중학교 1학년 학생들의 비례 문제 해결 전략과 함수 개념과의 관계

Abstract

본 연구에서는 일상생활에서 접하는 여러 가지 종속적인 관계 특히, 정비례와 반비례 같은 규칙적인 변화로 표현될 수 있는 현상을 토대로 함수를 정의하는 7차 교육과정의 함수 개념을 학생들에게 보다 잘 이해시키기 위해 학생들의 비례적 사고를 아는 것이 우선시 되어야 한다고 생각하였다. 따라서 함수단원을 배우기 전에 학생들에게 형성돼 있는 비례에 대한 생각을 비례 문제 해결 전략을 통해 알아보고, 학생들의 전략을 통해 알 수 있는 그들의 비례에 대한 생각과 접근방법이 정비례, 반비례의 규칙적인 변화로 소개되는 함수 개념과 관련이 있는지 알아보려했다. 비례적 사고와 함수 개념과의 관계를 살펴봄으로써 학생들의 함수에 대한 생각을 이해하고 대응 관계에서 종속성으로 정의를 달리하는 함수 단원 지도 시에 좀 더 고려되어져야 할 부분을 제시하고자 하는 것이 본 연구의 목적이라 하겠다. 이와 같은 연구 목적에 따라 다음의 세 가지 연구 문제를 설정하였다. 1. 초등학교에서 비와 비례식을 배운 중학교 1학년 학생들이 비례 문제를 해결 할 때 사용하는 전략에는 어떤 것들이 있는가? 2. 학생들이 가지고 있는 비례 문제 해결 전략과 함수 개념은 관련이 있는가? 3. 비례 전략 유형에 차이를 보인 학생들의 함수 개념 형성 과정은 어떠한가? 이 연구 문제를 해결하기 위해서는 방정식 단원까지 배우고 정비례·반비례 및 함수에 관한 내용은 학습하지 않은 중학교 1학년 학생들의 비례 문제 해결 전략을 알아야만 했다. 따라서 두 개 학급, 총 71명을 대상으로 비례에 관한 사전 검사가 이루어졌고, 함수 단원을 학습한 이후에 다시 한번 비례에 관한 사후 검사와 함수 개념 검사가 실시되었다. 사전 검사의 결과를 바탕으로 학생들을 세 그룹으로 나눈 뒤, 그룹별로 함수 개념 검사 결과를 살펴보았다. 그 후, 그룹별로 3～4명의 학생을 선발해 총 10명의 학생들과 개별적인 인터뷰를 통해 함수 개념의 이해 정도를 알아보았다. 그 결과 사전 검사에서 비례 문제를 해결할 때 ‘곱셈 전략’과 ‘비례 전략’을 주로 사용하던 학생들이 비례를 통한 함수단원 학습 이후 ‘비례 전략’과 ‘방정식 전략’ 활용하여 문제를 해결하고 있었는데 이는 기존의 연구에서는 볼 수 없던 결과였고 교육과정 개편에 따른 성향일 수도 있기에 좀 더 연구되어져야 할 부분이었다. 학생들은 ‘비례 전략’을 사용해 반비례 문제를 해결하고자 할 때 현저히 낮은 정답률을 보인 반면, ‘방정식 전략’을 사용해 반비례 문제를 해결한 경우에는 높은 정답률을 보여, 반비례로 함수를 가르칠 때 ‘방정식 전략’의 활용이 유용할 것으로 예측되었다. 비례 전략을 유형별로 구분해 본 세 그룹은 비례 관계에 있는 두 변수를 파악하는 정도에 차이가 있었고, 이같은 인식의 차이는 비례상수를 찾는데 영향을 미치며 함수 개념의 형성 과정에도 그대로 반영되고 있었다. 그러므로 함수 단원이 정비례와 반비례 관계의 종속성을 통해 지도되어 질 때 학생들에게 이미 형성돼 있는 비례 문제 해결 전략의 특성이 고려되어야 하며, 특정 전략만을 모범적인 풀이로 지도하기보다, 학생들이 가지고 있는 전략을 통해 비례성을 인식 할 수 있게 지도된다면 비례적 관계로 도입되는 함수의 정의를 보다 쉽게 받아들이고 이해할 것이라고 생각된다. 그러나 본 연구는 소수의 학생들에게서 보여진 성향을 일반화 시켰고, 보다 정확한 분석을 위한 비례 수준 검사가 생략되어 있다는 제한점을 갖고 있다. 따라서 다수의 학급을 대상으로 하는 양적연구와, 특정 전략을 사용하는 소수의 학생들을 대상으로 그들의 사고를 알아보는 질적 연구를 후속 연구로 제안한다.;We need to understand students' proportional reasoning capability before we can teach more effectively the concept of functions to them as the seventh revised curriculum defines a function as a dependence relation that students experience in daily lives such as direct and inverse proportions. Therefore in this study, we investigate student's ideas about proportions formed before they begin to learn about functions, by analyzing the strategies they employ to solve problems related with proportions and by finding any relation between the students' ideas and approaches about proportions and their understanding of the notion of functions as a regular relation such as direct and inverse proportions. The purpose of this study is thus to point out what to consider when we teach functions as dependence relations by understanding students' different ideas about functions depending on their different approaches to proportions. For this purpose, we present the following three research problems. 1. What strategies do the middle-grade students, who already learned ratio and proportions in the elementary schools, employ to solve proportion-related problems? 2. How the strategies that they employ to solve proportion-related problems are related with their understanding of functions? 3. What difficulties the students experience depending on their different strategies in solving proportion-related problems? For this research problem, we needed first to stud middle-grade students' strategies in solving proportion-related problems before they learn about functions and direct and inverse proportions but learned simple equations. So 71 students in two classes were tested with an examination about proportions, and then, after learning functions, they were tested with another examination about proportions and an examination about functions. Based on the result about the previous examination, the students are classfied into three groups, and we investigated the differences in their ideas about functions in the three groups. Afterwards, 3-4 students were selected from each group, and the total of 10 students were interviewed individually to further investigate the differences in their understanding of the concept of functions. A result on this study shows that the students who used `multiplication strategy' and `ratio strategy' in the previous examination on proportions tend to use `ratio strategy' and `equation strategy' after they learned functions. This need to be studied further because this may be due to the curriculum revision. The result that the students solved the inverse proportion problems more correctly by the `ratio strategy' rather than by the `equation strategy' shows that it is more useful to employ `equation strategy' when teaching functions with inverse proportions. The three groups classified according to the proportion strategies shows differences in perceiving the two variables involved in the proportion relation, and also in the formed notions of functions. These results imply that in teaching about functions with direct and inverse proportion relations, we need to take account of the characteristics of the different strategies formed in students. Moreover, a student may understand the definition of functions as proportion relations better if the teacher uses different strategies depending on each individual students' strategies. However this study is limited because we generalized the tendencies shown in a small group of students and omitted the proportion level examination for precise analysis. Hence we propose a quantity study with a larger group of students, and a quality study probing more deeply with a few students with specific solution strategies.