기호중심 수학적 쓰기 양식 개발과 적용

Abstract

In mathematics, all learning activities are related to signs in every way, so the importance of signs is heavily emphasized that one cannot exclude signs when discussing mathematics. One can precisely understand and explain mathematical concepts through signs. Therefore, learning mathematics is to understand the meaning of various signs, use them correctly as the rules promised within the mathematics community, develop thinking through the intervention of mathematical signs and learning how to use mathematical signs so that others may understand through one’s own expression. Despite signs carrying an important role in learning mathematics, students are facing difficulties in understanding and using mathematical signs. Factors which make signs troublesome in mathematics can be found with the properties of mathematics that must represent invisible mathematical objects or relationship, and the meaning of mathematical signs, in which symbolic signs dominate, is lacking in the provision of learning opportunities to use correct mathematical signs by themselves. It can be found in things that have not been sufficiently understood and related to the meaning and expression of mathematical signs. As the importance of mathematics and signs are emphasized, studies are actively being conducted to apply the research results of linguistics and semiotics to mathematics education. The semiotic perspective in mathematics is teaching and learning in mathematics, which focuses on the meaning and expression of mathematical signs. Despite many studies, there have been insufficient studies to guide mathematics learning based on signs to explain the meaning of students' preferences and give practical help to symbolize them. In addition, when students interacted with other peers’ signs used in problem solving, detailed act of analyzing of how to interpret other peers’ representation of signs and mediating them with their own preferences was overlooked. Therefore, the study was aimed to find ways to improve the utilization of signs through the perspective of writing, which is one of the methods of communication. Writing is the best way that can communicate the mathematical content of abstract virtual reality. With main focus on signs, mathematical writing form has been proposed to express mathematical signs, and how students’ understanding and expression of mathematical signs have changed in problem solving when the method was implemented, as well as how comparing and interpreting the results of peers can impact their own. Students can directly experience the meaning and expression of mathematical signs and develop a mathematical writing style that enables communicative activities with partners so that they can develop into social sign expressions rather than individual sign expressions. The purpose of the study is to prepare a writing form for an activity which can give practical help to students when it comes to understand and express the meaning of signs in math class and analyzing substantive properties of mathematical meaning of signs and expression when utilizing the form to solve problems. Accordingly, the following research questions were set up. Research question 1. To understand and represent mathematical signs, how should a problem-solving writing form based on semiotics be constructed? Research question 2. What are the characteristics of middle school students' understanding of signs in mathematical writing form in problem solving in areas of algebra and function? Research question 3. What are the characteristics of middle school students' change in understanding of preferences in communicative writing using mathematical writing form? In order to solve the questions, a draft mathematical writing form was developed through literature research, and 6 students in the first grade of middle school were sampled and organized into three teams of two, and preliminary research was conducted over seven periods using the draft writing form. Part of the draft writing style used in the preliminary study was revised and supplemented to develop the final mathematical writing form -Mathematical writing form based on semiotics. This case study conducted a study to solve three tasks by sampling for the purpose of four students who participated in the preliminary study, and the results of the research problems were obtained by analyzing them. Solving Research question 1 In terms of content, based on Peirce's semiotics and Kim(2004) research, Identify signs and opportunities(I), Describe signs (D), Expository writing(E), Active interaction(A) and Look back and write(L) was developed. Identify signs and opportunities(I) is a process of finding and writing objects of mathematical signs such as terms, mathematical languages, formulas, and signs that are considered important for problem solving. The process of describe sign(D) is the process of writing the interpretation of signs written in Identify signs and opportunities(I) and is the process of knowing the interpretation of signs. Expository writing for problem-solving (E) is the interpretation of mathematical signs. The problem-solving process is categorized in a way that explains the problem solving process to a partner through signification. Active interaction(A) is the process of exchanging mathematical writing with peers to understand their signs and the Look back and write(L) is the sign after going through the mediation process of. It is the process of rewriting the interpretation of signs and rewriting them in the end by organizing the parts to be corrected in the signification. To solve Research question 2, the process of describe signs(D) and expository writing(E) for problem solving in mathematical writing form was analyzed. Students broadened their understanding of mathematical signs in the process of selecting and interpreting objects. Mathematical signs which was selected as the object provided a critical idea in process of solving a problem, served as a guide for problem solving, and enabled dynamic interpretation and interaction of symbolization through mathematical concepts and logical reasoning. In addition, students used not only signs but also specific verbal and visual expressions to write the problem-solving process. To solve Research question 3, Active interaction(A) and Look back and write(L) of mathematical writing form were analyzed. Understanding of signs centered on one's own sign form, meaning arbitration in which one's sign form was mixed with one's sign form, sign understanding centered on the sign form of a pair, sign understanding centered on the sign template of a pair is a simple imitation, and meaning arbitration appeared in the form of symbolic translation. Accordingly, several conclusions could be drawn based on the results of this study. First, the communicative writing activity using mathematical writing form aided the process of problem solving by providing opportunities for understanding and expressing mathematical signs to grow in the process of identifying and explaining the meaning of signs. Second, To minimize the difficulties in using mathematical signs, practicing linguistical expression of signs must come first before any guidance towards strictly prescriptive signs. Third, it is necessary to expand student-centered small-group classes that allow students to have opportunities to communicate with each other about the meaning and expression of mathematical signs through mathematical writing in learning of mathematics. Students will have an opportunity to explain and symbolize the meaning of mathematical signs through mathematical writing form in learning of mathematics.;수학은 모든 학습 활동이 어떤 형태로든 기호와 관련되어 있으므로 기호를 떼어놓고 논할 수 없을 만큼 기호의 중요성이 강조된다. 그러므로 수학을 학습하는 것은 다양한 기호의 의미를 이해하고, 수학사회에서 약속한 규칙으로 바르게 사용하고, 수학 기호의 중재를 통해 사고를 발전시키며 기호를 통하여 수학적 내용을 소통할 수 있도록 배우는 것이다. 수학에서 기호의 중요성이 강조되면서 기호학의 연구 성과를 수학교육에 적용하려는 연구가 활발하게 진행되고 있으며, 수학에서의 기호학적 관점은 수학적 기호의 의미와 기호 표현에 중점을 둔 수학의 교수·학습에 대한 방법을 제공한다. 그러나 많은 연구에도 불구하고 학생들이 기호의 의미를 설명하고 이것을 기호화할 수 있도록 실질적인 도움을 주기 위한 기호를 기반으로 수학학습을 안내하는 연구가 부족하였다. 또한 학생들이 문제해결에서 사용한 기호를 타인과 상호 교류할 때 다른 사람의 기호 표현을 어떻게 해석하고 이를 자신의 기호와 중재해가는 특성에 대한 세밀한 분석이 간과되었다. 이에 본 연구에서는 의사소통 방법 중의 하나인 쓰기 관점에서 수학적 기호 사용을 발전시킬 수 있는 방안을 찾고자 하였다. 추상적인 수학적 내용을 의사소통할 수 있는 가장 좋은 것은 쓰기이다. 기호를 기반으로 수학적 기호의 의미를 표현할 수 있도록 수학적 쓰기 양식을 고안하여 제시하고, 이를 이용하였을 때 학생들의 문제풀이에서 기호의 이해와 표현이 어떻게 변화되는지 더불어 쓰기 결과물을 다른 학생과 교환하는 학습에서 다른 사람의 기호 표현을 해석하여 자신의 수학적 기호의 의미와 표현에 어떤 변화를 가져오는지 알아보고자 한다. 학생들이 수학적 기호의 의미와 표현을 직접적으로 경험하고 이것이 개인적 기호 표현에 머무르지 않고 사회적 기호 표현으로 발전될 수 있도록 짝과 소통적 활동이 가능한 수학적 쓰기 양식을 개발하고자 한다. 연구의 목적은 수학수업에서 학생들이 기호의 의미를 이해하고 표현하는 것에 실질적으로 도움을 줄 수 있는 쓰기 활동 양식을 마련하는 것과 그 양식을 이용하여 문제를 해결할 때 나타나는 수학적 기호의 의미와 표현에 대한 실재적 특성을 분석하는 것이다. 이에 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 연구문제 1. 수학적 기호의 의미와 표현을 나타내기 위해 문제해결을 위한 기호중심 수학적 쓰기 양식은 어떻게 구성되어야 하는가? 연구문제 2. 대수, 함수 영역의 문제해결에서 수학적 쓰기 양식에 나타난 중학생의 수학적 기호 이해는 어떤 양상을 가지는가? 연구문제 3. 수학적 쓰기 양식을 이용한 소통적 쓰기 상황에서 중학생의 수학적 기호 이해 변화는 어떤 특성으로 나타나는가? 연구 문제를 해결하기 위해 문헌 연구를 통해 수학적 쓰기 양식 초안을 개발했으며, 중학교 1학년 학생 6명을 지원자 표집하여 2명씩 세 팀으로 구성하여 쓰기 양식 초안을 이용하여 7차시에 걸쳐 예비 연구를 진행했다. 예비 연구에서 사용한 쓰기 양식 초안의 일부를 수정 보완하여 최종적인 수학적 쓰기 양식인‘기호중심 수학적 쓰기 양식’을 개발하였다. 본 사례연구는 예비 연구에 참여한 학생 중 4명을 목적 표집하여 3개의 과제를 해결하는 연구를 했고, 이를 분석하여 연구문제에 대한 결과를 얻었다. 연구문제 1을 해결하기 위해 Peirce의 기호학과 김선희(2004) 연구를 바탕으로 기호쓰기(I), 기호 설명하기(D), 문제해결에 대한 설명적 쓰기(E), 소통적 쓰기(A), 수정하기(L)로 구성된 기호중심 수학적 쓰기 양식을 개발하였다. 기호쓰기(I)는 문제해결을 위해 중요하게 생각하는 용어, 수학적 언어, 공식, 상징과 같은 수학적 기호의 대상체를 찾아 쓰는 과정이다. 기호 설명하기(D)과정은 기호쓰기에 작성한 기호의 해석화를 쓰는 과정으로 기호에 대한 해석체를 알 수 있는 과정이다. ‘문제해결에 대한 설명적 쓰기(E)’는 수학적 기호의 해석화 및 기호화를 통해 문제 해결과정을 짝에게 설명하는 방식으로 유형화하였다. ‘소통적 쓰기(A)’는 수학적 쓰기를 짝과 교환하여 짝의 기호를 이해하는 과정이고, 마지막 수정하기(L)는 기호의 중재과정을 거친 후 자신의 풀이과정에서 기호의 해석화 및 기호화에서 수정할 부분을 정리하여 최종적으로 다시 한 번 고쳐 쓰는 과정이다. 연구문제 2를 해결하기 위해 수학적 쓰기 양식에서 기호설명하기(D)와 문제해결에 대한 설명적 쓰기(E) 과정을 분석하였다. 학생들은 대상체를 선택하고 해석화하는 과정에서 수학적 기호의 이해를 넓혀갔다. 대상체로 선택된 수학적 기호는 문제해결의 핵심 아이디어를 제공하고 문제해결의 길잡이 역할을 했으며 수학적 개념과 논리적 추론에 의해 역동적인 해석화 및 기호화의 상호 작용을 가능하게 했다. 또한 학생들은 문제해결 과정을 쓰기 위해 상징뿐만 아니라 구체적인 언어적 표현과 시각적 표현을 사용했다. 연구문제 3을 해결하기 위해 수학적 쓰기 양식의 소통적 쓰기(A), 수정하기(L)를 분석하였다. 자신의 기호형판을 중심으로 나타나는 기호 이해, 자신과 짝의 기호형판이 혼합된 의미중재, 짝의 기호형판을 중심으로 나타나는 기호 이해, 짝의 기호형판을 중심으로 나타나는 기호이해는 단순한 모방, 의미 중재, 기호 번역의 형태로 나타났다. 이에 본 연구의 결과를 토대로 몇 가지 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 수학적 문제해결 과정에서 수학적 쓰기 양식을 적절하게 활용하는 것은 학생들의 수학적 기호의 이해와 문제해결에 도움을 줄 수 있다. 학생들은 기호중심 수학적 쓰기 양식을 이용하여 해결할 과제의 대상체를 선택하고 이를 해석하고 기호화하는 과정을 체계적으로 기록함으로써 자신의 기호 이해를 확인하고 반성하며 수학적 기호의 의미와 표현의 이해를 넓힐 수 있는 기회를 가졌다. 둘째, 수학 교수·학습 현장에서는 수학적 기호 사용에 대한 어려움을 최소화하기 위해서는 기호에 대한 의미를 언어적 표현으로 충분히 쓰고 설명할 수 있도록 연습한 후에 엄밀한 규약적 기호로 표현할 수 있도록 이끌어주는 것이 좋다. 셋째, 학생들은 수학적 기호의 의미를 다른 사람에게 설명하고 표현할 수 있어야 한다. 그러므로 수학교실에서 수학적 쓰기를 매개체로 수학적 기호의 의미와 표현에 대해 서로 소통할 수 있는 기회를 가질 수 있는 학생 중심의 소그룹 형태 수업을 확장해야 한다. 본 연구는 수학교실에서 학생들이 수학적 쓰기 양식을 통해 수학적 기호의 의미를 설명하고 기호화하는 기회를 가질 수 있길 바란다.