An ordering problem of SL_3-webs in a once-punctured torus, and the SL_3 quantum trace map

Abstract

Laurent positivity for simple loops on a surface on Bonahon-Wong SL2 quantum trace map is proved on research by Hyun Kyu Kim and his students. SL3 quantum trace map, developed by Hyun Kyu Kim in 2020, is a homomorphism from SL3-skein algebra of SL3- webs to Fock-Goncharov algebra of Laurent polynomials. It is one of the important issues to expect Laurent positivity on this map. In other words, we want to discover whether the result of the quantum trace map of SL3-web is positive. In this paper, the Laurent positivity of nice SL3-webs on a once-punctured torus is represented, using an ordering problem. By classifying SL3-webs using Dehn twist, we suggest the explicit method to find the solution of an ordering problem.;Bonahon-Wong의 SL2 quantum trace map의 bases가 양의 계수를 가진다는 것은 저번 연구에서 증명되었다. SL3 quantum trace map에서도 동일한 성질이 성립하는지 알아보고자 한다. 이 논문에서는 곡면이 하나의 puncture를 갖고 genus가 한 개인 토러스(torus)에 대하여, SL3 quantum trace map의 결과가 양의 계수를 가지는 다항식이 됨을 증명하고자 하였다. 이를 증명하기 위해 순서 문제를 도입하였고, Dehn twist를 이용하여 web를 분류한 뒤, 순서 문제의 솔루션을 주는 방법을 제공한다.