문제표상능력 향상을 위한 지도방안 개발 연구

Abstract

1980년대 NCTM에서 학교 교육의 목적은 문제 해결(problem solving)이 되어야 한다는 권고가 있은 이후부터 전 세계적으로 수학 교육의 목표를 문제 해결에 두고, 단순한 지식이나 연산 기술보다는 응용문제와 실생활에 적용되는 문제를 강조하게 되었다(우정호, 1998). 특히, 문장제는 수학적인 능력이 종합적으로 발휘되고, 특히 수학적인 사고력을 신장시킬 수 있는 중요한 문제 해결의 장이라 볼 수 있으며, 이러한 이유로 수학 교육의 중요한 목표인 문제해결력의 효과적인 신장을 위해서 많은 학자들은 수학에서의 문제해결을 문장제 맥락 안에서 해석하려고 한다. 문장제를 해결하기 위해서는 문장제에서 제시하는 의도와 조건을 여러 가지 전략을 사용하여 정확히 이해하고 구조화 하여 문제를 해결할 수 있게 하는 문제표상능력이 필요한데, 선행연구를 통하여 학업성취도가 낮은 학생들은 이 문제표상능력이 부족하여 문장제를 해결하는 데에 어려움을 겪는다는 것을 알 수 있었다. 그러므로 본 연구에서는 우선 일반학생과 학업성취도가 낮은 학생은 문장제를 해결하는 데에 어떠한 차이점이 있는지를 분석해보고, 그 결과를 토대로 가장 두드러진 차이를 보이는 문제표상능력을 향상시키기 위한 지도방안을 모색해 보고자 하였다. 이를 통한 연구문제는 다음과 같다. 연구문제 1. 선행연구로서 일차방정식에서 일반학생과 학업성취도가 낮은 학생들 간의 문장제 문제해결력에는 어떠한 차이가 있는가? 연구문제 2. 위의 결과 분석을 바탕으로 본 연구에서 개발된 일차방정식에서 수학 학업성취도가 낮은 학생들의 문제표상능력 향상을 위한 지도방안은 어떠한가? 2.1 문제표상능력 향상을 위해 개발된 지도방안은 어떠한가? 2.2 본 연구에서 개발된 지도방안의 효과는 어떠한가? 본 연구를 위하여 우선 문헌조사로 문장제와 문장제에서의 문제해결에 대해 알아보았다. 문장제는 수를 포함한 여러 문장으로 구성된 수학문제를 말하는 것으로, 문장제를 해결하는 데에는 여러 가지 요인들이 작용하는데, 본 연구에서는 문제표상과정과 문제해결과정의 인지적 지식, 문제해결태도의 측면에서 문장제의 문제해결력을 비교하고자 하였다. 또한, 문장제를 해결하기 위한 첫 단계인 문제 이해는 문제표상과 연결되는데, Greeno(1978)는 문제 해결자가 이야기나 문장을 이해했는지를 그가 구성한 인지적 표상의 특성으로 알 수 있다고 하였다. 그는 이해를 했는지를 판단하는 기준으로 세 가지 인지적 표상의 특성을 들었는데 그 구체적인 내용은 표상에 대한 내적 일관성(coherence)과 연결성(connectedness), 그리고 표상과의 일치성(correspondence)이다. 본 연구는 Greeno(1978)의 세 가지 인지적 특성을 개발하고자 하는 지도방안의 틀로 구성하기로 하였다. 본 연구는 일차방정식의 학습이 끝난 서울시 H중학교 1학년 40명을 대상으로 학업성취도가 낮은 학생들이 문장제를 해결하고자 할 때 느끼는 혼란과 어려움은 무엇이며 이는 일반학생과 어떤 차이점이 있는지를 알아보았고, 문제해결에 가장 선행되고 차이점이 두드러진 문제표상능력을 향상시키기 위한 지도방안 연구을 계획하였다. 이 때 개발하는 지도방안은 학생들이 효과적으로 문제를 표상하고 이로부터 해결과정을 찾아낼 수 있도록 기존의 문제에 단계적인 보조 질문들을 추가하여 개발하였다. 그리고 이를 학업성취도가 낮은 학생들에게 적용하여 지도방안의 효과를 입증하고자 하였다. 연구를 위한 검사도구로 문장제 문제해결태도와 문장제 문제해결력 검사지, 개발물의 효과를 알아보기 위한 사전, 사후 문장제 문제해결력 검사지와 설문지, 수업시간에 사용된 학습지를 사용하였으며 이를 spss 11.0 for windows의 독립표본 T검정, 상관분석등을 통하여 분석하였다. 우선, 연구문제 1의 일차방정식에서 일반학생과 학업성취도가 낮은 학생들 간의 문장제 문제해결력의 차이를 알아보기 위하여 문제해결력을 태도, 성취도, 표상과정의 세 부분으로 나누어 조사하였다. 이를 통해 학업성취도가 낮은 학생집단은 일반학생집단의 학생들보다 수동적이고, 쉽게 포기하는 경향이 있으며 자신감이 결여되어있음을 알 수 있었다. 또한 이 집단의 학생들이 문장제를 기피하는 이유는 문제를 표상하는 능력이 부족하기 때문임을 알 수 있었다. 문제해결 성취도 조사에서는 일반학생이 학업성취도가 낮은 학생에 비하여 문제이해, 해결, 표현의 적절성의 모든 영역에서 높은 점수를 받음을 알 수 있었다. 특히, 각 영역간의 상관관계를 분석해본 결과 문제이해-문제해결의 관계에서 문제해결-표현의 적절성, 문제이해-표현의 적절성의 관계보다 더욱 상관도가 높음을 알 수 있었다. 문제표상과정 면에서 일반학생들은 문제를 해결하기 위해 일단 문제를 표상하려는 시도가 두드러지게 나타났고, 이 과정에서 문제를 표상하기 위해 그림이나 표 등의 전략을 적절하게 사용함을 알 수 있었다. 반면에, 학업성취도가 낮은 학생들의 경우, 문장제를 접했을 때의 표면적 유사성만을 생각하여 문제를 표상하지 않고 바로 해결과정으로 들어가려는 경향을 볼 수 있었다. 연구문제 1의 결과를 바탕으로 효과적인 문장제해결을 위해서는 문제표상능력향상이 필수적이라는 결론을 도출하여, 이를 바탕으로 연구문제2에서는 표상능력향상을 위한 학습자료를 개발하였다. 연구문제 2에서는 학업성취도가 낮은 학생들의 문장제 문제해결력을 높이기 위해서는 문제표상능력이 요구된다는 연구문제 1의 분석을 토대로 문제 표상에 필요한 지식을 제시한 Greeno(1978)의 세가지 인지적 특성을 개발틀로 한 지도방안을 제시하였다. 개발물은 문제을 효과적으로 표상하기 위하여 기존의 문장제에 내적 일관성, 연결성, 일치성의 관점에서 만든 보조 질문을 삽입하여 개발하였다. 본 연구에서 제시한 지도방안의 효과를 알아보기 위하여, 실험대상을 실험반과 통제반으로 나누어 실험을 실시하였고 두 집단의 검사를 통계 분석한 결과, 이해, 해결, 표현의 적절성 영역 모두에서 개발물의 효과를 입증할 수 있었다. 특히, 개발물의 효과는 문제이해와 문제해결과정에서 더욱 두각을 나타냈다. 구체적인 학생들의 답안분석을 통하여 실험수업 도중에 학생들은 문제표상의 필요성을 깨닫고, 문장제를 해결하기 위하여 먼저 문제를 이해하려고 노력하는 모습을 볼 수 있었다. 또한, 수업이 진행됨에 따라 학생들의 문제표상능력은 제시된 보조문제의 단계들보다 더욱 큰 범주로 축약되어, 개발물에서 제시된 보조문제들 중 일부분을 뛰어넘어서도 올바른 문제표상을 할 수 있음을 알 수 있었다. 마지막으로 학생들이 개발물에 대해 어떻게 느끼는지에 대한 설문조사를 실시한 결과, 학생들은 개발물이 문제를 해결하는 데에 효과가 있고, 그 중 특히 문제를 표상하는 과정에 효과가 있다고 느끼는 것을 알 수 있었다. 본 연구가 제시하는 지도방안의 효과는 지극히 학업성취도가 낮은 학생들을 대상으로 국한된다는 점에서 연구의 제한점을 가진다. 나아가 학생들의 문제표상능력을 키워주기 위해서는 학생들이 문장제의 표면적 유사성에 혼동을 주지 않도록 여러 소재의 다양한 문장제가 개발되어야 할 것이며, 학업성취도가 낮은 학생들이 아닌, 일반학생들의 문장제 기피성향에 대한 분석과 함께 일반학생들을 위한 문장제 지도방안의 연구도 이루어져야 할 것이라 제언한다.;Therefore, first of all, this study will analyze the difference of between the normal student and the lower student in mathematics and try to find guidance to improve the capability of problem representation based on the result of the analysis. For this study, first, it is needed to know what the verbal problem and problem solving in verbal problem context is by referring to records. Verbal problem is defined as mathematics problem involving several sentences. Although lots of factors work to solve verbal problem, this study will focus on two factors: cognitive knowledge in the both processes of problem representation and problem solving, and comparing the power of problem solving in the aspect of attitude of problem solving. In addition, Understanding the problem, the first step for solving verbal problem, is related with problem representation. Greeno(1978) mentioned whether problem solvers understand the story or statement is possible to know from his/her cognitive representation. Greeno(1978) gave three properties of cognitive representation as a criterion to decide whether understand or not: coherence, connectedness and correspondence about the representation. This study try to make framework of guidance which develop three cognitive properties of Greeno(1978). The sampling frame for the present study consisted of 40 freshmen from H middle school in Seoul. This project investigates what makes student difficult and confuse and what is the difference between normal student and backward student. Moreover, the project plans to study the way of guidance improving the ability of representation that is necessary and significant. To make students represent effectively and find the solution from this representation, this instructive guidance is developed by adding sub-problem in proper stages. And then this guidance is applied to poor degree student to prove effectiveness of this guidance. As examination tools, verbal problem solving attitude test is taken, and verbal problem solving ability test-paper and question-set for before and after the guided instruction to evaluate the effectiveness of the developed guidance, and materials used in class are used. These examination tools are analyzed by Independent sample T-test and correlation analysis of SPSS 11.0 for windows. At the study of Problem 1 with a linear equation, Problem solving ability is investigated in three aspects: attitude, the level of achievement and representation to study the difference of between normal student and lower degree student. The result shows that backward students are more passive than normal student, tend to give up easily and have lack of confidence. Furthermore, it was detected that the reason why these students try to avoid verbal problem is because of lack of representation capability. The investigation about the level of achievement showed that normal students are better than lower degree student at general area: understanding problem, solving and the exactness of expression. Particularly, comparing each correlation of areas, understanding-solving problem relationship is related higher than other relations. In the aspect of problem representation, general student tried to represent the problem to solve it and in this process, they used strategies properly like picture and table. On the other hand, when backward student faced verbal problem, they intended to try to solve the problem directly without representation considering only superficial similarity. At study of Problem 2, base on the analysis from Problem 1 that problem representation skill is necessary to improve poor-degree student’s ability to solve verbal problem, instruction guidance is created in the frame of three cognitive property of Greeno(1978). This creation developed by injecting sub-problems into original problem that are madden in the viewpoint of internal coherence, connectedness and correspondence. To exam he efficiency of the guidance suggested in this study, sample group was divided as two different groups as controlled group and experimental group. The result of experiment proved that the creation is effective in all area of understanding, solving, and expression. Especially, the effect of the guidance is remarkable at process of problem understanding and solving. Concrete solution analysis showed that the students realized the importance of problem representation and tried to understand first to solve verbal problem. Moreover, following the guided instruction was proceeding, students’s representation ability was so developed that they can represent properly without sub-problem. At the last, questionnaire was given to figure out how student feel about the instructive guidance. Student said that they fell this creation was effective to solve problem, particularly, to make representation. The present study is limited only the lowest degree student. To bring up representation ability, various verbal problems should be established. In addition, not only for backward students but also for general student, tendency to try to avoid verbal problem should be investigated and instructive guidance should be developed.