Bias-Free Credibility Optimization under Random Effect Models

Abstract

We usually use the premium (Bayes premium) and commercial premium. Then, the Bayes approach has high efficiency in fitting the previous conditions but is often difficult for policyholders to interpret. On the other hand, the commercial premium is highly intuitive, making it easier for policyholders to understand how their claim history affects their future premiums. In insurance science, we typically use two main types of premiums: the Bayes premium and the commercial premium. An insurance premium generally consists of two components: the a priori rate, which is based on the policyholder’s observable characteristics at the time of contracting, and the a posteriori rate, which accounts for the residual component not explained by the a priori information. The a posteriori rate depends on both the a priori rate and the claim history, as seen in the Bayes and credibility premiums. However, in some special cases, such as the bonus-malus premium in auto insurance, the a posteriori rate relies solely on the claim history. We call these types of insurance premiums commercial insurance premiums. Commercial premiums have the advantage of being easy for policyholders to understand, as they can clearly see the impact of their claim history on their future premiums. However, this simplified structure can introduce a systematic bias known as the double counting problem, which has been empirically observed in bonus-malus systems. Our study expands this empirical analysis to other forms of commercial insurance premiums and provides a rigorous mathematical framework that shows that any commercial insurance premium is potentially vulnerable to the double counting issue. To address this problem, we propose a straightforward solution that maintains the simplicity of the commercial premium while mitigating the double counting effect. Through numerical analysis, including real data analysis, we illustrate the extent of the double counting issue and demonstrate the effectiveness of our proposed solution in reducing this bias.;본 연구는 동적 모형 아래 프리미엄 최적화 방법을 다루며, 베이즈(Bayes) 프리미엄과 상업적(Commercial) 프리미엄의 한계를 분석하고 이를 개선하기 위한 새로운 프리미엄 조정 방법을 제안하였다. 일반적으로 프리미엄은 두 가지 주요 구성 요소로 나뉘는데, 첫째는 사전 정보에 기반한 a priori 비율이고, 둘째는 a priori 정보를 설명하지 못한 잔여 성분을 고려한 a posteriori 비율이다. 베이즈 신뢰도의 경우, a posteriori 비율은 a priori 비율과 클레임 이력 모두에 의존한다. 그러나 보너스-말러스(Bonus-Malus) 프리미엄와 같은 상업적 모델의 경우 a posteriori 비율이 클레임 이력에만 의존한다. 베이즈 프리미엄은 이전 조건을 반영하는 데 있어 효율성이 높지만, 해석하기 어렵다는 단점이 있다. 반면, 상업적 프리미엄은 클레임 이력이 향후 프리미엄에 미치는 영향을 각 계수값으로 명확히 해석되므로, 이해하기 쉬운 구조를 가진다. 그러나 이러한 단순한 구조는 이중 계산(double counting) 문제와 같은 치명적인 모델 편향을 초래할 수 있으며, 이는 보너스-말러스 시스템에서 실증적으로 관찰되었다. 본 연구에서는 모든 상업적 프리미엄이 이 문제에 취약할 가능성이 있음을 보이고, a priori와 a posteriori 를 동시에 최적화해 편향성이 제거된 모델을 제시했다. 또, 본 연구는 시뮬레이션과 실 데이터 분석을 포함한 수치 해석을 통해 이중 계산 문제의 심각성을 확인하고, 다양한 시나리오에서 제안된 해결책이 이 편향을 줄이는 데 효과적임을 비교 분석했다. 결론적으로, 본 연구는 베이즈 프리미엄과 상업적 프리미엄의 장점을 결합한 새로운 프리미엄 최적화방식을 제안함으로써 프리미엄 계산의 정확성과 투명성을 개선하는 데 기여하였다. 본 연구는 효율적인 위험 관리와 프리미엄 산출 과정을 최적화하는 데 기여했다는 점에서 의의를 지닌다.