논리적 사고력과 공간 시각화 능력이 수학성취도에 미치는 영향

Abstract

현대 사회는 고도의 정보화의 물결 흐름 속에 있다. 방대한 정보의 양이 우리 앞에 펼쳐져 있으며 우리는 그 속에서 숨쉬고 있다. 이러한 과정을 살아가는 현대인은 좀더 논리적이고 비판적이며 세련된 지식체계를 잡아갈 필요가 있다. 수학 과목의 특성은 이러한 요구에 필요한 능력을 직·간접적으로 배양시켜주는 기본적인 영역이다. 논리적 사고력과 공간 시각화 능력은 이러한 수학 과목에 대한 학생들의 능력을 설명해주는 중요한 지적 영역으로 자리잡고 있다. 이에 본 연구자는 논리적 사고력과 공간 시각화 능력이 수학과 성취도에 어떠한 영향을 미치는지를 알아보고자 한다. 이를 위해 연구자는 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 논리적 사고력과 공간 시각화 능력이 수학성취도(내신 수학성취도/대학수학능력모의 수학성취도)에 영향을 미치는가? ① 논리적 사고력, 공간 시각화, 내신 수학성취도, 대학수학능력모의 수학성취도간의 상관계수는 어떠한가? ② 논리적 사고력과 공간 시각화 능력의 수학 성취도(내신 수학 성취도/대학수학능력모의 수학성취도)에 대한 상대적인 영향력은 어떠한가? ③ 학생들의 수학성취도와 관련된 변수들간의 가설적 인과모형은 어떠한가? ④ 학생들의 수학성취도와 관련된 변수들간의 수정 경로모형은 어떠한가? 2. Piaget의 인지 수준 발달 이론에 따른 분류에 의해 생긴 집단별 공간 시각화, 수학성취도(내신 수학성취도/대학수학능력모의 수학성취도)차이는 어떠한가? 3. 수학성취도(내신 수학성취도/대학수학능력모의 수학성취도)가 비슷한 학생들 중 논리적 사고력과 공간 시각화 능력 둘 중 한쪽으로 치우친 학생들이 문제 해결 과정의 전략에서 보이는 시각화 경향성은 어떠한가? 위의 세 가지 연구문제에 대해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다. 첫 번째 연구 문제를 살펴 보기 위해 서울시 소재 M고등학교 학생 165명에 대해 논리적 사고력 검사와 공간 시각화 검사를 각각 5월 둘째주 토요일 오전중에 50분에 걸쳐 실시하였다. 그 후 대상 학교에서 입수한 두 가지의 수학성취도와 두 가지 검사결과를 가지고 중다회귀분석과 Lisrel 8.12를 이용하여 공변량 구조분석을 한 결과는 다음과 같다. 논리적 사고력과 수학성취도, 논리적 사고력과 공간 시각화 능력은 서로 상관관계가 있었으며, 공간 시각화 능력과 수학성취도 사이에는 상관관계가 낮게 나타났다. 논리적 사고력과 공간 시각화 능력의 수학 성취도에 대한 상대적 영향력에 대한 결과는 논리적 사고력이 공간 시각화에 비해 수학 성취도에 좀 더 밀접한 영 향을 미치고 있었으며, 그로 인해 논리적 사고력이 높은 학생들의 수학성취도가 좋게 나타났다. 위의 연구 결과에서 공간 시각화 능력이 수학성취도와 낮은 상관관계를 보인 부분을 생각해 볼 만 하다. 이는 수학성취도의 두 가지 영역 즉, 내신 수학성취도와 대학수학능력 수학성취도의 평가 영역이 대부분 대수 영역이었음을 생각할 때, 공간 시각화 능력이 대수 영역의 능력을 설명해 주는 요소로서 가치가 없음을 알 수 있었다. 이는 기존의 선행연구들이 공간 시각화 능력과 기하영역의 상관관계가 있음을 연구한 결과로, 본 연구에서는 공간 시각화 능력이 대수영역과는 상관관계가 없음을 보여준 것이다. 이는 Fennema와 Tartre(1985)의 연구에서 보여준 공간 시각화 능력이 기하영역과는 높은 상관관계가 있으나 그 이외의 영역과는 상관 관계가 분명하지 않다는 결과를 뒷받침해 줄 수 있는 결과이다. 공변량 구조 분석 결과 수학성취도와 관련된 변수들 간의 가설적 인과모형에서는 적합도 지수들 중 GFI를 제외한 대부분이 가설적 인과 모형의 부적합함을 나타내고 있으므로 모형의 수정이 필요함을 알 수 있었다. 즉 공간시각화의 수학성취도에 대한 영향력이 낮게 나옴으로 인해 공간시각화와 논리적 사고력 둘 다가 수학성취도에 영향을 미칠것이라는 가설적 인과 모형의 부적합함을 드러낸 것이다. 이로 인해, 모형의 수정이 필요하였고, 수정지수에 따라 내신 수학성취도가 대학수학능력모의 수학성취에 미치는 영향의 경로를 더 추가 하고, 공간 시각화가 내신 수학성취도에 미치는 영향의 경로를 제거한 수정 경로모형을 살펴보면, 논리적 사고력만이 두 가지의 수학 성취도에 영향을 준다는 결론을 얻을 수 있었다. 두 번째 연구문제를 위하여 Piaget의 인지 발달 이론에 근거하여 GALT지의 점수로 구체적 조작기, 과도기, 형식적 조작기의 세 그룹으로 165명의 학생들을 분류하였다. 각각의 비율 보면 구체적 조작기에 30.9%, 과도기에 52.7%, 형식적 조작기에 16.4%가 속해있었다. 수학 학업 성취도에서는 구체적 조작기와 형식적 조작기, 구체적 조작기와 과도기에서 유의미한 차이가 있었다. 대학수학능력모의 수학성취도에서는 구체적 조작기와 과도기, 구체적 조작기와 형식적 조작기, 과도기와 형식적 조작기에서 유의미한 차이가 있었다. 공간 시각화 점수에서는 구체 적 조작기와 과도기, 구체적 조작기와 형식적 조작기 사이에서 유의미한 차이가 있었다. 세 번째 연구문제를 위하여 연구문제 1과 연구문제 2를 바탕으로 수학성취도가 비슷한 학생 중 논리적 사고력과 공간 시각화 능력 두 가지 중 한쪽으로 치우친 학생을 각각 두 명씩 네 명을 선발하여 사례연구를 실시하였다. 두 명은 논리적 사고력이 높은 형식적 조작기에 속하는 반면 공간 시각화 점수가 비교적 낮은 학생들이었고, 두 명은 논리적 사고력이 비교적 낮은 과도기에 속하는 반면 공간 시각화 점수가 만점에 가까운 학생들이었다. 이 사례연구를 통하여 인지수준이 형식적 조작기에 속하는 학생들보다 과도기에 속하는 학생들이 문제 해결 전략에서 시각적인 경향성을 높게 보임을 알 수 있었다. 문장제 문제의 문맥의 의미를 묻는 문제에서는 형식적 사고기에 있는 학생들이 문제에 대한 이해를 올바로 하여 연구자가 의도한 답을 보여주었다. 이상의 연구결과를 바탕으로 다음의 몇 가지 제언을 하고자 한다. 첫째, 본 연구의 결과에서 공간 시각화 능력이 대수 영역의 성취도를 설명하는 데 영향력이 없는 요소임이 밝혀졌다. 물론 선행연구에서 기하영역과의 상관관계는 있었으나, 공간 시각화 능력 자체가 수학 과목 전체의 능력을 평가해줄 수 있는 잣대가 될 수 있는지는 의심스럽다. 둘째, Piaget의 인지발달 이론에 따르면 13-16세 학생들이 형식적 조작기에 속함에도 불구하고, 본 논문의 연구대상이었던 고등학생(16세)의 83.6%가 과도기와 구체적 조작기에 머물고 있었다. 이에 대해 현재의 수학교육이 이러한 학생들의 인지수준을 고려한 것인가를 되짚어 볼 필요가 있겠다. 셋째, 본 연구의 사례연구에 나타난 결과로 인지수준이 형식기에 속한 학생보다는 과도기에 속한 학생들이 문제 해결 전략에서 시각화 경향성을 높게 보였음을 알 수 있었다. 수학교사들은 교수 대상 학생들의 인지수준을 고려하여 문제 해결 전략을 적절히 활용한다면 학생들의 수학성취도를 향상시키는데 상당한 도움이 될 것이다.;This study aims to explore the effect of ability of logical thinking and spacial visualization in the mathematics' achievement. The research questions of the study are as follows: Firstly, does the ability of logical thinking and spacial visualization influence on the achievement of mathematics like the achievement of academic mathematics in school reports and of the mathematics in a trial run of K-SAT? Secondly, is there any difference of spacial visualization and mathematics' achievement between groups divided according to the theory of cognitive developmental stage of Piaget? Thirdly, how is the inclination of visualization shown in the process of problem-solving of students who are tended toward one ability between the ability of spacial visualization and logical thinking and are shown to have the same level of mathematical achievement in both academic reports and in trial run of K-SAT. The main results of this study are as follows: first, the ability of logical thinking and mathematical achievement, and the ability of logical thinking and the ability of spacial visualization seems to have co-related. However, the ability of spacial visualization and mathematics' achievement were shown to have the low co-relation. The ability of logical thinking rather than the ability of spacial visualization influences a lot on the achievement of mathematics class, which indicates that those who have a high level of the ability of logical thinking have a high level of mathematical achievement. Above this results, it's worth of note that the ability of logical thinking have had a low level of co-relation with the mathematics' achievement. Suppose that both mathematics' achievements-academic mathematics and K-SAT mathematics-are included in algebraic field, it's revealed that the ability of spacial visualization is a meaningless value which is not able to explain the algebraical factor. This is in accord with the previous study that clarified the co-relation between the ability of spacial visualization and the geometrical factor. Fennema and Tartre(1985) showed that the ability of spacial visualization is co-related only with the geometrical field and that there were no clear evidence of co-relation with other factors. For the second research questions, 165 students are divided into three groups according to the Piaget's cognitive developmental stage: concrete operational stage, transitional operational stage and formal operational stage. The 30.9% of total students were in the concrete operational stage, 52.7% were in the transitional operational stage and the rest of students(l6.4%) were in the formal operational stage. There was some different mathematics' achievement between the concrete operational stage and formal operational stage and between the concrete operational stage and transitional operational stage. The different mathematical achievement in trial run K-SAT was shown between the concrete operational stage and transitional operational stage, between the concrete operational stage and formal operational stage and between transitional operational stage and formal operational stage. The score of spacial visualization was also different between the concrete operational stage and transitional operational stage and between the concrete operational stage and the formal operational stage. For the third research question, each of two students who are tended toward one ability between the ability of spacial visualization and logical thinking with the same level of mathematical achievement in both academic reports and in trial run of K-SAT are chosen for the case study. Two students were in the formal operational stage, which needs higher logical thinking ability and lower spacial visualization score while two students represents the one of transitional operational stage, who showed the perfect spacial visualization score and lower logical thinking ability. This case study said that those who were in the transitional operational stage rather than in the formal operational stage tended to have higher spacial visualization in the process of problem solving. In the question of asking the context of question, those who were in the formal operational stage understood the question properly and answered correctly what the questioner asked. Here are some suggestions of this study based on above results. Firstly, because the ability of spacial visualization is not co-related with the algebraical field, it's doubt whether the ability of spacial visualization can be the standard for evaluation of overall mathematics' achievement. Secondly, It's strongly recommended that the official consider if the cognitive stage of students are reflected on the current mathematics education. Finally, it seems to be very valuable for improving the achievement of mathematics if school teachers use the strategy of problem-solving considering student's cognitive developmental stage.