융복합 수학수업에서 나타난 변화율 개념의 이해에 관한 연구

Abstract

현대 사회가 점점 복잡해지면서 분절적이고 분과적인 지식만으로는 해결할 수 없는 복합적인 양상의 문제들이 발생하고 있다. 이에 융합과 소통이 시대의 화두가 되었고, 학문은 이미 융합의 길로 들어섰으며, 그 필요성은 교육 현장에도 대두되었다. 이에 교육과학기술부(2013a)는 정책적으로 융합인재교육(STEAM)을 지원하고 있고 그 영향으로 융합교육은 학교 현장으로 계속 확산되고 있지만, 학습 환경을 구성하는 모든 요소들의 유기적인 관계와 소통을 중시하는 융복합교육의 광범위하고 포괄적인 의미를 구현하지 못하고 있는 실정이다. 한편 오늘날 일어나고 있는 여러 가지 현상들을 체계적으로 연구하기 위해서는 그 현상들이 가지고 있는 질서나 법칙을 알아야 하는데, 이를 설명해주는 중요한 도구 중의 하나가 미적분학이다. 현재 고등학생들은 미적분 단원에서 변화율의 개념을 배우고 있으나, 교실에서 이루어지는 대부분의 전통적인 미적분 수업은 변화율 개념의 중요성을 고려하지 않고 있다. 학생들은 의미를 알지 못한 채 기계적인 계산을 통하여 활용 문제를 해결만 하고 있으며, 그래프를 통해 변화율 개념을 이해하거나 극한으로서의 변화율 개념을 이해하는 것은 어려워하고 있다(김정희, 조완영, 2004; 임선정, 2005; 정은선, 2010; 정지현, 2006; 최나영, 2001; Habre & Abboud, 2006; Orton, 1983, 1984; Ubuz, 2007). 따라서 역사발생적인 원리에 따라 미분개념을 도입(박문환, 민세영, 2002; 송정화, 신은주, 2006; 정연준, 2010; 조완영, 2006; Helfgott, 1995; Rickey, 1995; Toeplitz, 2006)하거나, 그래픽 계산기나 컴퓨터 등을 사용하여 접근(Tall, 1986)하거나, 수학적 모델링과 실제적인 문제 상황에서 접근(강향임, 2012; Doorman, 2005; Doorman & Gravemeijer, 2009)하는 등 교수·학습 방법 측면에서 다양한 대안들이 제시되고 있다. 미적분의 개념은 고대 그리스 시대부터 형성되기 시작하여 현재의 엄밀하고 형식적인 개념에 도달하기까지 인류의 역사와 함께 발전해 왔다. 또한 미분 개념은 기호화되기 이전에 현상학적 관점과 기하학적인 관점 등 다양한 학문의 측면과 접근으로 발달되어 왔기에 역사적으로 통합되고 융합된 내용을 포함하고 있다. 한편, 학교수학교실에서 융복합교육이 실천되기 위해서는 새로운 접근방법이 필요하다. 즉, 수학수업을 통해 학생들이 변화율의 개념을 이해해가면서 동시에 미래사회가 학생들에게 요구하는 역량도 함양할 수 있어야 한다. 따라서 본 연구에서는 미적분 수업의 중요성과 새로운 교수·학습 방법의 필요성 및 융복합교육 실천의 중요성에 따라, 변화율 개념의 교수·학습을 위한 새로운 접근법으로 융복합 수학수업을 구성하고 그 수업을 통해 나타나는 학생들의 변화율 개념 유형의 특징을 탐구하고자 하였다. 이를 위한 연구문제는 다음과 같다. 1. 융복합 수학수업의 구성원리와 이를 구현하기 위한 실천방안은 무엇인가? 2. 융복합 수학수업의 구성원리와 실천방안을 반영한 변화율 개념 중심의 수학 수업은 어떻게 구성될 수 있는가? 3. 융복합 수학수업의 구성원리와 실천방안을 반영한 변화율 개념 중심의 수학 수업에서, 학생들의 변화율 개념 이해 과정에서 나타나는 인지적인 특징은 무 엇인가? 4. 융복합 수학수업의 구성원리와 실천방안을 반영한 변화율 개념 중심의 수학 수업에서, 융복합 수학수업의 요소들은 학생들의 변화율 개념 이해 과정에 어떤 영향을 주는가? 이상의 연구문제를 해결하기 위하여 첫째, 변화율 개념 및 통합교육과정과 관련된 선행연구들을 고찰하고 융복합교육 이론, 수학과 교육과정, 융복합 수학수업 사례에 대한 문헌연구를 기초하여 융복합 수학수업의 구성원리와 실천방안을 도출하였다. 둘째, 학교 현장에서 융복합수업을 실행한 경험이 있는 수학교사 5인과의 면담 결과를 반영하여 변화율 개념 중심의 융복합 수학수업 20차시를 구성하였다. 수업의 구성은 설계실험 연구방법의 틀에 따라 계획-관찰-분석-재계획의 반복적인 순환 과정을 통해 이루어졌다. 셋째, 고등학교 2학년 자연계열 여학생 16명을 대상으로 수업을 실행하는 과정에서 수집한 개념도, 모둠별 녹화와 녹음의 전사 자료, 학생들이 작성한 활동지, 수업 후 실행했던 면담에 대한 전사 자료를 중심으로 학생들의 변화율 개념의 유형에 따른 특징과 학생들이 변화율 개념을 이해하는 과정에 영향을 준 수업 요소를 분석하였다. 각 연구문제에 따른 결과는 다음과 같다. 연구문제 1에서 융복합 수학수업의 구성원리는 학습내용, 학습자, 교사 등 수업장면에 참여하는 교육 요소의 통합을 의미하는 통합성을 융복합수업의 대전제로 정의하고, 다른 원리들을 교육과정의 측면에서 제시하였다. 그 결과 교육목표를 구성하기 위한 합목적성의 원리, 교수·학습 내용을 구성하기 위한 내용 통합성의 원리와 과제 맥락성의 원리, 교수·학습 방법을 구성하기 위한 능동성의 원리, 다양성의 원리와 협력성의 원리, 그리고 교수·학습 평가를 구성하기 위한 평가 체제의 다양성 원리를 도출하고 각 원리를 구현할 수 있는 실천방안을 함께 도출하였다. 연구문제 2에서는 먼저, 연구문제 1의 결과에 융복합수업의 실행 경험이 있는 수학교사와의 면담자료 분석에서 도출된 실천사례를 반영하여 변화율 개념 중심의 융복합 수학수업을 구성하였다. 학습내용의 구성과 관련하여서는 다학문적 통합, 간학문적 통합, 초학문적 통합으로 구분한 내용 통합성과 수학교과 내 맥락, 실세계 맥락(물리적 맥락/사회적 맥락/세계적 맥락/기타 실세계 맥락)으로 구분한 과제 맥락성을 반영하였다. 교수·학습 방법의 구성과 관련하여서는 학생들의 능동성, 다양성 그리고 협력성을 제고할 수 있는 실천방안들이 균형 있게 선정되도록 하였다. 연구문제 3에서는 8개의 과제를 과제가 포함하고 있는 변화율 개념을 중심으로 3개의 범주로 나누어서 과제 범주별, 학생 개인별로 변화율 개념의 유형을 분석하여 인지적인 측면에서의 특징을 살펴보았다. 그 결과 학생들의 변화율 개념은 선형적인 변화는 아니지만 그 유형이 향상되는 특징을 보였다. 또한 학생들의 변화율 개념은 그 유형이 다양하게 등장하였고 함수로서의 변화율 과제일수록 평균변화율과 순간변화율의 어림유형이 감소하였다. 연구문제 4에서는 학생들이 변화율 개념을 이해하는 과정에 영향을 준 융복합 수학수업의 요소를 학생들의 담화를 중심으로 살펴보았다. 그 결과 과제의 맥락과 내용구성, 학생들의 협력적인 모둠토론, 도구를 활용한 학생들의 활동, 교사가 구성하는 다양한 교수·학습 방법 등의 요소가 맥락성, 협력성, 능동성, 다양성의 원리와 관련되어 학생들이 변화율 개념을 이해하는 과정에 영향을 주는 것으로 나타났다. 또한 학생들에게 융합의 기회를 제공하는 학습 환경의 조성은 학생과 학습내용, 학생과 학생, 학생과 교사의 대화적 관계를 통해 이루어지는 통합성의 원리와 관련된 요소로서 학생들의 변화율 개념 이해 과정에 영향을 주었다. 이상의 연구 결과들을 바탕으로 다음과 같은 점들을 논의할 수 있다. 첫째, 본 연구는 융복합 수학수업의 구성원리와 실천방안을 전 교육과정의 측면에서 제안하였고, 이를 반영하여 수업을 구성하고 실행하였다. 이러한 결과는 범교과적인 융복합교육을 수학교과에서 실행할 수 있는 하나의 모델을 제시했다는 측면에서 의의가 있다 하겠다. 둘째, 본 연구는 수업을 구성할 때, 설계실험 연구방법에 따라 계획-실행-관찰-분석-재계획의 순환과정을 반복하며 진행하였기에 어느 정도 완성도를 높일 수 있었다. 셋째, 20차시의 수업을 구성하여 실행한 결과, 융복합 수학수업이 현장에서 적용될 때는 간학문적 통합이나 초학문적 통합뿐 아니라 수학교과 내에서 수학개념을 학습하는 다학문적 통합이 반드시 필요함을 알 수 있었다. 넷째, 학생들은 비록 선형적인 변화는 아니었지만 개념 유형의 단계가 향상되는 양상을 보였다. 이는 수학의 역사적 발생을 고려하고 실세계 맥락을 기반으로 구성한 과제 제시, 그래픽계산기의 사용, 그래프를 사용한 접근, 수치적 접근과 대수적 접근을 함께 사용한 결과로서, 미적분 개혁운동이 지향하고 있는 방법을 뒷받침한다고 할 수 있다. 다섯째, 과제의 내용이 수학교과 기반의 지식이었지만, 이를 실생활 맥락에서 제공한 결과, 학생들은 주어진 맥락과 수학적 지식의 경계를 넘나들며 논의를 진행하는 가운데 다양한 변화율의 개념 유형이 포함된 담론을 형성할 수 있었다. 여섯째, 학생들이 변화율 개념을 이해하는 과정에 다양한 융복합 수학수업의 요소들이 영향을 주었음을 알게 되었다. 학생들이 독립적으로 알고 있던 내용들을 연결하면서 관계성을 인식하고 학문의 연관성을 경험해 보는 것은 매우 중요하다고 하겠다. 이와 같이 수업의 장면에 참여하는 모든 요소들이 소통하고 대화적 관계, 유기적 통합을 형성하는 것이 바로 융복합 수학수업이 지향하는 바이다. 일곱째, 학생들은 이미 융합할 준비가 잠재되어 있음을 알 수 있었다. 이런 학생들에게 융복합교육을 효율적으로 실행하기 위해서는 특히 교사의 역할이 중요하다. 학생들은 일단 환경이 조성되면 모든 수학 활동을 통해 자신들이 가지고 있던 지식과 상식, 경험 등을 통합하고 연결할 수 있는 가능성을 보여 주었기에 교사는 이러한 가능성과 잠재성을 최대한 살릴 수 있어야 할 것이다. 본 연구는 미분단원의 대안적인 교수·학습 방법으로 융복합 수학수업을 제시하고, 현재 범교과적으로 개념화되어 있는 융복합교육을 수학교과 중심으로 실행할 수 있는 하나의 모델을 제시하였으며, 또한 융복합 수학수업의 실천가능성을 보였다는 점에서 그 의의가 있다 하겠다. 이전의 선행연구들이 내용 통합을 중심으로 융복합교육을 시도하였다면, 본 연구에서는 내용 통합에 더하여 학습자의 능동성과 다양성, 협력성을 제고할 수 있는 포괄적인 융복합교육을 시도했다는 점에서 차이가 있다. 또한 융복합수업을 위한 프로그램 제시에 그치지 않고 이를 현장에 적용했다는 점에서도 의의가 있다. 하지만 연구 참여 대상자 전원이 여학생이었고 대부분 수학 심화반 학생이었음을 고려할 때에 본 연구의 결과는 제한적이라고 할 수 있다. 또한 물리적인 설명이 가능한 미분 단원에 수업 내용이 한정되어 있다. 따라서 미분의 교수·학습 방법의 대안으로 제안한 융복합 수학수업을 일반화할 수 있도록 다양한 교실에서 실행해보고, 추상화 과정에서 학생들의 동기유발이 어려운 수학 영역을 내용으로 수업을 구성하고 실행함으로써 융복합 수학수업의 실천 가능성을 알아보는 연구가 이루어지길 기대한다. 변화율 개념 중심의 융복합 수학수업이 더 확대되고 융복합 수학수업이 실질적으로 이루어지기를 기대하면서, 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 미분 단원을 중심으로 융복합 수학수업을 구성할 때에는 학생들이 변화율과 미분의 현실적인 의미를 알면서 공부할 수 있도록 역사 발생적인 접근을 반영하고 그래프, 대수적, 그리고 수치적인 접근의 통합적 방법을 시도해야 할 것이다. 둘째, 융복합 수학수업의 내용을 처음으로 구성할 때에는 물리적인 설명이 가능하고 학생들의 동기유발이 용이한 단원이나 개념을 중심으로 계획하는 것이 바람직할 것으로 생각된다. 셋째, 융복합 수학수업의 과제를 구성할 때에는 수학적인 내용일지라도 실세계 맥락을 기반으로 제시하는 것이 학생들의 다양한 사고를 이끌어낼 수 있다고 생각된다. 넷째, 융복합 수학수업의 방법을 구성할 때에는 학생들의 능동성, 다양성, 협력성이 최대한 발휘되고 함양될 수 있도록 교수·학습 방법의 균형을 고려함이 필요하다. 특히 토론수업은 수학교과에서도 중시해야 할 교수법이라고 생각된다. 토론수업을 강화하여 수학적 개념도 배우고 그 과정에서 학생들의 협력성이 발휘되는 역동적인 수학교실을 만들 필요가 있다. 다섯째, 시도별 교육청이나 연수기관에서는 교과별로 특성화된 융복합교육 교사연수를 실시하는 것이 바람직하다. 본 연구에서는 접근하는 방법만 달라져도 학생들이 수학 이외에 21세기에 필요한 역량을 함께 함양할 수 있는 가능성을 보여 주었고, 이것이 바로 융복합 수학수업의 목표이다. 따라서 수학교사가 수학교과 시간에 융복합수업을 실행할 수 있도록 연수를 통한 지원이 필요하다. 여섯째, 교원양성기관에서는 예비교사와 현장교사의 재교육을 위한 프로그램을 개발할 필요가 있다. 대부분의 교사들이 융복합교육의 필요성을 알지만 실천을 못하고 있는 것을 고려할 때에, 예비교사에게 수학교과를 중심으로 융복합수업을 계획하고 시연하는 기회를 제공할 수 있는 강좌를 개설하는 것이 필요하다. 또한 현장교사를 재교육할 때에는 자신의 수업을 융복합수업의 관점에서 관찰하고 분석하여 재구성된 수업을 실행할 수 있는 실행연구의 방법도 교육해야 할 것이다. 그러나 본 연구자는 교사교육이나 교사연수를 받기 이전이라도 수학교사들이 융복합수업을 할 수 있다고 생각한다. 왜냐하면 교사가 많은 역할을 하지 않아도 학생들은 융합할 수 있는 잠재력을 이미 가지고 있기 때문이다. 따라서 자신감 있게 융복합수업을 시도하려는 교사의 의지와 사고의 변화가 필요하다. 일곱째, 교사가 교수·학습 자료를 준비하고 새로운 형식의 수업을 구상하기 위해 시간을 할애할 수 있는 제도적인 지원이 필요하다. 특히 기초학문인 수학수업에서 수학지식뿐 아니라 미래사회를 살아갈 학생들에게 필요한 역량을 개발하도록 하는 것이 필요하다고 생각된다. 따라서 교사들이 수업을 위해 연구하고 자기계발을 할 수 있는 시간과 여건을 마련해주고 이를 제도적으로 보장해 줄 필요가 절실히 요구된다.;As modern society has become more complex, multi-faceted problems are arising, which cannot be solved through a simple and fragmented approach. Thus, integration and communication have become the topic of the age and academic keywords, with their necessity emphasized even further in the field of education. The Ministry of Education(2013a) supports STEAM policy, but currently, its emphasis on communication and interdependence between class members is not properly embodied. Calculus is a crucial tool that explains the inherent order and laws of current multi-facet problems through the differential equation that predicts future change. The key concept of calculus is rate of change, which Korean high school students learn in the calculus curriculum. However, the traditional method currently used in calculus classrooms do not consider such importance. As such, although students show strength in solving through mechanical calculation, they have difficulties in understanding the concept of rate of change through graphs or limits(Kim & Cho, 2004; Jung, 2010; Jung, 2006; Choi, 2001; Habre & Abboud, 2006; Orton, 1983, 1984; Ubuz, 2007). Thus, a necessary change in teaching and learning methods is recommended such as adopting historical-genetic analysis(Park & Min, 2002; Song & Shin, 2006; Cho, 2006; Helfgott, 1995; Rickey, 1995; Toeplitz, 2006), the holistic approach that combines the numerical, graphic, and algebraic method(Tall, 1986), or mathematical modeling and pragmatic problem-solving(Kang, 2012; Doorman, 2005; Doorman & Gravemeijer, 2009). Keeping in mind the importance of calculus class and necessity of new teaching and learning methods, this study intends to design an integrated approach to mathematics instruction and to analyze students' reaction to the new approach. For these purposes, the following research questions are posed and investigated throughout this study. 1. What are the constituting principles of integrated mathematics instruction and how can they be achieved? 2. How can integrated mathematics instruction focused on rate of change be designed in accordance to the constituting principles? 3. What are the cognitive characteristics of studentsʼconcept of rate of change formed through the integrated mathematics instruction? 4. How do elements of integrated mathematics instruction influence studentsʼunderstanding on rate of change? To address the research problems above, the researcher firstly reviewed preceding research on theories of integrated education, mathematics curriculum and examples of integrated mathematics education to deduct constituting principles and an implementation plan. Secondly, the researcher conducted interviews with 5 mathematics teachers who implemented integrated study in their classrooms, and constituted a 20-session integrated mathematics lesson focusing on the concept of rate of change. In accordance to the convention of experimental studies, the class was structure in the repeated process of planning-observation-analysis-replanning. Finally, the researcher analyzed students' cognitive process and influential class elements through examining group video records, activity papers, students' concept maps and conducting interviews of 16 female 11th graders in the natural sciences field. These are the results of research problems presented above. For research problem 1, the researcher attempted to define the integration for learning content, learner and educator as the premise of convergence education and present constituting principles for the whole education curriculum. As a result, the researcher drew purposefulness to set the educational objective, integration of context to form the teacher/learner content, the principles of autonomy, diversity, and collaboration to formulate the teaching/learning method, and principles of diverse evaluation along with implementation plans to realize each principle. For research problem 2, the researcher designed the 1st integrated mathematics class based on the results of problem 1 and analysis of interviews with experienced math teachers. Regarding the construction of learning content, the combination of a multidisciplinary, interdisciplinary, transdisciplinary approach as well as the mathematical context and real-world context(physical/social/global/etc.)are reflected. In forming the teaching/learning method, implementation plans that encouraged student autonomy, diversity, and cooperation were selected. For research problem 3, the researcher investigated the level of cognition by administering 8 tasks on rate of change and evaluating with 2 criterion: task-category, and individual. Although not linear, the students' understanding on rate of change advanced. Also, their concept of rate of change was expressed in various forms, and when solving the FRC(Functional Rate of Change) task, approximation of average and instant rate of change decreased. For research problem 4, the researcher identified factor of convergence mathematics education that influenced student understanding by analyzing students conversations. As a result, it was revealed that context and content of the task, group discussions, tool-based student activities and various teaching methods that emphasized context, collaboration, autonomy, and diversity influenced the process of students' understanding on rate of change. Also, the construction of a study environment of integrated learning influenced students' understanding of rate of change by conversing student with material, student with student, and student with instructor. The following implications can be drawn from the research results: First, this study suggests constituting principles and executive plans of integrated mathematics class. This study is meaningful in that it presents a model through which general integrated education can be applied to mathematics education. Secondly, this study could raise a degree of completion through repeated process of planning-observation-analysis-replanning in accordance to convention of experimental studies. Thirdly, as a result of 20-session class, it can be learned that integrated mathematics class requires for not only interdisciplinary or transdisciplinary approach, but also multidisciplinary approach. Fourthly, although not linear, students showed advanced understanding of rate of change. This is a result of integrated class of historical generation of mathematics, reality-based task, graphic, numerical and algebraic approach, and it supports teaching style that Calculus Reform aims for. Fifthly, it is learned that when content of task is presented in the context of real life, concept of rate of change is more likely to be appeared in students' discourse. Sixthly, various elements of integrated mathematics class influenced the process of understanding the concept of rate of change. Through this, students were able to recognize a relationship between their fragmented knowledge and connect them. Finally, it was learned that students are already ready to integrate their knowledge, and eventually, teacher's will and view of mathematics education are crucial elements of Convergence education. Teacher should provide chances through which students can display their integration ability. Then, students can integrate and connect their own knowledge, sense and experience by themselves without teacher's help for task and activity. Limitations of the present research and suggestions for further research are as follows: Firstly, constructing integrated mathematics class based on concept should combine historical-genetic, graphic, numerical and algebraic approach so that students can learn real definition of rate of change. Secondly, constructing a content of integrated mathematics class should focus on concept that can motivate students and be explained in details. Thirdly, constructing a task of integrated mathematics class should be based on real-life, even though it is a mathematical concept. Fourthly, constructing a method of integrated mathematics class should consider balanced teaching/learning system which will allow students to freely display their autonomy, diversity and collaboration. Fifthly, provincial offices of Education and training institutions should promote teacher training program to raise qualified teachers for integrated education teaching. Sixthly, Considering a limited reality in which teachers cannot execute integrated education although they know its importance, teacher training institution should open lecture which will provide teachers chances to practice their planned integrated mathematics class. Also, when retraining field teachers, institution should educate them to observe, analyze and teach in the perspective of integrated education. Seventhly, the researcher suggests that it is possible for math teachers to conduct integrated classes before teacher training. As such, the teacher's will to confidently try integrated lessons confidently is most necessary. Finally, there are limits in generalizing the results of the study as the main research subjects were all female students in the advanced mathematics class. Thus, the researcher suggests follow-up research to apply integrated mathematics class in more general and various way. Also, the researcher suggests further study on integrated mathematics classes about various mathematical concepts.