최소공배수와 최대공약수 문제 해결과정 중 문제 이해와 계획수립단계 분석

Abstract

기존의 문제 이해에 관한 연구는 문제이해의 중요성을 인식하고 문제 이해를 높이기 위한 전략에 관한 연구들(읽기전략, 쓰기전략)이 있고 문장제의 이해가 성취도와 어떤 관계가 있는지에 관한 연구, 문제의 난이도와 관련있는 문제 유형에 있어서 어떤 유형의 문제에서 곤란을 겪는가에 관한 연구, 문제 이해과정에서 나타날 수 있는 오류에 관한 연구, 성공하는 문제해결자는 문제를 어떻게 이해하고, 어떤 전략을 세우는가에 관한 연구, 문제 이해에 관한 모델등 다양한 연구들이 있다. 본 연구에서는 중학교 1학년 교과서에서 처음으로 나오는 문장제인 최대공약수와 최소공배수의 활용 단원과 교과서에서는 다루지 않는 문장제를 해결할 때, 문제이해와 계획수립단계에서 나타나는 여러 가지 행동을 관찰함으로써 학생들의 문제해결과정에 대한 더 많은 정보를 얻고자 한다. 본 연구에서는 기존의 연구에서 제시하였던 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 문장제에서 최대공약수와 최소공배수 개념을 도입한 문장제로 확장하여 학생들의 이해와 전략을 분석하였다. Lewis & Mayer(1987)가 제안한 일치가설에서 사용된 문제 유형(일치언어문제, 불일치언어문제)(김순혜, 1999 재인용)을 최대공약수와 최소공배수 연산에 맞게 수정하여 본 연구에서는 ‘가능한 한 작은’, ‘최소한’이라는 키워드가 문장 속에 들어있는 문제를 최소공배수 연산으로 조작해야 하고 ‘가능한 큰’, ‘최대한’이라는 키워드가 들어있는 문제를 최대공약수 연산으로 조작해야 하는 문제를 일치형 문제로, 이와는 반대로 ‘가능한 적게’라는 키워드가 최대공약수 개념으로 조작해야 하는 경우와 문제에서 수학적 조작을 선택할 수 있을만한 단서가 주어지지 않았을 경우의 문제를 불일치형 문제로 분류하였다. 정답률과 상위권, 중위권, 1학년 집단의 문제유형에 따른 이해도를 분석하였고 문제를 이해하기 위한 학생들의 전략을 살펴보고 문제 이해와 계획수립단계에서 나타날 수 있는 오류에 대해 조사하였다. 또한 문제이해가 우수한 학생들이 문장제를 이해하기 위해 어떤 행동을 보이는가에 대해서도 관찰함으로써 문제 이해의 초보자에게 도움이 되고자 하였다. 이에 본 연구는 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 교과서에서 다루는 최소공배수와 최대공약수의 활용에 대한 문장제의 이해도는 각 집단과 문제 유형(일치형/불일치형)에 따라 차이가 있는가? 1) 최소공배수와 최대공약수의 연산구조에서 일치형 문제와 불일치형 문제에 대해 각각의 집단(상위권, 중위권, 1학년)이 문제를 이해하기 위한 전략은 무엇인가? 2) 문제이해 단계와 계획수립 단계에서 나타날 수 있는 오류는 무엇인가? 2. 교과서에서 다루지 않는 문장제에 대해 상위권 학생은 어떻게 이해하고 계획을 세우는가? 위의 연구문제들을 해결하기 위해 경기도에 소재한 B중학교 1학년 1개 학급 40명과 2학년 수준별 학급 80명(상위권 학급 42명, 중위권 학급 38명)의 학생들을 대상으로 하여 검사지를 통해 성취도를 조사하였고 검사지 상에서 전형적인 사례를 보인 6명의 학생을 대상으로 1명씩 개별 인터뷰를 하여 문제 이해 전략과 그 과정에서 보여지는 오류에 대해 조사하였다. 또한, 검사지를 통해 문제 이해가 잘되었다고 판단된 학생 3명을 대상으로 교과서에서 익숙하지 않은 문제를 통해 문제 해결 과정을 관찰하였다. 자료처리는 SPSS 10.0 프로그램을 사용하여 이원분산분석, 대응표본 T-검정을 실시하였고 인터뷰과 관찰법을 사용하였다. 본 연구를 통해 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다. 1. 문장제의 곤란도에 영향을 줄 수 있는 의미론적인 변인으로 최소공배수와 최대공약수 활용 단원의 문제유형을 일치형과 불일치형으로 구분하여 상위권, 중위권, 1학년 학생들의 이해도를 조사한 결과 상위권 학생들은 문제 유형에 따라 성취도의 변화가 없었지만, 중위권 학생들과 1학년 학생들은 불일치형의 문제에 대해 심각한 어려움을 겪고 있었다. 2. 문제이해를 제대로 하지 못한 학생들의 경우, 수와 키워드에 집중하여 식을 세우기 때문에 오류를 많이 범하고 있었다. 또한 문제이해를 위해 나름대로의 체계적인 규칙을 가지고 있음이 드러났다. 자기만의 규칙으로 문제를 해결함으로써 성취정도와 상관없이 문제를 제대로 이해하고 있지 못함을 볼 수 있었다. 3. 문제 이해가 잘 된다고 판단되는 학생의 경우 문제 이해에 있어서 내적 표상을 만드는 행동을 보여주고 있었다. 텍스트 자체만을 이해하는 것이 아니라 텍스트에 기술된 상황에 대해 이해하고 있었다. 본 연구를 통해 교과서에서 다루는 최소공배수와 최대공약수에 관한 문장제의 유형별 이해와 해결전략을 중심으로 교과서에서 다루지 않는 문장제에 대해 성취도가 높은 학생의 문제이해 행동을 조사하였다. 후속 연구를 위해 다음과 같은 점들을 제언하고자 한다. 1. 학생들에게 어려움을 주는 문장제의 요인을 최대공약수와 최소공배수 활용단원에서 알아보았는데 다른 연산 구조를 가지는 문장제 영역에서도 곤란도에 영향을 줄 수 있는 변인들을 분석할 필요가 있다고 생각한다. 2. 문제 이해단계와 계획 수립 단계에서 생기는 오류를 체계적으로 분석하여 실질적으로 문제해결력 향상에 도움을 줄 수 있는 교수학적 방법을 연구할 필요가 있다고 생각한다. 3. 학생들이 접하는 문장제가 지나치게 정형화되어 있어서 학생들이 해결방식이 기계적이 되어있지 않은지 생각하게 된다. 문장제가 문제해결의 도구 역할을 하려면 문제 변인을 다양화하여 제시해야 할 것이라고 생각된다.;This study was intended to find the characteristics of the middle school students' problem solving process when they solved the mathematical word problems for least common multiple and greatest common measure. The main goal of this study was to analyse students' understanding and planing word problem with respect to consistent language problem and inconsistent language problem as semantic variable. In addition, this study analyzed successful problem solver's behaviors of understanding and planing word problem. A test conducted to the sampled 40 first grade and 80 second grade middle school students. The data was analyzed by SPSS 10.0 statistics program. In addition, the students' thinking processes were recorded using an audio tape recorder and transfered into protocols and the protocols were analyzed. Following are the result of the study. 1.There are differences in degree of difficulty according to type of word problem between high level student and low level student. 2.Through error analysis in understanding word problem, insuccessful problem solver presents reversal errors 3. Successful problem solver in understanding phase makes mental repesentation. They understand situation in the text base not only text Recommendations are as follows. 1. The studies about effects of difficulty according to semantic variables in more complex word problem should be made. 2. The analysis of error types in the understanding and planning phases of problem is useful to succeeful problem solving process 3. Word problems in mathematics textbook should be provided in various situation.