탐구지향 수학적 모델링에 관한 연구

Abstract

현대 사회의 과학 기술적, 경제적 변화는 비평적사고, 문제해결능력, 타인과의 의사소통을 필요로 하는 높은 수준의 교육을 필요로 하고 있고, 일상생활과 직업현장에서는 수학과 수학의 응용사이의 연결성의 요구가 증대되고 있다. 이는 추상적인 수학과 구체적이고 실제적인 수학 사이의 잠재적이고 체계적인 관계를 인식해서 연결을 간화함으로써 서로가 힘을 얻게 됨을 강조하는 것이다. 수학문제가 학습자의 관심과 영감을 불러일으켜서 사고를 자극한다면 이해와 의미의 근원으로서 역할을 하게 되어 아이디어와 절차를 실험하고 사용하는데 능동적으로 참여하게 될 것이다. 이 같은 관점에서 본 논문에서는 수학적 모델링을 통한 수학학습으로 기호의 의미가 무엇인지를 알고 기호를 조ㅊ작하고, 기호 조작이 이끄는 결론으로부터 의미를 유도해냄으로써 수학적 계산과 절차에 의미를 부여하고, 수학적으로 받아들일 수 있는 연구목적을 가지고 연구를 행하였다. 이러한 연구목적을 반영하여 연구 문제는 다음과 같이 세 가지로 설정하였다. (1) 실생활 문제를 통한 탐구활동에서 보여주는 학생의 모델링 과정과 그 결과 구성된 모델의 특징은 무엇인가? (2) 학생의 모델링 활동에 영향을 미치는 요인은 무엇인가? (3) 탐구지향 모델링 활동에서 학생의 효율적인 모델구성 능력을 촉진시키는 방법은 무엇인가? 먼저 이론적 기초연구로서 수학적 모델과 수학적 모델링에 관한 선행 연구의 결과를 분석하였다. 특히 Freudenthal, Fischbien, Lesh, DiSessa, Blum, Niss의 모델체계에 관한 연구결과를 검토하였고, 수학화 학습의 강조점을 구성주의 관점과 반성적 지식의 관점에서 수학적 모델링과 연결시켜 고찰하였다. 또한 수학적 모델링이 분류되고 있는 방법을 살펴보고 수학적 모델의 발견술적 효율성 조건, 모델 구성의 교육목적, 수학적 모델링 학습의 교육학적 의의를 고찰하였다. 이러한 기초 연구를 토대로 하여 모델링 학습과정을 통해 학습자가 새로운 상황으로부터 의미를 구성하고 다양하게 연계된 모델을 능동적으로 구성해 자신의 지식을 개발해 가는 과정을 연구했기 때문에 민족기술학(ethnomathematics) 사례연구 접근을 사용했다. 연구대상자는 고등학교 학생 두 명을 선택하여 사고 과정에 대한 자료를 수집하고 관찰하기 위해 소리내어 사고하기(thinking aloud)과정을 사용하고 과제에 기반 한 구조화된 임상면담에 기초해 얻어지는 자료로 연구대상자의 지식 상태와 관점을 추적하고 이해하였다. 사례연구에서 보여준 연구대상자의 모델링 활동은 많은 예측, 가설 형성, 검토의 실험단계를 거치면서 자신이 구성한 모델의 합리성을 판단하고 증명하였고, 구체적 활동 사이에서의 상호작용을 통해 상황적 의미와 수학적 의미의 연계성이 재형성되어 나감을 발견할 수 있었다. 또한 실제를 반영한 상황적 맥락을 통한 문제에서 학습이 시작되고, 중요한 의사결정 상황에서 스스로 필요한 정보를 찾아 조직하고 다양한 모델을 시도해보는 과정이 수반되고 다양한 해결방법과 해가 있음을 유도해 낼 때에 효율적인 모델이 구성되어 모델링 과정을 거쳐나감을 알 수 있었다. 연구결과로부터 수학적 모델링을 통해 진정으로 행함으로써 학습되는 과정과 많은 시도와 적용을 통한 지식의 탐색을 가능하게 하는 실험 과정이 가능하게 됨으로써 수학적 힘을 소유한 능동적 사고자가 될 수 있으리라는 신념을 가지게 되었다. ;Modern society's technological and economical changes require high-level education that involve critical thinking, problem solving, and communication with others. Thus, today's perspective of mathematics learning recognizes a potential symbolic relationship between concrete and abstract mathematics. If the problems engage student' interests and aspiration, mathematical problems stimulate student' thinking, mathematical problems can also serve as a serve as a source of meaning and understanding. From these is perspectives, the purpose of ay study is to prove that mathematical modeling tasks can provide opportunities for students to attach meanings to mathematical calculations and procedures, and to manipulate symbols so that they may draw out the meanings out of the conclusion to which the symbolic manipulations lead. The purpose of this study suggests three research questions that structures this investigation: (1) What is the nature of the modeling process and constructed model students exhibit during the real world-based exploration session? (2) What conditions influence students' modeling activity session? (3) What methods promote students' effective model construction ability? The review of literature regarding mathematical modeling and model are performed as a theoretical study. I especially concentrated on the study results of Freudenthal, Fischbien, Lesh, DiSessa, Blum, Niss's model systems. I also investigate the emphasis of mathematising, the classified method of mathematical modeling, and the cognitive nature of mathematical model. And I investigate the purposes of model construction and the instructive meaning of mathematical modeling. Since I was studying the thought process of students, I used an ethnographic case study approach. The participants were individually selected from a high school. In order to observe and collect data on participants and to keep track of their thought process, tasks based on clinical interviews along with thinking aloud procedures were used. The modeling activity of participants in the study includes: observations of the models they have constructed, creation of conjectures with respect to additional properties of the model, and testing those models. As the result of the interaction between concrete activity and abstract activity, the connection of mathematical meaning is reformed. In conclusion, I have discovered the methodes that promote student' effective model construction ability. First, the teaching and the learning begins with problems that reflect reality. Second, if students face problems that have too much or not enough information, they will construct useful models in the process of justifying important conjecture by attempting diverse models. Lastly, the teachers must understand the modeling cycle of the students and evaluate the effectiveness of the models that the students have constructed from their classroom observations, case study, and interaction between the learner and the teacher.