수학적 귀납법의 문제 유형 분류와 가상 학습 경로에 기초한 지도에 대한 사례 연구

Abstract

Many students have difficulties in studying mathematical induction. In many cases, they use to prove by mathematical induction with formal steps, so they can't understand mathematical meanings in that. This research suggests how to teach mathematical induction in highschool class and improve students' understanding in mathematical induction. To these aims, two research questions are developed below. First, Is it possible that mathematical induction problems are classified into groups? Second, what is the actual hypothetical learning trajectory about mathematical induction? Third, what is the learning stage of mathematical induction from that hypothetical learning trajectory? Can the result be compared with previous research about mathematical induction? The research shows following results. First, I classify problems of mathematical induction in highschool textbooks to constructing-stage problems, internalization-stage problems, and interiorization-stage problems according to the Harel & Sowder(1998)'s theory. The textbooks which start with constructing-stage problems are 5 of 12, and the textbooks which have internalization-stage problems most are 8 of 12. Second, I made of the hypothetical learning trajectory concerning ‘The Tower of Hanoi’. Before the experiment, three students didn't understand the mathematical induction well, and two of them said they memorized steps of mathematical induction. After the experiment, their learning motive and self-confidence about mathematical induction are improved. Third, students' learning stages of mathematical induction from hypothetical learning trajectory are analyzed by Harel & Sowder(1998)'s theory about pre-transformational stage, restrictive transformational stage, transformational stage. In pre-transformational stage, students found the rule of movement number of the Hanoi's disk. In restrictive transformational stage, students can't make idea about "" by themselves. In transformational stage, students recognized that they must prove statements which they conjecture.;우리나라 학생들은 고등학교 2학년에 들어와서 처음 수학적 귀납법을 학습하면서 많은 어려움을 겪는다. 대부분의 학생들은 수학적 귀납법에 의한 증명을 단지 기계적이고 형식적인 절차를 따라 행하고 있으므로 증명에 대한 이해나 증명의 결과에 대한 확신, 증명의 형식에 포함되어 있는 수학적인 의미를 이해하지 못하고 있다고 볼 수 있다. 이에 본 연구에서는 수학적 귀납법을 효과적으로 가르치는 방법을 고찰하기 위하여 기존의 수학적 귀납법 문제를 그 특성에 따라 분류하고, 각 특성을 가진 문제마다 가르치는 시기와 방법을 결정하는 것에 대하여 문헌 검토를 통해 가상 학습 경로를 수립한 후, 고등학교 2학년 학생들을 대상으로 실제로 실험하여 그 효과를 살펴보고 기존의 연구와 비교?검토하고자 한다. 그리하여 교실 현장의 수학적 귀납법 수업에 시사점을 제시하고, 학생들이 수학적 귀납법에 의한 증명 문제들을 기피하는 것을 극복하는 데 도움을 줄 수 있기를 기대한다. 이러한 연구 목적을 달성하기 위해 첫째, 7차 교육과정의 수학 I 교과서에 제시된 수학적 귀납법을 활용한 증명 문제들은 어떻게 분류할 수 있는지, 둘째, 수학적 귀납법 문제의 유형을 고려하여 학생들에게 수학적 귀납법을 가르치기 위한 가상 학습 경로는 구체적으로 어떻게 설정할 수 있는지, 셋째, 수학적 귀납법에 대한 가상 학습 경로 설정 후 실시한 교수 실험의 결과 상중하 수준의 학생들의 수학적 귀납법의 학습 단계에서 나타난 정의적 측면과 문제해결 측면의 특징은 어떠하고 이러한 결과를 기존의 수학적 귀납법에 대한 연구 결과와 비교할 수 있는지에 대해 연구 문제를 설정하였다. 연구는 교과서 분석에 의한 가상 학습 경로(Simon, 1995) 설정과 면담 조사의 두 부분으로 나누어 실시되었다. 수학적 귀납법을 다루고 있는 7차 교육과정의 수학 I 교과서 12종을 Harel & Sowder(1998)의 수학적 귀납법 문제의 3가지 유형에 따라 분석하였고, 그 분석 결과와 이론적 배경에서 살펴본 Brown(2003)의 수학적 귀납법에 의한 증명의 가상 학습 경로에 대한 이론을 바탕으로 국내 상황에 맞게 우선 실험에 사용할 문제를 선정하고 그에 따라 가상 학습 경로를 설정하였다. 그 결과는 Harel과 Sowder가 제시한 수학적 귀납법 학습의 3단계에 의해 분석되었다. 그 결과는 다음과 같다. 첫째, 교과서를 분석한 결과, Harel & Sowder(1998)의 수학적 귀납법 문제 유형의 분류에 따라 구성 단계의 문제(constructing-stage problems)로 도입을 시작한 교과서는 5종이었고, 8종의 교과서는 내재화 단계 문제(internalization-stage problems)를 가장 높은 비율로 제시하고 있었다. 둘째, 학습능력이 다른 세 학생을 대상으로 ‘하노이의 탑’을 주제로 한 가상 학습 경로(Simon, 1995)를 이용하여 교수실험을 실시한 결과, 가상 학습 경로 초기에 학생들은 모두 수학적 귀납법에 대해 정확히 이해하지 못하고 있었고 두 명의 학생이 유형을 외워서 학습했다고 말했다. 수업시간에 이미 수학적 귀납법에 의한 증명을 학습한 세 명의 학생들은 가상 학습 경로에 따라 다시 하노이의 탑을 주제로 학습하였을 때 학습 동기나 자신감과 같은 정의적인 면이 이전에 비해 개선이 된 것으로 확인되었다. 셋째, 학습능력이 다른 세 학생을 대상으로 ‘하노이의 탑’을 주제로 하여 가상 학습 경로(Simon, 1995)에 따라 수학적 귀납법에 대해 지도한 결과 나타난 학생들의 학습 단계는 다음과 같다. 세 학생 모두 전-변형 단계(pre-transformational stage)에서는 원판 개수에 따른 이동횟수를 구성적으로 접근하여 구해본 후 규칙을 찾아 일반화하는 과정을 나타내었다. 제한적 변형 단계(restrictive transformational stage)에서는 명제 “이면 ”을 이해하는 것이 필수적이다. 그러나 이 단계에서는 학생들 세 명 모두 스스로 “이면 ”에 관한 사고를 개발하지는 못하였다. 그 원인으로는 수학적 귀납법 자체를 이해하지 못하여 “이면 ”을 보여야 할 필요성을 깨닫지 못한 것과 “이면 ” 자체를 이해하였더라도 수학적 연산 과정에서 장애를 가지는 것으로 볼 수 있었다. 변형 단계(transformational stage)에서는 학생들이 증명할 대상이 모든 자연수 에 대해서 항상 성립한다는 것을 아는 것과 추측에 의해 설정한 사실을 증명할 필요성에 대해 인지하였으나 이해의 정도에 있어서는 약간의 개인적 차이를 관찰할 수 있었다. 이러한 결과로 인하여 본 연구는 Harel & Sowder(1998)의 연구 결과와의 차이점을 발견할 수 있었다. Harel과 Sowder는 수학적 귀납법 문제의 유형을 구분하고 이에 따라 나타나는 학생들의 수학적 귀납법 학습은 순차적으로 세 단계가 있다고 하였다. 그러나 본 연구에서 이러한 Harel과 Sowder의 이론에 따라 가상 학습 경로를 설정하여 교수 실험을 한 결과 세 명의 학생 모두 제한적 변형 단계(restrictive transformational stage)에서 스스로 사고를 개발하지 못하였다. 그러므로 이것이 본 연구에서 선정한 수학적 귀납법의 세부 주제로 인한 것인지, 학생들의 특성에 의한 것인지, 또는 Harel과 Sowder의 수학적 귀납법 학습 단계의 수정이 필요한 것인지 추후 연구가 필요할 것으로 보인다. 본 연구는 수학적 귀납법에 대한 가상 학습 경로를 실제로 설정하여 보고, 그것으로 교수실험을 실시한 후 그 효과를 통해 교실 학습에서의 수학적 귀납법 학습에 시사점을 주고자 하였다. 본 연구의 여러 가지 제한점을 극복하기 위해 Harel & Sowder(1998)의 수학적 귀납법 학습 단계에 대한 더욱 다양한 검토가 필요하고, 더 다양한 수준의 많은 학생들에게 가상 학습 경로에 대해 실험하여 그 효과를 검증할 필요가 있으며, 본 연구의 효과를 토대로 교과서의 수학적 귀납법 단원이나 별도의 교재 개발과 함께 그 효과에 대한 연구가 필요하다. 또한 다양한 주제에 의한 가상 학습 경로가 설정되고 실험되어질 필요가 있는 것으로 보인다.