Computer Algebra System을 활용한 함수 단원 학습의 수학화 과정

Abstract

The individual is required to have the competence to select, reorganize and reproduce useful information in the modern society which is changing rapidly. In mathematics education, it is also important to educate a student to have such a divergent way of thinking. Against this background, a learner should be treated not as passive but as active. In this context, Freudenthal, the contributor of RME(Realistic Mathematics Education), suggested 'mathematics as a human activity' in opposition to ready-made mathematics. He thought that a student should be taught mathematics as mathematising; organizing phenomena with the mathematical means. Thus, a student should have a start of the learning process at the 'real' life context. The word 'real' refers to 'experientially real' thing rather than to 'real world'. Even pure mathematics that is real to a student can be the starting point of his learning. So-called an information society implies a technology is another matter of concern in mathematics education for social need. A tool such as computer has the potential competences in mathematics learning. CAS(Computer Alegbra system) is symbolic manipulation system, and at the same time it can perform the role as an instructional tool. With these trends, a purpose of this study is searching the role of mutual relation between mathematising and CAS in learning mathematics. The purpose is different from that of other researches which analyze the effect of instruction using computer. For the meeting of the above purpose, two research questions were set up as follows: 1. What is the role of CAS in teaching and learning mathematics for mathematising? 2. What kind of mathematising is emerged in the teaching a function using CAS? The method of this research had two approaches, referring to literature and qualitative research. First, to investigate a role of CAS for mathematising, many a study based on the instruction theory of Freudenthal and researches about using CAS reviewed. As subjects of case study, then, three middle school students were sampled. For about a month, they had learned the concept of composition function and inverse function using CAS, LiveMath. In the instruction, students were encouraged to have a discussion and co-operation that enhanced the reflective thinking. To analyze their attitudes and mathematising activities, information on their learning was collected with interviews and observation through the instruction. The results of this study are following: 1. There are some of principles for mathematising instruction. Especially, the principle of exploratory learning, promoting the reflective thinking and interactive instruction provide the basis of using CAS in mathematics classroom for mathematising. That is to say, the characteristics of CAS enable students to have exploratory activities. And, they offer opportunities to promote the reflective thinking through interaction with students. All of this process is composed of mathematising. In addition, CAS could perform a role as a model which is emphasized in the process of mathematising by Freudenthal. 2. The students had presented several mathematising processes including formalising and algorithmisation that are typical types of mathematising. And besides, there were other types of mathematising like progressive organizing with discovering regularities through induction and verifying a conjecture according to guide in the experiment instruction. With that, mathematising activities such as constructing a concept image by CAS operation model and exploring graph were appeared in the instruction. We have to provide students with opportunity to experience mathematising in not only mathematical material but also real situation. This is also meaningful in the educational aspect, not just adequate to RME. Taking all that into consideration, I carefully support the use of CAS in the mathematics classroom. However, there are still possible disadvantages using CAS, and therefore we should consider these negative points in the instruction using CAS. As an implication for further research, I expect a study for analyzing the effects of specific mathematising in function teaching using CAS including instruction respect. In other ways, it is practicable to study about mathematising activities in the WBI(Web-Based Instruction) with use of CAS such as LiveMath which is possible to publish on the web.;현대사회가 개인에게 요구하는 것은 방대한 양의 정보 중에서 유용한 것을 선별, 재조직, 재생산하는 능력이다. 이에 맞추어 수학교육에서도, 획일화된 사고보다는 확산적 사고가 가능한 개인의 양성을 요구한다. 따라서, 과거의 교육에서와 달리 학습자가 능동적인 존재로 인식되어야 하며, 이를 이행해줄 수 있는 새로운 수학교육의 모델이 필요하게 된다. 이러한 흐름의 하나로, Freudenthal의 이론에 터한 네덜란드 현실적 수학교육 이론(RME)이 있다. Freudenthal은 수학화 학습 이론의 중요성을 주장하며, 학습자의 현실이 학습의 출발점이 된다고 보았다. 여기서의 현실은 반드시 실생활만을 지칭하는 것이 아니며, 학습자에게 경험적으로 현실적인 것이라면 그것이 순수 수학문제여도 상관없다. 정보화 시대로 일컬어지는 현대사회에서의 수학교육은 컴퓨터의 활용에도 지대한 관심을 갖고 있다. 컴퓨터는 무한한 발전 가능성의 잠재력을 갖고 있는 도구이기도 하다. CAS(Computer Algebra System)는 기호 연산이 가능한 대수 조작 프로그램으로, 역시 그러한 역할을 수행할 수 있다. 본 논문은 수학화와 CAS라는 두 가지 주제에 대하여, 상호 역할 관계를 모색하고자 하였다. 이때, 그 대상 단원은 함수로 하였는데, 이는 함수 영역이 수학에서 매우 중요하면서 큰 비중을 차지하지만, 많은 학생들이 학습에 곤란을 느끼고, 또 한 CAS가 적절하게 사용될 수 있는 영역이기 때문이다. 이에, 다음과 같은 두 가지 연구문제를 제기하였다. 첫째, 수학 학습-지도에 있어서, CAS가 수학화에 어떤 역할을 하는가? 둘째, CAS를 활용한 함수 지도에서 학생들은 어떠한 수학화의 과정을 나타내는가? 이들 연구문제를 해결하기 위해, 본 연구에서는 문헌연구와 실험연구의 두 가지 방법을 사용하였다. 먼저, 첫 번째 연구문제에 대해서는, Freudenthal의 이론을 중심으로 한 수학화와 CAS에 관한 이론적 배경과 선행연구 조사를 통해, CAS가 수학화에 어떠한 역할을 할 수 있을지를 모색하고자 하였다. 두 번째 연구문제의 해결을 위해, 실제 함수 지도에서 CAS를 활용했을 때 어떠한 수학화가 나타나는지 또, 학생들이 어떠한 수학적 태도를 보이는지를 관찰 및 분석하는 질적연구 방법을 사용하였다. 질적연구의 대상은 3명의 중학교 3학년 학생들로, 이들에게 약 한달간 6차시에 걸쳐, 7차 교육과정 10-나 단계의 함수 영역에 대해서 활동 수업을 실시하였다. 많은 학생들이 사교육을 통하여 선수학습 하는 경향을 보인다. 따라서, 연구대상자를 본 활동 수업 내용에 처음 접하는, 고등학교 1학년이 아닌 중학교 3학년 학생들로 선정할 필요가 있었다. 또한, 내용 구성에 있어 Freudenthal이 합성함수와 역함수의 조작 가능성을 중요시하는 바, 본 연구의 활동 수업에서는 이들 내용에 초점을 맞추었다. Freudenthal이 생각했던 수학 학습의 출발점, 즉 학습자에게 경험적으로 현실적인 것을 제시하기 위하여, 활동 수업의 내용은 연구대상 학생들이 이미 학습한 일차함수와 이차함수를 기반으로 구성하였다. 본 활동 수업을 시작하기 전에, 학생들의 배경정보 파악을 위해 수학에 대한 태도 검사와 사전 인터뷰를 실시하였다. 질적연구에서 보다 신뢰성 있는 정보를 얻기 위해서는 연구대상자와의 보편적인 통로를 여는 것이 중요하므로, 이에 대한 분석을 자세하게 하였다. 연구에서 사용된 CAS는 LiveMath로서, 복잡한 명령어를 알고 정확히 입력해야 하는 다른 프로그램과 달리, 마우스로 조작이 가능하여 중학교 학생들도 쉽게 다룰 수 있다. 활동 수업의 매 차시에 활동지가 주어져서 이를 완성해나가는 방식으로 진행되었으며, 이때 학생들의 활동 내용은 연구자가 관찰 기록하거나 녹음 기록하였다. 활동 수업 내에서는, 학생들 간의 협동 그리고 논의나 토론이 권장되었는데, Freudenthal은 이러한 활동을 통해 반성적 사고가 촉진된다고 했다. 이러한 활동 수업을 마친 후, 사후 인터뷰를 하였다. CAS를 활용하는 활동 수업에 대한 학생들의 태도는 전반적으로 긍정적이었고, 비슷한 부분에서 오류가 생기기도 하였다. 이와 같은 과정을 통해 다음과 같은 연구문제의 답을 얻었다. 첫째, 수학화 수업을 위한 몇 가지 원리 중에서 탐구 학습의 원리, 반성적 사고의 촉진, 상호작용 교수 원리는 CAS 활용의 이론적 뒷받침을 마련한다. 다시 말해, CAS의 특징들은 학습자가 탐구 학습을 가능하게 하고, 학습자와의 상호작용을 하여, 학습자의 반성적 사고를 촉진하는 계기를 만든다. 이러한 모든 과정의 결과로서 수학화가 완성되는 것이다. 또한, Freudenthal은 현상을 조직하고 다시 그것을 현실에 적용해내는 수학화의 과정에서 모델의 역할을 중요시하는데, CAS가 그러한 모델 기능을 수행할 수 있다. 둘째, 연구대상 학생들이 나타낸 수학화의 유형은 기본적인 몇 가지로 정리할 수 있다. 학생들은 알고리즘화, 형식화라는 대표적인 과정 이외에, 귀납적으로 규칙성을 찾거나 추측의 활동을 바탕으로 하는 국소적 조직화의 과정을 나타내었다. 또한, CAS 연산 모델에 의한 개념 이미지 만들기 그리고 그래프의 탐구를 통해 개념 인식하기 등의 수학화 활동이 진행되는 실험 수업 가운데서 관찰되었다. 이러한 수학화 활동들을 수학 내적인 문제에만 국한하여 생각할 것이 아니라, 이것이 현실적 상황에서 유발될 수 있도록 학생들에게 다양한 경험의 기회를 제공해야 할 것이다. 학습자에게 '현실적인' 주제를 주고, 거기에서부터 수학화 활동을 해나가게 하는 것은 비단 현실적 수학교육 이론에서만 적합한 것이 아니라, 학습자 개개인을 하나의 주체로 본다는 측면에서도 교육학적으로 의의가 있을 것이다. 일단, 본 연구자는 수학화를 위한 학습-지도에서 CAS의 활용을 긍정적인 입장에 서 보고자 한다. 학생들이 말하는 계산의 용이함이나 정확한 그래프 표현의 기능이 주는 편리함 이외에도, 이러한 프로그램은 학생들에게 학습 과정에서의 새로운 모델 제시와 학습 도구 역할을 해 줄 수 있을 것이다. 본 연구의 결과에 비추어 볼 때, CAS를 활용한 수학 교수-학습에서 다음과 같은 효과를 기대할 수 있다고 본다. 첫째, 학생들에게 여러 가지 학습 내용 영역들을 통합적으로 다를 기회를 제공 할 수 있다. 이때, 내용 영역의 통합은, 수학화를 위한 수학 학습에서 내용적 기반을 마련하는 것으로 생각된다. 둘째, CAS는 학생이 학습하지 않은 내용이더라도 학생에게 현실적인, 즉 기존의 학습된 내용을 바탕으로 학습 내용의 구성을 가능하게 해준다. 셋째, 즉각적인 피드백을 통해, 학생들론 자신의 오류를 발견하고 이를 수정해 나간다. 이 과정에서의 반성적 사고는 수학화를 촉진시키는 역할을 하게 된다. 넷째, CAS에 내장된 기능뿐만 아니라, 변수의 설정과 같은 프로그램 자체가 가진 특징을 수업 활동에 활용하는 것은, CAS를 도구(tool)에서 현상과 형식적 수학 사이의 중재된 모델(model)로의 역할 이동을 가능하게 한다. 그러나, 이러한 효과와 함께, 수학 학습에 있어 예상되는 장애요인도 있다. 컴퓨터 환경에서의 극단적인 교수학적 현상이나 CAS와 같은 프로그램적 구조에서 비롯되는 black box가 우려되는 사항이 될 수 있다. 따라서, 먼저 이러한 점에 대하여 충분히 대비를 하여야 하고, 각 교수 상황에 맞는 CAS 활용을 구성해 나가야 할 것이다. 후속 연구로서, CAS를 활용한 함수 단원 내에서의 수직적 수학화나 수평적 수학화와 같은 특정한 수학화에서의 효과 연구 그리고 이에 대한 교수 방법적인 측면에서 효과 연구 등을 기대할 수 있다. 또한, 교수 도구로서 Plug-in 설치로 web에서 구현이 가능한 LiveMath를 사용하여, CAS를 접목시킨 WBI에서의 수학화 활동에 관한 연구를 제안하고자한다.