상위권 고등학생들의 수학적 정당화와 반증에 대한 사례연구

Abstract

This study aims to achieve pedagological implication by analysing mathematical justification and disproof of high-ranking highschool students when they confirm some presumption as true or false and convince others of their opinion. For this purpose, I set up tasks as below. 1. What kind of justification do the high-ranking highschool students use when they confirm the presumption as true and convince other people of it? 2. What kind of justification do the high-ranking highschool students use when they confirm the presumption as false and convince other people of it? 3. When they confirm the presumption as false and present any disproof, is there any difference when they are familar with the concept or not? For this study, I interviewed 11 high-ranking highschool student face to face. The data to be analysed includes audio data recorded during the interview, questionnaire sheets, and researcher`s daily log. For the first purpose of this study, I adopted analysis tool of former researches and analysed the categories of student`s justification. The analysis also covers the case that students fail to justify their tasks. For the second purpose of this study, I analysed and categorized student`s disproof. For the third purpose of this study, I further analysed the disproof which involve relatively new concepts, and compared the result with that of the second analysis. Through this study, I came to the conclusion as follows. First, I could observe that each student used various types of justification, and none of them remained in empirical justification level. Some of them failed to justify their tasks because they don`t know the definition of the concept which was used in the task. Second, there were various types of disproof and these types could be categorized into 4 major types. Most students perceived that counterexample is one of the disproof measure, but they avoided presenting concrete counterexamples because they try to use general terms, because they judged the counterexamples as low value, and because they tried to avoid strategical failure of finding counterexamples. Third, in the second task, students presented counterexamples of a special case. That is because the second task involves new concept, and students tried to generalize the case as far as possible within their ability. By this study, I could find some pedagogical implications First, the reason why high-ranking highschool students fail to justify is not because they are not up to the level of justification, but because they did not have the right concept or they did not know the definition of the terms. Thus, leading students to right concept and exact definition is necessary. Second, even though they were high-ranking students, they were not good at proof writing. Students should be given more chances to practice to improve their proof skills, and more proof writing exercise is necessary for them to feel comfortable when they try to prove something. Third, most students regarded counterexamples as low-level counter-argument skill. Teachers should inform the students that counterexamples is a highly-valued tool of proof. Students are not well aware of the fact that one single counterexamples is enough to disprove the hypothesis and it deos not have to be a formal form of proof.;본 연구는 상위권 고등학생들이 추측의 참, 거짓을 확인하고 다른 사람을 확신시키는 과정에서 나타나는 수학적 정당화와 반증을 분석하여 상위권 고등학생들의 증명 지도에 있어 교수학적 시사점을 얻고자 한다. 이를 위하여 연구 문제를 다음과 같이 설정하였다. 1. 상위권 고등학생들이 추측의 참을 스스로 확인하고 다른 사람을 확신시키는 과정에서 어떤 종류의 정당화가 나타나는가? 2. 상위권 고등학생들이 추측의 거짓을 스스로 확인하고 다른 사람을 확신시키는 과정에서는 어떠한 반증들이 나타나는가? 3. 새로운 개념을 가진 추측의 거짓을 확인하고 확신할 때에 나타나는 반증의 특징은 익숙한 개념을 가진 추측을 반증할 때 나타나는 특징과 어떤 차이점이 있는가? 연구를 위해 상위권 고등학생 11명을 대상으로 과제를 기반으로 한 일대일 면담을 실시하였다. 자료 분석 시 면담 과정을 녹음한 오디오 자료, 학생들이 과제를 해결한 면담지, 연구자의 현장 일지 등을 연구 자료로 포함시켜 분석하였다. 첫 번째 연구문제를 위해서 이전연구에서 분석 틀을 정하여 학생들의 정당화 유형을 분석하고 정당화에 실패하는 경우 또한 분석하였다. 두 번째 연구문제를 위해서는 학생들의 반증을 분석하고 범주화 하였고, 세 번째 연구문제를 위해서는 새로운 개념을 가진 추측들에 대한 반증들을 분석하고 그 특징들을 두 번째 연구문제의 결과와 비교하였다. 연구를 통해 다음의 결과를 얻을 수 있었다. 첫째, 한 학생에게서 다양한 정당화 유형을 볼 수 있었고, 경험적 정당화 수준에 머물러 있다고 보이는 학생은 없었다. 학생들은 정의를 확실하게 알지 못해 정당화에 실패하는 경우가 많았다. 둘째, 학생들에게서 다양한 반증의 형태를 볼 수 있었고, 이것을 4가지로 범주화할 수 있었다. 학생들은 반례가 반증의 방법임은 지각하나 구체적 사례에 의한 반례를 제시하는 방법은 선호하지 않았다. 학생들은 일반화된 표현을 추구하거나 반례의 가치가 낮다고 생각하기 때문에, 혹은 반례를 찾는 전략은 실패할 수도 있으므로 그것에 대한 불안감 때문에 구체적 사례를 제시하는 반례에 의한 반증은 지양하려는 태도를 보였다. 셋째, 두 번째 과제는 새로운 개념을 가진 추측이 거짓임을 보이는 것으로 두 번째 과제에서 학생들은 특수한 사례의 반례로 반증을 하였다. 이는 두 번째 과제가 새로운 개념을 갖고 있었기 때문으로 보이며 학생들은 그들의 능력 범위 내에서 최대한 일반화화려는 태도를 가짐을 알 수 있었다. 연구 결과를 바탕으로 교수학적 시사점도 얻을 수 있었다. 첫째, 상위권 학생들이 정당화에 실패하는 이유는 그들의 정당화 수준 때문이라기보다는 올바른 개념이나 정의를 갖고 있지 못하기 때문으로 보이므로 학생들에게 개념이나 정의를 바르게 지도하는 것이 필요하다. 둘째, 상위권만을 대상으로 하였음에도 학생들의 증명 쓰기 수준이 높지 않음을 추측해볼 수 있었다. 교수 과정에서 학생들에게 증명의 기회를 많이 접하게 하고 증명 쓰기에 익숙해지기 위한 증명 연습도 늘어나야 할 것으로 생각된다. 셋째, 학생들 대부분은 구체적 반례 제시를 낮은 수준의 반증 방법으로 인식하고 있었는데, 형식적 증명 형태가 아니더라도 하나의 반례만으로도 충분한 반증 도구가 되고 그 가치가 낮은 것이 아님을 인식시킬 필요가 있다.