대수적 규칙에 반영된 시각적 특징이 중학생들의 수행에 미치는 영향 분석

Abstract

중학교에서 대수 학습은 문자의 사용으로부터 출발한다. 문자의 사용을 이해하고 형식적인 방법으로 조작하여 표현하는 것은 심화된 대수영역의 학습과 나아가 수학의 다른 영역 학습의 토대가 된다. 그러나 학교수학 수업에서는 대수의 의미보다는 형식을 우선하여 학생들에게 개념적 기초가 잡히기 전에 복잡한 규칙을 가르치기도 하고 있다. 대수적 규칙에서 나타나는 시각적 특징은 대수식의 의미나 구조를 몰라도 대수식을 변환할 수 있게 하지만 대수식의 의미를 모를 경우 대수적 규칙에서 나타나는 시각적 특징으로 인하여 대수식을 변환하는 과정에서 오류가 나타나기도 한다. 본 연구에서는 대수적 규칙에서 나타나는 시각적 특징이 학생들의 수행에 어떻게 영향을 미치는지를 알아보고자 하였다. 이에 따른 본 연구의 연구 문제는 다음의 두 가지 이다. 첫째, 일반적 표기법과 수형도 표기법을 사용한 수업에서 시각적 규칙과 명제적 규칙을 학습할 때, 학생들의 반응은 어떻게 다르게 나타나는가? 1-1. 일반적 표기법을 사용하여 시각적 규칙과 명제적 규칙을 학습할 때, 학생들의 인지는 어떻게 다르게 나타나는가? 1-2. 수형도 표기법을 사용하여 시각적 규칙과 명제적 규칙을 학습할 때, 학생들의 인지는 어떻게 다르게 나타나는가? 둘째, 일반적 표기법과 수형도 표기법을 사용한 수업에서 시각적 규칙과 명제적 규칙에 관한 학생들의 오류는 어떻게 다르게 나타나는가? 2-1. 일반적 표기법을 사용하여 시각적 규칙과 명제적 규칙을 학습할 때, 학생들의 오류는 어떻게 다르게 나타나는가? 2-2. 수형도 표기법을 사용하여 시각적 규칙과 명제적 규칙을 학습할 때, 학생들의 오류는 어떻게 다르게 나타나는가? 본 연구 문제를 해결하기 위하여 중학교 7-가 단계 대수영역인 『문자와 식』단원 학습 전의 경기도 일산 소재 B중학교 학생들을 대상으로 한 반은 일반적인 표기법, 다른 한 반은 수형도 표기법을 사용하여 대수적 규칙을 학습하게 하여, 학습 시 나타나는 학생들의 인지와 오류를 살펴보았다. 동일한 교사가 두 가지 다른 표기법으로 실험 수업을 각각 실행하였다. 두 학급의 실험 수업은 표기법만 다르고 그 외의 모든 수업 방법은 동일하였다. 1차시에는 각 학급에서 사용하는 표기법으로 8가지 규칙과 예시들을 소개하였고, 2차시에는 8가지 규칙을 복습한 후 퀴즈를 실시하였다. 마지막 차시에는 8가지 규칙을 복습한 후, 사후 검사를 실시하였다. 총 3차시의 수업 중 1차시는 비디오 녹화하였고, 2차시와 3차시에는 수업이 끝난 후 각각 예비 검사와 사후 검사를 실시하였다. 사후 검사 문항은 학생들이 대수적 규칙을 주어진 대수식에 잘 적용할 수 있는지를 평가하기 위한 적용과제와, 대수적 규칙이 적용되지 않는 대수식을 판단할 수 있는지를 평가하기 위한 판정과제로 분류하였다. 녹화된 비디오의 전사본은 분석틀에 맞추어 코딩하여 빈도수를 측정하였고, 사후 검사 결과는 적용과제와 판정과제에 대하여 반복측정 분산분석(analysis of variance for repeated measures) 방법으로 각각 분석하였다. 분석은 성별, 수학 성취도의 2가지 인수와 반복측정 요인인 규칙을 포함하는 2×2×2 요인 설계(factorial design)를 이용하였다. 본 연구를 통해서 얻은 주요 결과는 다음과 같다. 첫째, 사후 검사의 적용과제의 분석 결과, 일반적 표기법으로 배운 학생들은 시각적 규칙을 더 쉽게 인지하였다. 한편, 수형도 표기법으로 배운 학생들은 시각적 규칙과 명제적 규칙 사이에 유의한 차이점이 없었다. 일반적인 표기법으로 배운 학생들은 교사의 질문에 대하여 수형도 표기법으로 배운 학생들 보다 시각적인 용어를 더 많이 사용하였다. 둘째, 사후 검사의 판정과제의 분석 결과, 일반적인 표기법으로 배운 학생들은 시각적 규칙에 대하여 더 많은 오류를 보였다. 한편, 수형도 표기법으로 배운 학생들은 두 가지 유형의 규칙 사이에 유의한 차이점이 없었다. 결과적으로 첫째, 사후 검사의 적용과제에서 일반적 표기법으로 배운 학생들은 시각적 규칙을 더 쉽게 인지하였다. 이것은 명제적 구조를 이해하지 않고도 쉽게 변환할 수 있기 때문인 것으로 볼 수 있었다. 사후 검사의 적용과제에서 수형도 표기법으로 배운 학생들은 시각적 규칙과 명제적 규칙 사이에 유의한 차이점이 없었다. 시각적 특징이 드러나지 않는 수형도 표기법으로 배운 학생들은 시각적 규칙과 명제적 규칙을 거의 비슷하게 인지하였음을 알 수 있었다. 일반적인 표기법으로 배운 학생들은 대수적 규칙의 시각적 특징의 영향을 받아 수형도 표기법으로 배운 학생들 보다 수업 중 시각적인 용어를 더 많이 사용하여 응답하였다. 전반적으로, 일반적인 표기법으로 배운 학생들은 시각적 규칙을 배우기에 더 쉽다고 느낀다는 것을 알 수 있었다. 둘째, 사후 검사의 판정과제에서 일반적인 표기법으로 배운 학생들은 시각적 규칙에 대하여 더 많은 오류를 보였다. 이것은 시각적 특징의 영향을 받아 시각적 규칙과 유사한 대수식에 그 규칙을 잘못 적용시키기 때문인 것으로 볼 수 있었다. 수형도 표기법으로 배운 학생들은 시각적 규칙과 명제적 규칙 사이에 유의한 차이점이 없었으므로 두 가지 유형의 규칙을 주어진 대수식에 거의 비슷하게 적용시킨다고 볼 수 있었다. 따라서, 학생들은 시각적 규칙의 구조를 이해하기에 더 어려워 한다는 것을 알 수 있었다. 본 연구 결과를 Awtry(1993)의 연구결과와 비교하면, 각 학급별 규칙 유형에 대한 사후 검사 결과는 거의 일치하였다. 하지만 본 연구에서는 규칙과 성별, 규칙과 수학 성취도에 대한 상관관계가 나타나지 않았다. 대수적 변환을 학습할 때 대수적 규칙에서 나타나는 시각적 특징은 학생들의 수행에 큰 영향을 미치고 있었다. 과제가 일반적인 표기법으로 제시되었을 때, 학생들은 시각적 특징의 영향을 받아 시각적 규칙을 배우기에 쉽다고 느끼고 더 성공적으로 수행하였으나 시각적 규칙과 유사하나 그 규칙이 적용되지 않는 대수식이 주어졌을 때 많은 학생들이 그 규칙을 잘못 적용하였다. 따라서 대수적 규칙에서 나타나는 시각적 특징의 영향으로 학생들은 시각적 규칙을 명제적 규칙보다 배우기는 쉬우나, 그 구조를 이해하기는 어려웠다. 따라서 본 연구를 통해서 학생들이 대수식 분석에 있어 시각적 특징에 의해 쉽게 판단하고 영향을 받음을 알 수 있었다. 하지만 대수적 규칙의 구조를 정확하게 이해하고 더 나아가 대수식에 적용하기 위해서는 학생들이 인지하는 시각적 특징과 함께 ‘시각적 연산 수준’을 이용하여 대수식을 바르게 분석할 수 있고, 그 과정에서 명제적 내용을 자연스럽게 습득할 수 있을 것이라 기대할 수 있다.;The visual salience maybe have influence on students' algebra learning. There are the influence of visual salience in the syntactic structure of algebraic expressions. This purpose of this study is to investigate that the visual salience of algebraic rules have influence on students' performance in initial learning of algebra. Two group of algebra neophytes were taught a mixture of visual and propositional rules. Visual rules were selected because of their greater visual salience; Propositional rules were selected because of their lesser visual salience. One group was taught using ordinary notation; the other using a syntactic tree notation which distorts the visual structure of ordinary notation. Each group was evaluated using 'Application task' and 'Decision task'. Application task assessed the students' ability to identify routine applications of the rules. Decision task provided an expression that could not be manipulated by any of the rules, thereby measuring a student's ability to constrain overgeneralizing the context of applications of the given rules. The major results achieved by this study are as following. First, visual rules turned out to be significantly more easier to recognize than propositional rules when presented using the ordinary notation. Second, visual rules turned out to be significantly more difficult to constrain than propositional rules when presented using the ordinary notation. Thus visual salience comes into play not only in the character of some transformatioal rule but also in the syntactic structure of algebraic expressions.