Complex Line Bundles on Riemann Surfaces

Abstract

In this thesis, we want to investigate complex line bundles, holo-morphic line bundles, and their relations on Riemann surfaces. We first introduce sheaf and presheaf, and their examples, and the axiomatic sheaf cohomology on differentiable manifolds. Using sheaf cohomologies on the Riemann surface ∑, we induce several cohomology sequences of sheaves, and we have the sheaf ohomology group H²(∑, Z) whose elements are one-to-one correspondence with complex line bundles on ∑ , and divisor class group H¹(∑,O*) whose elements are one-to-one correspondence with holomorphic line bundles on ∑. Also we investigate the first Chern classes of the line bundles and the Jacobian J(∑) of ∑. And then we will construct concrete complex line bundles and homolomor- phic line bundles.;본 논문에서는 리만 곡면 ∑ 상에서 복소 선다발, 홀로모르픽 선다발, 그리고 그들의 관계를 조사한다. 먼저 미분다양체 상에서의 층(sheaf), 원시층(presheaf), 그들의 예와 공리적 층코호몰로지를 소개한다. 다음으로 리만 곡면 상에서 층의 짧은 완전열을 이용하여 층코호몰로지의 완전열을 유도하고, 이를 이용하여 리만 곡면 상의 복소 선다발과 H²(Σ,Ζ)의 원소 사이에 일대일 대응이 됨을 보이고, 홀로모르픽 선다발과 H¹(Σ,O*)의 원소 사이에 일대일 대응이 됨을 보인다. 또한 복소 선다발은 제1천류에 의하여 정해지고 홀로모르픽 선다발은 제1천류와 곡면의 자코비안에 의하여 정해짐을 보였다. 이로부터 리만 곡면 상에서 구체적인 복소 선다발과 홀로모르픽 선다발을 구성하였다.