph through activities using CBR &practical measuring activities, and identified resulting graphs. Students guessed rough graph shape exactly and explained the reason of such guessing definitely. So it shows that students who hadn't known graph or function cultivated an ability to guess and draw the graph while considering the elements of velocity-hour-distance through this learning when given 'motion' task. Third, during solving the task 'The Tortoise & the Hare', students grasped changes of position and velocity according to the time passage of the tortoise & the hare, expressed their motions as hour-distance graph. Students guessed-expressed two graphs, a graph for the hare's motion and a graph for the tortoise's at the same time, drew a graph through analyzing changes of velocity and location of the tortoise & the hare, and explained the graph. In the task 'Desert motion', like 'The Tortoise & the Hare', there was no reference to speed in the task sentences, however, all three students grasped the condition of the graph task, recognized hour, velocity and distance as the contextual elements of the task. So they drew changes of speed as an exact graph considering things above. Activities to generate the various meta representation competence allowed students to have positive effects on the competence and attitude on the graph. Also at the developmental step of the graph, meta representation competence was an element for more effective discovery of the graph. And, a process to discover the graph directly caused students' improvement in the standard graph learning. Therefore, before introducing formal function, it's required for the environs to promote such experience of the graph discovery and meta representation competence. Furthermore, criticism, correction, refining of meta representation competence were done through communication among students. So it's expected that mathematical representation competence and communication ability may be expanded. Students gradually increased and structuralized the conceptual knowledge during task-solving. And, through this learning process, they finally formed scheme on the relations among velocity, hour and distance by themselves. The consequence of the study above is finding out the limitation and is suggesting following studies. The limits of this study are like followings below. First, the study was done for a short time and more various tasks weren't presented. So, it was impossible to inspect other patterns of representation. Second, owing to the short term of the study, students couldn't examine the effect of representation-discovery learning resulted from interactions with the teacher or other students. Third, also because of the short term of the study, it was impossible to examine academic achievements of students who participated in this learning process after learning the function unit. Finally, suggestions for following-up studies based on the research results & limits are like followings below. First, as the following-up studies, it's required to compare academic achievements after learning function unit between students participating in the standard graph-invention learning based on meta representation competence and students not participating in it. Second, the study showed that students came to participate in learning with interest and transformed from the passive to the active attitude through solving the motion task. Following-up studies are necessary for the analysis of students' changes in the interest & attitude in the affective domain. Third, through the various activities based on meta representation competence, studies are needed for students to understand diverse functions including quadratic function & trigonometric function and discover the graph by themselves. Fourth, studies must be done to develop a connected learning for meta-representation competence with other domains rather than that of function.