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함수 그래프 과제에서의 오류 분석 및 처치

Title
함수 그래프 과제에서의 오류 분석 및 처치
Other Titles
Error Analysis and Possible Remedies on the Learning of Mathematical Functions Graphs : In the Technology-based Environment
Authors
안가영
Issue Date
2001
Department/Major
대학원 수학교육학과
Keywords
함수그래프과제오류 분석
Publisher
이화여자대학교 대학원
Degree
Master
Abstract
수학의 여러 영역 중 함수 영역은 우리의 생활 주변에서 일어나는 현상을 관찰하여 그 속에 내재된 수학적 법칙이나 형식을 발견하고 이를 구조화시킴으로써 변화하는 현상을 정리하기 위해 필수적으로 요구되는 지식이다. 함수 개념을 보다 잘 이해하기 위해서는 다양한 표현 방식을 통해 함수를 이해하는 과정이 요구된다. 이때 함수 개념을 표현하기 위한 대표적인 시각적 표현 중 하나가 바로 그래프이다. 그래프 능력을 바탕으로 한 함수의 그래프 표현은 다음과 같은 점에서 함 수 교수·학습상 중요하다. 첫째, 그래프는 함수와 관련된 복잡한 개념과 아이디어를 간결하고 순차적인 방법으로 의사소통할 수 있게 하는 매개체의 역할을 한다. 둘째, 그래프는 언어적, 대수적으로 전달하는데 한계가 있는 정보들을 시각적인 형태로 효과적으로 제공해 줌으로써 함수적 관계를 가장 잘 요약해서 제시해 줄 수 있다. 셋째, 함수의 그래프 표현은 변화 현상을 해석하며 구체적인 수학적 지식과 추상적인 수학적 지식을 연결시키는데 효과적이다. 그러나 현행 함수 그래프 교수 · 학습 방법이 그래프를 적극적으로 활용하지 못 한 채 전개되고 있으며, 이것이 학생들의 함수적 지식 구성 과정과 관련되면서 수학적 오류가 나타나게 되었다. 이러한 수학적 오류는 획득된 지식에 기반하여 지속적으로 개념적인 틀을 형성하면서 학습 과정에 영향을 미치게 된다. 그러므로 오류에 대한 정확한 분석을 기반으로 한 교수학적 프로그램을 통해 수학적 오류의 종류를 예견하고 학습 과정에서 그것을 잘 처치, 활용하는 것이 효과적인 함수 교수·학습을 위해 요구된다. 이와 관련된 교수학적 프로그램 중에서 교육용 테크놀러지 환경은 함수 그래프 학습을 효과적으로 수행할 수 있게 할 뿐만 아니라, 기존의 수학적 오류를 변화, 극복시키거나 처치하는데 영향을 줄 수 있는 가능성으로 인해 주목받고 있다. 본 연구에서는 지필 환경하에서 함수 그래프 과제를 수행한 학생들에게서 일반적으로 나타나는 수학적 오류를 점검하고, 새로운 교육용 테크놀러지 환경하에서 이러한 수학적 오류가 변화되는 과정을 살펴보고자 한다. 이를 위해 다음과 같은 연구 문제를 제안하였다. 연구 문제 1 : 지필 환경에서 함수의 그래프 표현을 학습한 학생들이 나타내는 일반적인 오류 유형으로는 어떤 것들이 있는가? 연구 문제 2 : 그래픽 계산기와 CBR을 활용한 교수학적 환경에서 함수의 그래프 표현을 학습했을 때, 기존의 지필 환경에서 나타났던 오류들은 어떻게 변화하는가? 연구 문제 3 : 그래픽 계산기와 CBR을 활용한 교수학적 환경에서 함수의 그래프 표현을 학습했을 때, 새롭게 나타나는 오류들로는 어떠한 것들이 있는가? 첫 번째 연구 문제를 위해 서울과 춘천 소재의 고등학생 119명을 대상으로 함수 그래프 과제 검사지를 실시하였다. 검사지의 문항은 과제 유형, 과제에 대한 접근법, 과제수준에 따라 분류되어 그래프 능력을 살펴볼 수 있게 구성하였으며, 오류 유형별로 다시 분류하여 학생들이 어떠한 오류를 나타내는지 살펴 볼 수 있게 구성하였다. 그 결과 과제 기반 그래프 능력의 측면에서 살펴 보았을 때, 학생들은 그래프 해석 능력이 그래프 구성 능력보다 더 높게 나타났으며, 그래프 예측 능력이 그래프 번역, 축척 능력보다 더 높게 나타났다. 그리고 파제 접근법에 따라 그래프 능력을 살펴 보았을 때, 학생들은 국소적, 양적 접근 능력이 광의적, 질적 접근 능력보다 더 높게 나타났다. 또한 과제 수준에 따른 그래프 능력을 살펴 보았을 때, 학생들은 기초 수준, 중간 수준, 전체 수준의 순서로 높은 그래프 능력을 나타냈다. 한편 함수 그래프 과제 검사지의 문항을 오류 유형별로 분류하여 오답 을을 살펴 보았을 때, 함수에 대한 개념 이미지로부터의 오류, 함수 그래프 학습에서 지나친 일반화로 인한 오류, 관계적 해석과 판단에서의 장애로 인한 오류, 함수 개념에 대한 특정 관점에의 집착으로 인한 오류, 변수 개념에 대한 장애로 인한 오류, 축에 대한 인식에서의 장애로 인한 오류의 순서로 나타났다. 두 번째, 세 번째 연구 문제를 살펴 보기 위해, 검사를 실시했던 119명의 학생들 중 2명을 선발하여 과제 기반 임상 면담법을 실시하였다. 두 번째 연구 문제에 대한 결론은 다음과 같이 나타났다. 함수 개념에 대한 개념 이미지로부터의 오류는 테크놀러지 환경에 제공해 준 시각적 자극을 통해 어느 정도 사라지게 되었다. 그리고 함수 개념에 대한 특정 관점에의 집착으로 인한 오류, 지나친 일반화로인한 오류, 축에 대한 인식에서의 장애로 인한 오류, 변수 개념에 대한 장애로 인한 오류도 상당 부분 개선되었다. 특히 관계적 해석과 판단상의 장애로 인한 오류는 CBR을 활용한 과제 학습을 통해 상당 부분 극복될 수 있었다. 그리고 새로운 교수학적 환경 하에서 학생들은 예측 능력, 번역 능력을 향상시킬 수 있게 되었으며, 광의적, 질적으로 그래프를 접근할 수 있게 되었다. 또한 학습자는 그래프들간의 관계를 이해하게 됨으로써, 그래프를 전체적으로 이해하려는 능력을 점차 향상시킬 수 있게 되었다. 세 번째 연구 문제에 대한 결론은 다음과 같이 나타났다. 테놀러지 환경하에서 나타날 수 있는 수학적 오류는 테크놀러지와 학습자와의 상호 관계가 어떠한 형태로 이루어지는지에 따라 결정된다. 특히 학습자가 테크놀러지 활용 방법을 모르는 상호 작용 유형이나 테크놀러지를 학습 보조 수단으로 활용하면서 그 결과를 비판적으로 인식하지 않고 받아들이는 상호 작용 유형에서 수학적 오류가 많이 나타난다는 사실을 확인할 수 있었다. 두가지 상호 작용 유형으로 인해 나타나는 수학적 오류는 테크놀러지와의 지속적인 상호 작용을 통해 학습자가 테크놀러지 결과물에 대해 비판적인 시각을 갖게 되었을 때 사라지게 되었다. 이상의 연구 결과를 통해 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 함수 그래프 과제에서 나타나는 오류를 살펴 본 기존 연구들이 오류의 유형에 초점을 맞추어 연구 방향을 진행시켜 나간 것에 비해, 본 연구는 오류를 유발시키는 변인에 주목하면서 그에 따른 오류의 유형을 분석하는 방향으로 진행되었다. 그리고 수학적 오류를 처치하기 위한 방법의 하나로써 교수학적 환경의 변화를 제안하였다. 하지만 교수학적 환경의 변화만으로 함수 그래프 관련 수학적 오류들을 처치하기에는 한계가 있다. 그러므로 수학적 오류들을 처치 · 대응하기 위한 교수학적 프로그램을 모색해 볼 필요가 있다. 둘째, 본 연구에서는 이미 형성된 수학적 오류들에 대한 처치를 위해 교육용 테크놀러지를 활용한 교수학적 환경의 변화를 시도하였다. 이 과정에서 기존의 오류들이 어느 정도 처치되기도 하였으나, 반면에 새로운 오류가 발생하기도 하였다. 본 연구에서는 테크놀러지 환경하에서의 새로운 오류 발생을 테크놀러지와 학습자와의 상호작용적인 측면에서 살펴 보았다. 하지만 테크놀러지와 학습자와의 상호작용 유형만으로는 이러한 오류들을 설명하기에 한계가 있다. 그러므로 테크놀러지 환경하에서 학생들이 어떻게 수학적 개념이나 사실을 이해하게 되는지에 대한 고찰이 더 이루어져야 한다.;It can be argued that the function concept is the single most important concept from the kindergarden to graduate school. The function concept is a central one in mathematics which grows in importance as one progresses in the depth and breadth of one's understanding of mathematics. Thus, students will demonstrate understanding of the concept of function by verbal, numerical, and symbolical means and incorporate it as a central theme into their use of mathematics. The introduction of functions and graphs is a critical moment in mathematics education since it presents a setting with the opportunity for powerful learning to take place and since the concepts of functions and graphs are fundamental to more sophisticated parts of mathematics. Functions and graphs represent one of the earliest points in mathematics at which students use one symbolic system to expand and understand another. Algebraic and graphical representations are used to jointly construct and define the mathematical concept of function; consequently, functions and graphs can not be treated as isolated concepts. But if functions and graphs are treated as isolated concepts and graphs are not used to teach and learn functions appropriately, mathematical errors may be occured. Mathematical errors ordinate in a consistent conceptual framework based on earlier acquired knowledge and these errors thus contribute to the process of learning. So a good instructional programs are required to predict types of errors and purposely allow for them in the process of learning. In this respect, technology-based environment has the potential to enhance the understanding of functions and graphs, and to change and overcome errors. The purpose of this study is to investigate what types of errors may be occured in the test with respect to functions and graphs, and how errors related functions and graphs are changed and overcomed in the technology-based environment. In so doing, this study suggests following research questions : 1. When students learned functions and graphs in the paper and pencil-based environments, what types of errors might be occured? 2. When students learned functions and graphs in the technology-based environment(using graphics calculator and Calculator-Based Ranger), how previous errors which were occured in the paper and pencil-based ' environment were changed and overcomed? 3. When students learned functions and graphs in the technology-based envoronment(using graphics calculator and Calculator-Based Ranger), what types of errors might be occured? For the first research question, 119 high school students in Seoul and Chun-chon were participated in function-graphs test. Questions of test were classified by types of task, approach to task and level of task to identify graphicacy. Also questions of test were classified by types of error to examine students' errors. As a result with respect to types of task, students scored higher in graph interpretation and prediction task than in graph construction, translation and scaling task. With respect to approach to task, students scored higher in local and quantitative approach task than in global and qualitative approach task. With respect to level of task, students scored higher in elementary level task than in intermediate level task and in overall level task. With respect to types of errors, errors from conceptual image which was concerned with function concept appeared most frequent than any other type of errors. For the second and third research question, 2 students chosed among 119 high school students were participated in qualitative case study. After qualitative case study, errors from conceptual image which was concerned with function concept were disappeared at large by visual stimulus presented by technology-based environment. Specially errors from relative reading and interpretation were overcomed considerably by using CBR. Errors with graphing included students not noticing features that were displayed on technology-based environment graphs and naive interpretation of the graphs, which did not take account available algebraic and numeric information. In other words, mathematical errors concerned with functions and graphs were related to four different interactive roles of technology, specially servant and master, which were obediently carrying out graphing in the technology-based environment. But continuous interaction between students and technology allowed students to overcome errors occured by technology-based environment.
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