중등학교 집합과 명제단원 분석 및 개선방안 연구

Abstract

수학교육에서는 논리적으로 사고하고 처리하는 능력을 기르는데 역점을 두고 있으며, 수학의 내용은 추상적 대상으로 직관적 인식에 기초하여 논리적 전개가 명제의 형태로 표현되며 명제의 참, 거짓을 밝히는 논리로서 이루어진다. 따라서, 명제영역에서 다른 모든 단원의 수학학습의 바탕이 되는 용어의 정의가 어떻게 표현되고 있는지 중학교 8-나 단계와 고등학교 10-가 단계 교과서를 근거로 조사하였다. 본 논문의 내용은 다음과 같다. 첫째, 교육과정과 교과서에서 명제단원은 어떤 내용을 다루고 있으며 그 내용은 적절한가를 살펴 보았다. 둘째, 현행 중 · 고등학교 수학에서 수학의 기본이 되는 정의와 용어와 기호를 수학교과서를 토대로 고찰해봄으로서 명제지도에 어떤 문제가 발생할 수 있는가를 살펴 보았다. 본 연구는 명제단원의 교과서 분석을 통해 다음과 같은 결론을 얻었다. 첫째, 교육과정에서 제시한 내용과는 다르게 중학교 교과서에서는 반례, 명제를 기호표시법으로 나타내게 하는 문제를 제시하고 있으며 고등학교 교과서에서는 조친, 조건의 부정, 반례, 명제의 참-거짓, 명제의 역-이-대우, 필요충분조건의 설명에서 차이를 보이고 있다. 이는 교육과정에서 중ㆍ고등학교 명제지도 내용이 지나치게 축약되어 제시되고 있음을 보여준다. 둘째, 명제 'p이면 q이다'를 정의할 때 고등학교에서는 문자 p, q를 사용하고 있으나 중학교에서는 그림(●이면 ▲이다)과 문자기호(p, q를 혼용하여 정의하고 있다. 또한, 중 · 고등학교 교과서에서 「두 조건을 p, q라 할때, '…,이면 …이다' 꼴로 표현되어 'p이면 q이다'와 같이 쓰여진 명제가 될때, p를 가정, q를 결론이 라 한다」는 명제가 구성되는 방법을 설명하지 않고 명제는 'p이면 q이다'로 주입식방법으로 제시하고 있는 교과서가 대부분이었다. 마지막으로, 명제 'p이면 q이다'를 중학교 교육과정에서는 명제의 기호표시법(p→q)으로 표기하지 않고 고등학교에서는 명제의 기호표시법으로 표기한다. 그러나 중학교에서 명제를 기호표시법으로 정의한 교과서가 있다. 셋째, 정의의 명확성에 관한 문제로 명제 p→q의 참-거짓과 명제의 역-이-대우, 필요충분조건을 정의할 때 p, q를 명제인지 조건이지 제시하지 않고 있다. 또한, 명제의 부정은 정의하고 있으나 조건의 부정은 정의하지 않고 있으며, 합성명제의 부정을 정의하지 않은 교과서가 대부분이며, 한정명제의 부정, 조건문의 부정은 모든 교과서에서 정의하지 않고 있다. 더욱이 교육과정에서는 진리집합, 동치, 반례, 귀류법이란 용어는 제시되어 있지 않으나 교과서에 따라서는 정의하거나 사용하고 있다. 넷째, 교육과정에서 명제 p→q의 참-거짓과 명제의 역-이-대우, 필요충분조건을 조건문으로 정의함으로서 모든 교과서에서 조건문으로 정의하고 있으나 설명을 덧붙여서 포함관계로 정의한 교과서도 있었다. 본 연구결과를 토대로 명제 단원의 개선방안을 제언하면 다음과 같다. 첫째, 명제교육과정은 교육과정 구성원리에 따라 최소필요량으로서 교과서에 정의해야할 용어와 기호를 명확히 제시해야 할 것으로 생각된다. 또한, 명제교육과정을 단계적 구성원리에 맞도록 계열화하여 구성하고 명제단원을 수학적 내용과 연결하여 다루도록 하고 명제내용의 개념들 사이의 관계를 이해함으로서 논리적 추론을 할 수 있도록 개선되어야 할 것으로 생각된다. 둘째, 명제 p→q를 정의할 때 중학교에서는 명제의 가정과 결론을 이해하기 쉬운 그림기호로 정의하고 고등학교에서는 문자기호를 사용하여 정의해야 할 것으로 생각된다. 이때, 명제가 정의되는 방법을 이해하고 명제를 기호표시법으로 지도하여 수학적 개념을 명확하고 간결하게 표현하며 사고를 형식화하도록 해야 할 것으로 생각된다. 셋째, 정의설명을 위해 사용하는 단어는 가장 정확한 것을 택하여 사용하고, 수학적인 기호나 용어 또한 정확히 사용해야 할 것으로 생각된다. 또한, 생략된 정의는 연관된 다음 단계의 학습을 위해서 반드시 밝혀주어야 할 것으로 생각된다. 넷째, 명제의 참-거짓과 명제의 역-이-대우, 필요충분조건을 지도할 때 두 개념사이의 유종관계를 밝히는 고전논리학의 함의명제를 도입하는 것이 바람직하다고 생각된다.;The education in the mathematics puts emphasis on the development of an ability to think and manage logically. The content of the mathematics is the abstract subject; hence, on the basis of the intuitional perception, a logical expansion is described as a form of the proposition and is made up of the logic that discloses whether the proposition is true or false. Therefore, with respect to the textbooks of both the 8-Na level of the middle school and the 10-Ga level of the high school, I examine how the definition of the terms in the field of the proposition, which is based on the study of the mathematics in all the other units, is expressed. The content of this thesis is following below. First, I observe the topics, which the educational curriculum and the proposition unit deal with, and their relevance. Second, I observed the problems that the guidance of the proposition occurs in the present mathematics education of both middle and high school when I consider the definitions and terms on the basis of the mathematics textbooks. The analysis of the proposition unit in the textbooks causes this study to get the results as following below. First, unlike the contents that the educational curriculum presents, the textbook of the middle school gives the question about appearing the proposition and the counter example as the symbol and that of the high school shows the differences of the explanations among the condition, the negation of the condition, the counter example, the true and false of the proposition, the converse, inverse, and contrapositive of the proposition, and the necessary and sufficient condition. It explains that the content of the proposition guidance is represented as extremely reduced. Second, in case of the defining the proposition, 'If p then q' the textbook of the high school uses the letters, such as p and q, while that of the middle school mingles the picture with the letters. In addition, most textbooks of the middle and high school cram students head with knowledge that the proposition*is 'If p then q' without giving details that illustrate that If both conditions are p and q, the proposition is portrayed as the form of 'If ..., then...' hence, when the proposition is 'If p then q', p is the assumption and q is the conclusion. At last, the textbook of the middle school does not notate the proposition, 'If p then q', as the method of the symbol expression, while that of the high school does so. However, there is the textbook where the proposition is defined as the method of the symbol expression in the middle school. Third, when the true and false of the proposition, the converse, inverse, and contrapositive of the proposition, and the necessary and sufficient condition are defined in regard to the clearness of the definition, they do not demonstrate which is the condition or the conclusion between p and q. Moreover, the negation of the proposition is defined, while the negation of the condition is not. Most textbooks do not characterize the negation of the compound statements and all the textbooks do not introduce the negation of the quantified statements and the negation of the condition. Furthermore, the educational curriculum does not refer the terminology, such as truth set, equivalent, counter example, and reduction, while the textbooks identify or use them. Fourth, the educational curriculum considers the true and false of the proposition, the converse, inverse, and contrapositive of the proposition, and the necessary and sufficient condition as the conditional statements; therefore, all the textbooks also do so but some textbooks define them as the subsumption. According to the result of my research, the suggested alternatives of the proposition unit follow below First, I insist that the educational curriculum of the proposition should give the definiteness to the terminology and symbol that the textbooks should define since it is the necessary minimum amount in terms of the organizational principle of the educational curriculum. In addition, I assert that the educational curriculum of the proposition should be systematized and arranged with related to the organizational principle and the proposition unit should be controlled with connect to the mathematical subject and improved in order to conclude them logically by understanding the relationship of the concepts in the topic of the proposition. Second, when the proposition is defined, the condition and conclusion of the proposition should be depicted as the picture symbol in order to grasp them easily in the middle school and as the notation, such as p and q, in the high school. At that time, how to define the proposition is recognized and the proposition is conducted as the method of the symbol expression; hence, the textbooks should state the notation clearly and easily and formalize the consideration. Third, the word that explains the definition should be the most accurate in the textbooks where it is chose and utilized. The mathematical symbol and terminology should also be. Besides, the textbooks should essentially clarify the omitted definition for the next level of study. Fourth, in case of the guidance to the true and false of the proposition, the converse, inverse, and contrapositive of the proposition and the necessary and sufficient condition, the induction to the bearin proposition in the classical logic must be desirable in order to reveal th; genus-species relationship between both notations.